资源简介

2024-2025 学年山东省德州市优高联盟高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列导数运算正确的是( )
A. (sin 3 )′ = cos

3 B. ( )′ = C. ( 3 )′ =
1 1
D. ( )′ = 2
2 5.已知数列{ }为等差数列，若 1 = 2， 2 = 2，则 10 =( )
A. 85 83 81 792 B. 2 C. 2 D. 2
3.已知 ′( )是函数 ( )的导函数，且 ( ) = 2 ′(1) + 2，则 ′(1) =( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
4.为研究某种植物的生长高度 (单位： )与光照时间 (单位：小时)之间的关系，研究人员随机测量了 12

株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为 = 2.5 + 30，则样本(6.5,45.2)的残差的绝对值为
( )
A. 1.05 B. 1.15 C. 1.25 D. 1.35
5.在等比数列{ }中， 1 = 1024
1
， = 2，记 = 1 2… ( ∈
)，则 的最大值为( )
A. 251 B. 253 C. 255 D. 257
6.已知函数 ( ) = 1 + ln( 1)在[2, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,1) B. ( ∞,1] C. ( ∞,2) D. ( ∞,2]
7.已知数列{ }满足 1 = 0， 2 = 1，若数列{ +1 }是公比为 3 的等比数列，则 2025 =( )
32023A. +1 3
2024+1 2023 1 2024
2 B. 2 C.
3 D. 3 12 2
8 1.已知定义在 上的函数 ( )的导函数为 ′( )，且 ( ) + ′( ) = ， (0) = 1，则 (1)， (2)， ( )的
大小关系为( )
A. (1) < (2) < ( ) B. ( ) < (2) < (1)
C. (2) < (1) < ( ) D. ( ) < (1) < (2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.若甲、乙两组数据的相关系数分别为 0.75 和 0.90，则乙组数据的线性相关性更强
第 1页，共 8页

B.在回归方程 = 2 + 8 中，当变量 每增加 1 个单位时，变量 平均增加 2 个单位
C.一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线 = 0.95 + 1 上，则这组样本数据的样本相关系数为
0.95

D.对具有线性相关关系的变量 ， ，有一组观测数据( , )( = 1,2, …, 15)，其线性回归方程是 = + 2，
且15

=1 = 9,
15
=1 = 3，则 = 3
10.已知数列{ }的前 项和为 ，首项 1 = 1 且满足 +1 = 2 + 1，则( )
A. 3 = 9 B.数列{ + 1}为等比数列
C. +1 > D. 10 = 2037
11.已知函数 ( ) = 2 + 2 ，则下列说法正确的是( )
A.当 = 0 2时， ( )的极小值为
3
B.若存在 ∈ (0, + ∞)，使得 ( ) ≥ 0，则 ∈ [ 2 2, + ∞)
C. 1当 = 2时， ( ) ≥ 无解
1
D.若 ( )在(0, + ∞)上不存在极值，则 ≤ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 +1 .已知等差数列{ }，{ }的前 项和分别为 ， ，且 = ，则 5 3 +13 = ______． 5
13.已知函数 ( ) = | |图象的两条切线相互垂直，并分别交 轴于 ， 两点，则| | = ______．
,当 为偶数时
14.已知数列{ }满足： 1 = (

为正整数)， = 2 +1 ，当 = 17 时，使得 = 1
3 + 1,当 为奇数时
的最小 为______；设 为数列{ }的前 项和，若 6 = 1，则 100所有可能的取值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
等差数列{ }的前 项和为 ，且 3 = 3， 4 = 10．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 = 2 ，令 = ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
某科技公司为了提升其产品的市场竞争力，每年都会投入一定的资金用于研发和市场推广．
第 2页，共 8页
(1)该公司从管理层到基层员工中随机抽取了 120 名进行调研，现将 120 名员工的学历划分为“高学历”和
“低学历”，对投入一定的资金用于研发和市场推广划分为“支持”和“不支持”，整理得到如下数据：
支持 不支持 合计
高学历 30
低学历 40
合计 60 120
请将 2 × 2 列联表补充完整并回答：是否有 95%的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市
场推广的满意度有关？
(2)通过对该公司 2015 年至 2024 年每年的研发投入 (单位：百万元)与年利润增量 (单位：百万元)的数据



进行分析得到回归模型为： = + ，且有10 =1 = 12.00,
10
=1 = 75.00,
10
=1 = 105.00,
10 2
=1 =
18.00．
请求出该模型中 关于 的回归方程并预测投资金额为 6 百万元时的年利润增量.参考公式及参考数据 2 =
( )2
( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ，临界值表：
= ( 2 ≥ ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

= =1

2
, = ．
=1 2
17.(本小题 15 分)
已知 ( ) = 3 + 3 2 + + 2( > 1)在 = 1 时有极值 0．
(1)求常数 ， 的值；
(2)如果存在 1， 2 ∈ [ 4,1]，使得 ( 1) ( 2) ≥ 成立，求满足条件的最大整数 ．
18.(本小题 17 分)
已知数列{ }和{ }

满足
1 2
3 + 32 + … + 3 = , 1 = 1, +1 = ( + 1) + 1．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
(2) { (2 2) 求证：数列 }的前 项和 > 3． +1
19.(本小题 17 分)
已知函数 = ( )及其导函数 = ′( )的定义域均为 .设 0 ∈ ，曲线 = ( )在点( 0, ( 0))处的切线交
轴于点( 1, 0).当 ≥ 1 时，设曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线交 轴于点( +1, 0)得到的数列{ }为函
数 = ( )关于 0的“ 数列”．
第 3页，共 8页
(1)若 ( ) = ，{ }是函数 = ( )关于 0 = 0 的“ 数列”，求 1的值；
(2)若 ( ) = 2 9，{ } +3 是函数 = ( )关于 0 = 2 的“ 数列”，记 = 5 ． 3
( )证明数列{ }是等比数列；
( ) 1证明： +1 =2 sin < ln( 2( +1)), ≥ 2, ∈ ．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.14
13.2
14.13 235，257，284
15.(1)因为等差数列{ }的前 项和为 ，且 3 = 3， 4 = 10，
1 + 2 = 3 = 1
所以 14 1 +
4×3 = 10，解得2 = 1
，
所以 = ；
(2)由(1)知 = 2 ，
所以 2 = 1 × 2 + 2 × 2 + + 2 ①，
所以 2 = 1 × 22 + + ( 1) 2 + 2 +1②，
① ②得 = 2 + 22 + + 2 2 +1
= 2(2 1) 2 +1 = (1 ) 2 +1 2，
所以 = ( 1) 2 +1 + 2．
16.(1)根据题意，补全列联表如下：
第 5页，共 8页
支持 不支持 合计
高学历 30 20 50
低学历 30 40 70
合计 60 60 120
2 = 120×(30×40 30×20)
2 24
则 60×60×70×50 = 7 ≈ 3.429 < 3.841，
所以没有 95%的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关；
1 (2) 1根据题意可知 = 10 1010 =1 = 1.20， = 10 =1 = 7.5，
10
= =1 10
= 105.00 10×1.20×7.5 15故 10 2 = =
25
，
=1 10 2 18.00 10×1.20×1.20 3.6 6

则 = = 7.50 256 × 1.20 = 2.5，
25 25所以 关于 的回归方程 = 6 + 2.5，当 = 6 时， = 6 × 6 + 2.5 = 27.5，
所以当投资金额为 6 百万元时年利润增量的预测值为 27.5(百万元)．
17.(1)根据函数 ( ) = 3 + 3 2 + + 2( > 1)，导函数 ′( ) = 3 2 + 6 + ，
= 1 0 ′( 1) = 0 3 6 + = 0由于 时有极值 ，那么可得 ，即 ，
( 1) = 0 1 + 3 + 2 = 0
= 1 = 2
所以 = 3，(由于 > 1，故舍去)或 = 9，
当 = 2， = 9 时，导函数 ′( ) = 3 2 + 12 + 9 = 3( + 1)( + 3)，
根据 ′( ) < 0，可得 3 < < 1，根据 ′( ) > 0，可得 < 3 或 > 1，
所以 ( )在( 3, 1)上单调递减，在( ∞, 3)和( 1, + ∞)上单调递增，
因此 ( )在 = 1 时取得极小值，符合题意．
因此 = 2， = 9．
(2)根据第一问可知函数 ( ) = 3 + 6 2 + 9 + 4，
导函数 ′( ) = 3 2 + 12 + 9 = 3( + 1)( + 3)，其中 ∈ [ 4,1]，
4 ( 4, 3) 3 ( 3, 1) 1 ( 1,1) 1
′( ) + 0 0 +
( ) 0 增 4 减 0 增 2
因此 = ( )在( 3, 1)上单调递减，在( 4, 3)和( 1,1)上单调递增，
且 ( 1) = 0， (1) = 20， ( 4) = 0， ( 3) = 4，
如果存在 1， 2 ∈ [ 4,1]使得 ( 1) ( 2) ≥ 成立，
第 6页，共 8页
那么等价于[ ( 1) ( 2)] ≥ .而[ ( 1) ( 2)] = ( ) ( ) ．
因此得 ( ) ( ) ≥ ，
由于 ∈ [ 4,1]时， ( ) = 0， ( ) = 20，
因此 ≤ 20，即满足条件的最大整数 为 20．
18.(1) 数列{ }和{ }满足 1 2 3 + 32 + … + 3 = , 1 = 1, +1 = ( + 1) + 1，
= 3 ≥ 2 可得 ， 时， 1 3 = ( 1) = 1，即有 = 3
(对 = 1 也成立)，

由 +1

+1 = +
1 1 1
( +1) = + +1，
1
可得 2 1 1 = 1 + ( 2 1 ) + . . . + ( 1 ) = 1 + 1 2 +
1 12 3 + . . . +
1 1 1 2 1
1 = 2 = ，
即有 = 2 1(符合首项)；
+1
(2) (2 2) 4( 1) 3 3 3证明： = +1 (2 1)(2 +1)
= 2 +1 2 1，
+1 +1
可得 = 3 3+
27 3+ 81 275 7 5 + . . . +
3
2 +1
3 3
2 1 = 2 +1 3 > 3．
19.(1)根据题目定义：已知函数 = ( )及其导函数 = ′( )的定义域均为 ，
设 0 ∈ ，曲线 = ( )在点( 0, ( 0))处的切线交 轴于点( 1, 0)，
当 ≥ 1 时，设曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线交 轴于点( +1, 0)，
得到的数列{ }为函数 = ( )关于 0的“ 数列”，
′( ) = ，曲线 ( ) = 在点( 0, 0)处的切线斜率为 0，又 0 = 1，
则 ( )在(0,1)处的切线方程为 = + 1，
令 = 0，则 = 1，所以 1 = 1．
(2)( )证明：根据题目：若 ( ) = 2 9 +3，{ }是函数 = ( )关于 0 = 2 的“ 数列”，记 = 5 3，
由题可知 ′( ) = 2 ，则 ( )在(2, 5)处的切线方程为 = 4 13，
令 = 0 13 13，则 = 4，所以 1 = 4．
( )在( 2 , 9)处的切线方程为 2 + 9 = 2 ( )
2 2
令 = 0，则 = +92 ，所以 =
+9
+1
2
．

2 +9
+3 2 +3 2 = +1 = = +9+6 所以 +1 5 +1 3 5 2 +9 5 2 3 +9 6 2
( + 3)2 + 3
= = 2 5 = 2 ( 3)2 5 3
第 7页，共 8页

即 +1 = 2，
13
又 1 = 4，则 1 = 2，因此数列{ }是以 2 为首项，2 为公比的等比数列．
(ⅱ)证明：由(ⅰ)可知 = 2 ，则log2( +1) = + 1，
1 1
要证 +1 +1 =2 sin < ln( 2( +1)), ≥ 2, ∈ ，即证： =2 sin < ln( + 1), ≥ 2, ∈ ．
因为 ln( + 1) = +1 =2 [ ln( 1)]
1
，即证： +1 =2 sin <
+1
=2 [ ln( 1)]，
即证：sin 1 < ln( 1), = 2,3, , ，
构造函数 ( ) = ， ∈ [0, + ∞)，则 ′( ) = 1 ≥ 0
故 ( )在[0, + ∞)单调递增，对任意 ∈ (0, + ∞)， ( ) > (0) = 0，
> 1 1 1即 ，取 = > 0，则有 sin < ，
1
故只需证： < ln( 1) = ln
1 1
1 = ln = ln(1 )，
1 1 1
即需证：ln(1 ) < = (1 ) 1，
1 1
构造函数 ( ) = 1 ， ∈ (0,1)，则 ′( ) = 1 = < 0，
故 ( )在(0,1)单调递减，则 ( ) > (1) = 0，
1
即对任意 ∈ (0,1)， 1 > ，取 = 1 ∈ (0,1)，
1 1
即有 ln(1 ) < (1 ) 1，
+1 1综上， =2 sin < ln( + 1) = ln( 2 +1), ≥ 2, ∈ ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑