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2024-2025学年山东省德州市优高联盟高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知数列为等差数列，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是函数的导函数，且，则( )
A. B. C. D.
4.为研究某种植物的生长高度单位：与光照时间单位：小时之间的关系，研究人员随机测量了株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为( )
A. B. C. D.
5.在等比数列中，，，记，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，若数列是公比为的等比数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则乙组数据的线性相关性更强
B. 在回归方程中，当变量每增加个单位时，变量平均增加个单位
C. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
D. 对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则
10.已知数列的前项和为，首项且满足，则( )
A. B. 数列为等比数列
C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，的极小值为
B. 若存在，使得，则
C. 当时，无解
D. 若在上不存在极值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列，的前项和分别为，，且，则 ______．
13.已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则 ______．
14.已知数列满足：为正整数，，当时，使得的最小为______；设为数列的前项和，若，则所有可能的取值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
16.本小题分
某科技公司为了提升其产品的市场竞争力，每年都会投入一定的资金用于研发和市场推广．
该公司从管理层到基层员工中随机抽取了名进行调研，现将名员工的学历划分为“高学历”和“低学历”，对投入一定的资金用于研发和市场推广划分为“支持”和“不支持”，整理得到如下数据：
支持 不支持 合计
高学历
低学历
合计
请将列联表补充完整并回答：是否有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关？
通过对该公司年至年每年的研发投入单位：百万元与年利润增量单位：百万元的数据进行分析得到回归模型为：，且有．
请求出该模型中关于的回归方程并预测投资金额为百万元时的年利润增量参考公式及参考数据，其中，临界值表：
．
17.本小题分
已知在时有极值．
求常数，的值；
如果存在，，使得成立，求满足条件的最大整数．
18.本小题分
已知数列和满足．
求数列和的通项公式；
求证：数列的前项和．
19.本小题分
已知函数及其导函数的定义域均为设，曲线在点处的切线交轴于点当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“数列”．
若，是函数关于的“数列”，求的值；
若，是函数关于的“数列”，记．
证明数列是等比数列；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. ，，
15.因为等差数列的前项和为，且，，
所以，解得，
所以；
由知，
所以，
所以，
得
，
所以．
16.根据题意，补全列联表如下：
支持 不支持 合计
高学历
低学历
合计
则，
所以没有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关；
根据题意可知，，
故，
则，
所以关于的回归方程，当时，，
所以当投资金额为百万元时年利润增量的预测值为百万元．
17.根据函数，导函数，
由于时有极值，那么可得，即，
所以，由于，故舍去或，
当，时，导函数，
根据，可得，根据，可得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增，
因此在时取得极小值，符合题意．
因此，．
根据第一问可知函数，
导函数，其中，
增 减 增
因此在上单调递减，在和上单调递增，
且，，，，
如果存在，使得成立，
那么等价于而．
因此得，
由于时，，，
因此，即满足条件的最大整数为．
18.数列和满足，
可得，时，，即有对也成立，
由，
可得，
即有符合首项；
证明：，
可得．
19.根据题目定义：已知函数及其导函数的定义域均为，
设，曲线在点处的切线交轴于点，
当时，设曲线在点处的切线交轴于点，
得到的数列为函数关于的“数列”，
，曲线在点处的切线斜率为，又，
则在处的切线方程为，
令，则，所以．
证明：根据题目：若，是函数关于的“数列”，记，
由题可知，则在处的切线方程为，
令，则，所以．
在处的切线方程为
令，则，所以．
所以
即，
又，则，因此数列是以为首项，为公比的等比数列．
(ⅱ)证明：由(ⅰ)可知，则，
要证，即证：．
因为，即证：，
即证：，
构造函数，，则
故在单调递增，对任意，，
即，取，则有，
故只需证：，
即需证：，
构造函数，，则，
故在单调递减，则，
即对任意，，取，
即有，
综上，．
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