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2024-2025 学年广东省深圳高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = (2 1, 4)， = (4,4)，若 // ，则实数 =( )
A. 32 B. 2 C.
5
2 D. 2
2.已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ，则 ⊥
3.在△ 中，∠ = 3， = 8， = 7，则 =( )
A. 5 B. 3 或 5 C. 4 D. 2 或 4
4.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 1 1， 1， 1 1， 1的
中点，则下列结论正确的是( )
A.直线 和 平行， 和 相交
B.直线 和 平行， 和 相交
C.直线 和 相交， 和 异面
D.直线 和 异面， 和 异面
5.如图，某人为测量塔高 ，在河对岸相距 的 ， 处分别测得∠ = ，∠ =
∠ = (其中 ， 与塔底 在同一水平面内)，则塔高 =( )
A. B. sin( + ) sin( + )tan
C. sin( + ) D. sin( + )sin tan sin sin
6.已知平面向量 , , | | = 2, | | = 1, 在 方向上的投影向量为 ，则| |( ∈ )取最小值时 的值为( )
A. 1 B. 14 2 C.
3
2 D. 1
7.如图，圆锥的轴截面 是正三角形， 为底面圆的圆心， 为 的中点，点 在底面圆的圆周上，且△
是等腰直角三角形，则直线 与 所成角的余弦值为( )
A. 74 B.
2
3
C. 3 7 13314 D. 14
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8.在梯形 中， // ， = 2， = 3，∠ = 3 4，若 ⊥ ，则 tan∠ =( )
A. 23 B.
2 2
3 C.
3
2 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，三棱锥 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， ⊥平
面 ，∠ = 90°， = = 6， = 8，则( )
A. ， ， ， 四点共面
B.点 与点 到平面 的距离相等
C.直线 与直线 垂直
D.三棱锥 的体积为 6
10.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若sin2 < sin2 + sin2 ，则△ 是锐角三角形
B.若△ 是锐角三角形，则 >
C. 若 = 4， = 3， = 3，则满足这组条件的三角形有两个
D.若 2 2 = ，则 = 2
11.如图，正方体 1 1 1 1棱长为 1， 是 1 上的一个动点，下列
结论中正确的是( )
A. 3的最小值为 2
B. 1 ⊥
C.当 在直线 1 上运动时，三棱锥 1 的体积不变
D.以点 2 6为球心， 2 为半径的球面与面 1 的交线长为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知一个圆台的上下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 2，则该圆台的侧面积为______．
13.如果一个三角形的三边是三个连续的正整数，且这个三角形的最大角是最小角的 2 倍，则这个三角形的
周长为______．
14.若向量 与向量 的夹角为 ，我们定义“ × ”为向量 与向量 的“外积”.两个向量的外积是一个向量，
它的长度定义为| × | = | | | | ，在△ 中，| + | = 1，| + | = 2，则| × 2
|的最大值
为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 12 分)
如图，在梯形 中， = 2 ，∠ = 90°， = = 2， 为线段 的中点，记 = ， = ．
(1)用 ， 表示向量 ；
(2)求| |的值；
(3)求 与 夹角的余弦值．
16.(本小题 12 分)
如图，四棱锥 中，已知侧棱和底面边长都等于 2， 是线段 上的动点．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)若 是 的中点，求证： //平面 ；
(3)直线 是否与直线 互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．
17.(本小题 12 分)
已知 ， ， 分别为锐角△ 三个内角 ， ， 的对边，且 ( + ) = (2 )cos( + )．
(1)求 ；
(2)若 = 2， 为 边的中点，求 长的最大值；
(3)若 = 4，求△ 面积的取值范围．
18.(本小题 12 分)
如图，正四棱柱 1 1 1 1中， = 2
1
1，底面中心为 ，点 在棱 上，且 = , (0 < ≤ 2 )．
(1)当 = 12时，证明：平面 1 ⊥平面 1 ；
(2)当 1 = 2时，求过点 1， ， 的平面截正四棱柱 1 1 1 1所得截面的面积的最小值．
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19.(本小题 12 分)
已知△ 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 6， = 5， = 4. △ 的内心、重心、外心、
垂心依次记为点 、 、 、 ，如图所示．
(1)求 和 ；
(2)连接 、 ，并延长交 边于点 ，用 ， 做基底来表示 ；
(3)被誉为“数学之王”的瑞士数学家欧拉，在 1765 年发表了令人赞美的欧拉线定理：设△ 的外心，
重心，垂心分别是 ， ， ，则 ， ， 三点共线(欧拉线)，且 = 3 ，请运用欧拉线定理，求
的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7 2
13.15
14.13
15.解：(1)如图，连接 ，
因为 为线段 的中点， = ， =
1
所以 = ( + )，因为 = 2 2 ，
所以 = + = 12 +
，
由向量的加法法则得 = + = + 1 = + 12 2 ，
1
故 2 ( + ) =
1
2 ( +
+ 12 ) =
3
4 +
1
2 ，
所以 = 34 +
1
2 ；
(2)由于∠ = 90°，可得 = 0，又有| | = 2, | | = 2，
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所以
2
= | |2 = ( 3 + 1 )2 = 9 2 3 1 24 2 16 | | + 4 + 4 | |
= 9 × 4 + 1 × 4 = 1316 4 4，
故| | = 13；2
(3)由向量的减法法则得 = ，
由于∠ = 90°，可得 = 0，又有| | = 2, | | = 2，
得到| |2 = | |2 = | |2 2 + | |2 = 4 + 4 = 8，故| | = 2 2，
则 = ( 34 +
1 ) ( 2 ) =
3 1
4 × 4 + 2 × 4 = 1，
由(1)得| | = 13，2

故 cos < , >=
= 1 26
| | | | 13
= ．
2 ×2 2
26
16.(1)因为四棱锥 中，已知侧棱和底面边长都等于 2，
所以 在底面 内的射影点 为底面棱形的中心，
且 △ ， △ ， △ ， △ 全部全等，
所以 = = = ，
所以底面棱形为正方形，
所以该四棱锥为正四棱锥，且所以棱长为 2，
所以 = 2， = 2，所以 = 2，
所以四棱锥 的体积为1 × 2 × 2 × 2 = 4 2；3 3
(2)证明：若 是 的中点，又由(1)可知 为 中点，
则 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(3) ⊥ ，理由如下：
证明：由(1)可知 ⊥底面 ，又 底面 ，
所以 ⊥ ，
又底面为正方形，所以 ⊥ ，又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ．
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17.(1)因为 ( + ) = (2 )cos( + )，
所以 ( ) = (2 )( )，所以 = (2 ) ，
由正弦定理得： = 2 ，
所以 + = 2 ，即 sin( + ) = 2 ，
所以 = 2 ，
因为 ∈ (0, 2 )
1
，所以 ≠ 0，所以 = 2，
因为 ∈ (0, 2 )，所以 = 3；
(2)因为 为 边的中点，
2 2 2
所以由中线公式得： 2 = 2 +2 4 ，
由 = 2 及余弦定理： 2 = 2 + 2 2 ，
得 4 = 2 + 2 ，即 2 + 2 = + 4，
+2
代入中线公式得： 2 = 2 ，
因为 2 + 2 = + 4 ≥ 2 ，所以 ≤ 4，当 = = 2 时取等号，
+2 4+2
此时 2 = 2 ≤ 2 = 3，即 = 3；
(3) 1因为 = 3， = 4，所以 = 2 = 3 ，

由正弦定理得： = ，
4 (2 )
= = 3 = 2 3 +2 2 3所以 = + 2，
0 < <
因为△ 2 为锐角三角形，所以
0 < = 2
，解得 < < ，
3 <
6 2
2
∈ ( 3所以 3 , + ∞)
2 3
，所以 + 2 ∈ (2,8)，即 2 < < 8，
所以△ 面积的取值范围为：(2 3, 8 3)．
18.(1) 1证明：由已知，当 = 2时，点 是 的中点，且 1 ⊥平面 ．
由 = 2 1，可得 tan∠ 1 1 = tan∠ 1 = 2，所以∠ 1 1 = ∠ 1，
故∠ 1 + ∠ 1 = 90°，即 1 ⊥ 1．
又因为四边形 是正方形，有 ⊥ ，且 1 ⊥ ， ∩ 1 = ，
所以 ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1E.
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又因为 1 ⊥ 1， ∩ 1 = ，所以 1 ⊥平面 1 ，
又因为 1 平面 1 ，所以平面 1 ⊥平面 1D.
(2)解：延长 交 于点 ，设过点 1， ， 的截面与棱 1 1的公共点为 ，连 ， 1G.
由面面平行的性质定理可得此截面四边形 1 是平行四边形，
由 1 = 2，得 = 2
1
， = 2 (0 < ≤ 2 )，
从而 1 = 4 2 + 2， 1 = 21 + 2 = ( 2)2 + ( 2)2 = 2，
= 12 =
1
2 (2 4 )
2 + 22 = 4 2 4 + 2，
21+ 1 2 2 4 2+2+22 (4 2 4 +2) +1
设∠ 1 = ，在△ 1 中由余弦定理得 = 2 = =1 1 ，2 (4 2+2)×2 4 2+2
1 2△ 1 = 2 1 × 1 = 4 + 2sin ，
2 = (4 2 + 2)(1 ( +1 )2) = 3 2 1 2 2△ 1 2 + 1 = 3( 4 2+2 3
) + 3，
1
故当 = 63时，可得最小值 ，从而3 四边形 = 4 =
4 6
1 △
，
1 3
故截面四边形 1 的面积的最小值为
4 6．
3
2 2 2
19.(1) ∵ = 6， = 5， = 4，由余弦定理得： = + 12 = 8，
∴ = | | | | = 4 × 5 × 1 = 58 2，
∵ 是△ 的外心，
∴ = | | | |cos∠ = | | (| |cos∠ )
= 1 | |2 = 1 22 2 = 8，
∴ 的值为 8；
(2) ∵内心 是三角形三条角平分线的交点，如图所示，
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由角平分线定理得： 4 = ，故 = = = 5 ，
则 = 4 ， = + = + 4 = + 4 9 9 9 ( ) =
5 + 4 9 9 ，
连接 ，在△ 中， 平分∠ ，
4 3
由角平分线定理可得 = = = ，6×4 29
故 = 3 = 3 ( 5 + 4 ) = 1 + 4 5 5 9 9 3 15 ；
(3)由欧拉线定理得， ， ， 三点共线，且 = 3 ，
由重心的性质可知 = 2 × 1 ( + ) = 1 ( + 3 2 3
)，
= + = + 3 = + 3( + )
= 2 + 3 = 2 + + ，
∴ = [ 2 + ( + )] = 2 + ( + ) ， = ( 1 + 4 3 15 )
= 1 + 4 1 1 2 4 1 2 1 4 253 15 = 3 × 2 | | + 15 × 2 | | = 3 × 8 + 18 × 2 = 6，
则( + ) = ( + ) ( 1 + 43 15
)
1 2 4 2 3= 3 +

15
+ 5

1 4 3 5
= 3 × 16 + 15 × 25 + 5 × 2
= 272，
∴ = 2 × 6 + 272 =
3
2．
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