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2024-2025 学年江苏省南京二十九中、常州中学、南菁中学高二（下）
期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线 ( ) = ( + 1) 在点(0,1)处的切线的斜率为( )
A. 1 B. 12 C. 1 D. 2
2.已知向量 = (2,1,3)， = ( 1,2, 2)， = (7,6, )，若向量 ， ， 共面，则实数 等于( )
A. 10 B. 8 C. 5 D. 3
3.北京时间 2024 年 6 月 2 日，嫦娥六号成功着陆月球背面，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品
采集任务.某天文兴趣小组在此基础上开展了月球知识宣传活动，活动结束后该天文兴趣小组的 4 名男生和
4 名女生站成一排拍照留念，则 4 名女生相邻的站法种数为( )
A. 2880 B. 1440 C. 720 D. 576
4.如图，直三棱柱 1 1 1中， = = = 1 = 2，点 为侧面 1 1上的任意一点，则 1
的取值范围是( )
A. [0,2]
B. [1,3]
C. [2,4]
D. [3,5]
5 = 2.已知 2 , =
1 , = 3 3 ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数
据 (单位： )服从正态分布 (200, 2)，且 ( ≥ 220) = 0.1，现从该地区高中男生中随机抽取 3 人，并记
在(180,220)的人数为 ，则( )
A. (180 < < 220) = 0.9 B. ( ≥ 1) = 0.992
C. ( ) = 3 D. ( ) = 0.16
7.袋中有 4 个黑球，3 个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全
是白球，则掷出 2 点的概率为( )
A. 23 B.
1 5 5
4 C. 21 D. 23
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8 > 0 ( ) = ( ) =
2
.已知 ， ， 分别是函数 与 的零点，则 11 2 1的最大值为( )2
A. 2 B. 2 C. 4 2 2 D.
8
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若随机变量 的概率分布列为 ( = ) = ( = 1,2,3,4) 1，则 = 10
B.若随机变量 ～ (1, 2)，则 ( ≤ 0) = 0.4，则 (1 ≤ ≤ 2) = 0.2
C.若随机变量 ～ (10, 15 )，则 ( ) =
8
5
D. 4 10 3 ( = 1) = 1在含有 件次品的 件产品中，任取 件， 表示取到的次品数，则 2
10.已知函数 ( ) = 的两个零点分别为 1， 2，且 1 < 2，则下列说法正确的是( )
A. 0 < < 1 B. < 1 <
1

C.存在实数 ，使得 1 2 > 2 D. =

若 3 3 ( 3 > 1)，则
3 = 2
11.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱
组合而成， ⊥ ， = = = 4， 是 上的动点.则( )
A. 为 的中点时，平面 ⊥平面
B. 4 3为 的中点时，异面直线 与 之间的距离为 3
C.存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 60°
D. 为 所在直线的动点，则| | | |的最大值为 2 5 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2, 1,2), = ( 4,2, )的夹角为钝角，则实数 的取值范围为______．
13.设函数 ( ) = + + 3，则满足 ( ) + (3 2 ) < 6 的 的取值范围是______．
14.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为 2，3，4，5 时得 1 分，
当点数为 1，6 时得 3 分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷 2 次散子，最终
得分为 ，则随机变量 的期望是______；若抛掷 2024 次骰子，记得分恰为 分的概率为 ，则当 取最大
值时 的值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知( + ) 3 的展开式中，第五项的二项式系数是第三项的系数的 4 倍，求：2
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(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1， ( ) = ．
(Ⅰ)若 ( ) = ( ) ( )在[1,2]单调递增，求实数 的取值范围；
(Ⅱ) < 0 ∈ [ 1 1当 时，若对任意的 1 , 1]，总存在 2 ∈ [ , 1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，已知四棱台 1 1 1 1的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形， 1 = 3，且 1 ⊥底面
，点 、 分别是棱 1、 1的中点．
(1)在底面 内是否存在点 ，满足 1 ⊥平面 ？若存在，请说明点 的位置，若不存在，请说明理
由；
(2)设平面 交棱 1于点 ，平面 将四棱台 1 1 1 1分成上，下两部分，求 与平面 1 1
所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
11 分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得 1 分，先得 11 分且至少领
先 2 分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成 10：10 后，每球交换发球权，领先 2 分者胜，该局比赛结
束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局 11 分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬
2 1
币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为3，乙发球时甲得分的概率为2，各球的比赛结果相互独立，
且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为 10：10．
(1)求再打两个球甲新增的得分 的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率 0；
(3)现用 0估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2
2 ，且定义域为[0, + ∞)， ∈ ．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)若 ( )有 2 个零点 1， 2，求实数 的取值范围；
(3) 3 若 ( ) ≥ (1 ) + ( 2 1) 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞, 4) ∪ ( 4,5)
13.(3, + ∞)
14.103 3372 或 3374
4
15. 1 1 1解：(1)( + 3 ) 的展开式中第 + 1 项为 2 +1 = ( 23 ) = ( 3 2 ) ，
4 1所以第五项的二项式系数 2 2 ，第三项的系数为( 2 ) ，
所以 4 = 4 × (
1 2 2
2 ) ，
解得 = 6 或 1(舍去)，
1 5
由二项式系数的性质可知，展开式中二项式系数最大的项为第 4 项，即( )3 3 6 4 22 6 = 2 ；
4
(2) 1由(1)可知， +1 = ( 2 )
6 6 3
， = 0，1，2，3，4，5，6，
6 4当 3 ∈ 时， = 0，3，
5
所以展开式中所有的有理项为 6和 22 ．
16.解：(Ⅰ)函数 ( ) = ( ) ( ) = 1 + = 1，

求导得 ′( ) = = ，
由 ( )在[1,2]单调递增，得 ′( ) ≥ 0 在[1,2]上恒成立，
即 ≥ 在[1,2]上恒成立，
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因此 ≤ ( ) ， ∈ [1,2]，
设 ( ) = ， ∈ [1,2]，
则 ′( ) = + = ( + 1) > 0，
所以 ( )在[1,2]上单调递增，
所以 ( ) = (1) = ，
即 ≤ ，
所以 的取值范围为( ∞, ]．
(Ⅱ)若对任意的 1 ∈ [
1
, 1]，总存在 2 ∈ [
1
, 1]，使得 ( 1) ≤ ( 2)，
1
则当 ∈ [ , 1]时， ( ) ≤ ( ) ，
当 ∈ [ 1 , 1]时， ′( ) =
1 > 0，
即 ( ) [ 1在 , 1]上单调递增，
所以 ( ) = (1) = 2，
1
又函数 ( ) = ， < 0， ∈ [ , 1]，
求导得 ′( ) = 1 = ，
由于 < 0，所以 ′( ) < 0，
所以函数 ( ) [ 1在 , 1]上单调递减，
( ) = ( 1 ) = 1则 ，
因此 2 ≤ 1 ，
解得 ≤ 2 1 ，
所以 1的取值范围为( ∞,2 ].
17.解：(1)因为 1 ⊥底面 ，且 是正方形，
故以点 为坐标原点，分别以 ， ， 1所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
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则 (4,4,0)， (4,0,0)， 1(2,0,3)， (0,4,0)， 1(0,2,3)， 1(2,2,3)，
因为点 、 分别是棱 1， 1的中点，
则 (3,0, 32 ), (0,3,
3
2 )，
= ( 1, 4, 3 )， = ( 4, 1, 32 2 )，
假设在底面 内存在点 ( , , 0)，
使得 1 ⊥平面 ，则 0 ≤ ， ≤ 4，
则 1 = ( 2, 2, 3)，
1 = 2 4( 2)
9
2 = 0由 ，
1 = 4( 2) ( 2)
9
2 = 0
= 11
解得 10
= 11
，
10
11 11
故存在点 ( 10 , 10 , 0)，满足 1 ⊥平面 ；
(2)按照(1)建系，设点 (0,0, )，(0 ≤ ≤ 3)，
依题意， ， ， ， 四点共面，故必有 = + ，
即( 4, 4, ) = ( 1, 4, 32 ) + ( 4, 1,
3
2 )，
4 = 4
则 4 = 4,
3
2 +
3
2 =
= 45
解得 = 45 ,
= 125
(0,0, 12即 5 )，又 1 = ( 2, 2,3)， = ( 4,0,0)，
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设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，

则 1
= 2 2 + 3 = 0
，
= 4 = 0
故可取 = (0,3,2)，
= ( 4, 4, 12因为 5 )，
设 与平面 1 1所成角为 ，
| 12+245 | 9 767
则 = |cos < , > | = =
32+144× 13 767
，
25
即 与平面 1 1所成角的正弦值为
9 767．
767
18.解：(1)依题意， 的所有可能取值为 0，1，2，

设打成 10：10 后甲先发球为事件 ，则乙先发球为事件 ，且 ( ) = ( ) = 12，

( = 0) = ( ) ( = 0| ) + ( ) ( = 0| ) = 1 × 1所以 2 3 ×
1
2+
1 1 1 1
2 × 2 × 3 = 6，

( = 1) = ( ) ( = 1| ) + ( ) ( = 1| ) = 12 × (
1
3 ×
1 + 2 × 1 ) + 1 × ( 12 3 2 2 2 ×
1
3+
1 2 1
2 × 3 ) = 2，

( = 2) = ( ) ( = 2| ) + ( ) ( = 2| ) = 1 2 1 1 1 22 × 3 × 2+ 2 × 2 × 3 =
1
3，
所以 的分布列为：
0 1 2
1 1 1
6 2 3
故 1 1的均值为 ( ) = 0 × 6 + 1 × 2 + 2 ×
1
3 =
7
6；
(2)设第一局比赛甲获胜为事件 ，
则 ( | = 0) = 0， ( | = 1) = ( )， ( | = 2) = 1，
由(1)知， ( = 0) = 16， ( = 1) =
1 ( = 2) = 12， 3，
由全概率公式，得 ( ) = ( = 0) ( | = 0) + ( = 1) ( | = 1) + ( = 2) ( | = 2) = 16 × 0 +
1 1
2 ( ) + 3，
2 2
解得 ( ) = 3，即第一局比赛甲获胜的概率 0 = 3；
(3) 2 2由(2)知 0 = 3，故估计甲每局获胜的概率均为3，
设甲获胜时的比赛总局数为 ，因为每局的比赛结果相互独立，
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( = 3) = ( 2 )3 = 8所以 3 27， ( = 4) =
1
3 × (
2 )3 13 × 3 =
8 2 1 16
27， ( = 5) =
2
4 × ( 33 ) × ( )
2
3 = 81，
故该场比赛甲获胜的概率 = ( = 3) + ( = 4) + ( = 5) = 6481．
19.解：(1) ( ) = 2 2 , ∈ [0, + ∞), ′( ) =
2 1,
① ≤ 0 时， ′( ) < 0 恒成立，所以 ( )在[0, + ∞)上递减；
② ≥ 1 时， ′( ) ≥ 2 1 > 0 恒成立，所以 ( )在[0, + ∞)上递增；
③0 < < 1 时，令 ′( ) = 0 得 = 12 ln
1
，
∈ (0, 1 ln 12 ), ′( ) < 0, ( )单调递减， ∈ (
1
2 ln
1
, + ∞), ′( ) > 0, ( )单调递增，
综上： ≤ 0 时， ( )在[0, + ∞)上单调递减，
≥ 1 时， ( )在[0, + ∞)上递增，
∈ (0,1)时， ( )在(0, 12 ln
1 1 1
)上单调递减， ( )在( 2 ln , + ∞)上单调递增．
(2)因为 ( )不是单调函数，由(1)知， ∈ (0,1)，且 ( )在(0, 12 ln
1
)上单调递减，
( 1 ln 1在 2 , + ∞)上单调递增，要使得 ( )有 2 个零点 1、 2，
则必有 ( 12 ln
1 1
) = 2 (1 ln
1 1
) < 0，所以， ∈ (0, )，
又当 ∈ (0, 1 )时， (0) =

2 > 0，
2 2
先证： > 2( > 0) ( ) = , ( > 0), ( ) = 2 ，令 ′ , ( > 0)，
令 ′( ) > 0，0 < < 2，
令 ′( ) 0， 2， ( )在(0,2)上单调递增，在(2, + ∞)上单调递减，
所以， ( ) ≤ (2) = 4 2 < 1，
所以 > 2( > 0)成立，所以， > 2 ( > 0)，即： < 2 < ( > 0)成立，
1 1 1 1 1 1
取 0 = 2 则有 2 > 2 ln ( > 0)，且 ( 0) = 2 ( 2 ) > 0，
所以 ∈ (0, 1 )时， ( )有 2 个零点．
1
综上： ∈ (0, )．
(3)令 ( ) = ( ) (1 ) ( 3 2 1) =
2 3
2 (1 ) ( 2 1) , ∈ [0, + ∞),
则 ( ) ≥ 0 恒成立，且 (0) = 0，
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3
′( ) = 2 1+ ( 1) + ( 2 1) , ∈ [0, + ∞), ′(0) = 2 2,
① ≥ 1 3 时， ′( ) ≥ 2 1 + ( 2 1) ，
当 ∈ [0, ]时， ′( ) ≥ 0，当 ∈ ( , + ∞)时，
′( ) ≥ 2 1 ( 3 1) = 2 3 2 2 = (
2 32 ) > 0，
∈ [0, + ∞)时， ′( ) ≥ 0 恒成立，所以， ( )在[0, + ∞)上递增，
所以， ( ) ≥ (0) = 0，符合题意．

② ≤ 0 ( 时， 2 ) =

2
22 + ( 1) < 0，与题意不符，舍去．
③0 < < 1 时， ′(0) = 2 2 0， 0 时，
′( ) > 2 1 + ( 1) | 3 2 1| >
2 + ( 1) 1 3 1 > 2 + ( 1) 2 (2 +
3
2 )
> [ + ( 1) (2 + 3 )] = [ 3 2 2 )]，
由 3 = 0 = ln 6+ 6+ 2 得 2 > 0， ′(ln 2 ) > 0，
6+
所以，存在 0 ∈ (0, ln 2 )，使 ′( 0) = 0，
且可使 ∈ (0, 0)， ′( ) < 0， ( )单调递减， ∈ (0, 0)时， ( ) < (0) = 0，舍去，
综上： ∈ [1, + ∞)．
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