资源简介

三角形
易错易混
1．三角形用符号“△”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；
②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示．
③平时所说的三角形的角是指三角形的内角．
④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等．
2．（1）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，即不仅形状相同，大小也相等．
（2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
（3）判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．
方法技巧
1．三角形的内角
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
2．三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
【拓展】
（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
（2）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．
3．三角形三边之间关系的应用：
①在判断三条线段能否组成三角形时，若两条较短线段的长的和大于最长线段的长，则三条线段可以组成三角形；否则，不可以组成三角形．
②已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围时，若三角形的已知两边长分别为，，则第三边长的取值范围是．
4．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决．
（1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考．
（2）因为三角形内角和为，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角．
5．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
6．等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
7．等边三角形
（1）等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
（3）等边三角形的判定
定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
8．含30°角的直角三角形
（1）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．
9．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：
（1）图形特征法：
最长边对最长边，最短边对最短边；
最大角对最大角，最小角对最小角．
（2）位置关系法：
①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．
②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．
（3）字母顺序法：
根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．
10．判定两个三角形全等常用的思路方法如下：
11．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有
（1）公共角；
（2）对顶角相等；
（3）等角加（或减）等角仍得等角；
（4）角平分线得两等角；
（5）同角（或等角）的余角或补角相等；
（6）平行线得同位角、内错角相等；
（7）垂直定义得两角相等；
（8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件．
强化训练
一．选择题（共12小题）
1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4
2．如图两段公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2千米，则M、C两点间的距离为（　　）千米．
A．2 B．1 C．0.5 D．
3．如图是折叠凳及其侧面示意图．若AC=BC=19cm,则折叠凳的宽AB可能（　　）
A．27cm B．38cm C．55cm D．73cm
4．如图，在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB=OC，BC=8，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．2 D．6
5．如图，在△ABC中，AB=AC=15，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则AE等于（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如图，在△ABC中，BD是边AC上的中线，E是BD的中点，连接AE，CE，若△ABC的面积为18cm2，则阴影部分的面积是（　　）
A．6cm2 B．9cm2
C．12cm2 D．条件不足，无法求出
7．（2025 益阳模拟）已知OA=OB=OC=1，，，则∠OBC=（　　）
A．60° B．75° C．30°或60° D．15°或75°
8．（2025 高邮市二模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D为AB中点，点M、N分别在AC、BC上，且AM=CN，连接MN，则点D到MN距离的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
9．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH组成，FH=，较短直角边与较长直角边和为5，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．5 B． C．10 D．13
10．如图，△ABC是边长为1的正三角形，点D，E分别是边AB，AC上的动点，连结BE，CD交于点F，且∠BFD=60°．作DG⊥BC于点G，EH⊥BC于点H．下列两条线段的和，不随D，E的运动而改变的是（　　）
A．AE+BD B．DF+EF C．GH+AE D．DG+EH
11．如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=36°，AB=AC，AD=AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（　　）
A．∠ADC=∠AEB B．CD∥AB C．DE=GE D．CD=BE
12．如图，已知△ABD和△BCD是一对全等的等腰直角三角形，∠DAB=∠DCB=90°，AB=AD，BC=CD，点M在BD边上（不与点D，B重合），延长AB到点F，使得BF=AE，过点M作ME⊥BD交AB于点E，垂足为M，连接AM，DE，MF，CF．下列结论正确的选项是（　　）
①AB=EF
②∠MEB=45°
③
④DM2+BM2=2AM2
A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④
二．填空题（共5小题）
13．如图，D、E分别是△ABC边AC、AB的中点，连接BD，DE．若∠ADE=∠BDC，DE=3，则BD的长为______．
14．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线，若∠A=40°，∠B=76°，∠DCE的度数为 ______．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=10，DE=4，则BD的长为 ______．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°（∠A＜∠ABC），点D，P分别在边AB，AC上，且BP=AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E．F．若S△ABC=24，AC=8，则DE+DF的值______．
17．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD相交于点O，过点O作OM⊥BC于点M，则下列结论：①若∠A=50°，则∠BOC=115°；②；③若OM=m,AB+BC+AC=n,则S△ABC=mn；④平面内到三条直线AB、AC、BC距离相等的点有3个．正确的有 ______．（只填写序号）
三．解答题（共5小题）
18．如图，C是∠MON内一点，CA⊥OM于点A，CB⊥ON于点B，连接AB，∠CAB=∠CBA．
求证：OC平分∠MON．
19．如图，五边形ABCDE，AD∥BC，CD=AD，延长AB、DC交于点F，∠F=∠DAE，AB=AE．
（1）求证CA平分∠BCD；
（2）若点B是AF的中点，
①求证：△ADE≌△FCB；
②若AC=2，DF=2，求点B到AC的距离．
20．如图，在正方形ABCD中，点E为AB边上的中点，连接DE，作AF⊥DE，垂足为F，连接BF．
（1）求的值；
（2）求证：△FEB∽△BED；
（3）取BD的中点O，连接OF．OF与BF之间有怎样的关系？请说明理由．
21．已知△ABC中，BE平分∠ABC．
（1）如图1，若点P在射线BE上，∠ABC=42°，CP∥AB且平分∠ACD，求∠A的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠C＜∠BAC，BE平分∠CBA，P为线段BE上一点，PF⊥BE于P交CA延长线于点F，∠BAC=m°，∠C=n°，求∠F的度数（用含m,n的代数式表示）．
（3）如图3，已知三角形三条角平分线交于一点O（点O在射线BE上），AP平分∠CAF交BE于点P，过点O作OD∥AP交边AB于点D．若∠APB=∠CAB=50°，将△AOD绕点A顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜200°）后得△AO′D′，旋转后的三角形一边所在直线与PB平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
22．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、AB边上的点（点D、E不与端点重合），AD=BE，连接BD、CE为交于点F，点G为CB延长线上一点，且BG=BC，点M为平面内BG上方、AB左侧一点，∠BMG=60°，延长GM交AB于点N．
（1）若点N是AB中点，AB=4，求线段GM的长度；
（2）若∠G+∠BDC=90°，请用等式表示线段BM、BF、CF之间的数量关系，并证明；
（3）若AB=2，P为△ABC内部一点，当最小时，直接写出△APM面积的最小值．
第8天 三角形
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、A 4、A 5、D 6、B 7、D 8、B 9、D 10、D 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、6； 14、18°； 15、6； 16、6； 17、①②③；
三．解答题（共5小题）
18、证明：∵∠CAB=∠CBA，
∴CA=CB，
∵CA⊥OM于点A，CB⊥ON于点B，
∴C点在∠MON的平分线上，
∴OC平分∠MON．
19、（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD，
∴∠ACB=∠ACD，
即CA平分∠BCD；
（2）①证明：∵点B是AF的中点，AB=AE，
∴AB=BF=AE，
∵AD∥BC，
∴，
∴CF=CD，
∵CD=AD，
∴CF=AD，
在△ADE和△FCB中，
∵CF=AD，∠F=∠DAE，BF=AE，
∴△ADE≌△FCB（SAS）；
②解：如图，过点A作AG⊥CD于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
由①得：BC是△ADF的中位线，
∴，，
∵，
∴，，
在Rt△ACG和Rt△ADG中，
∵AC2-CG2=AG2，AD2-DG2=AG2，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵∠ACB=∠ACD，
∴，
∴，
∴BH=1，
即点B到AC的距离为1．
20、（1）解：在正方形ABCD中，∠DAE=90°，AD=AB，
∵点E为AB边上的中点，
∴．
∴，
∴，
∵AF⊥DE，
∴∠AFE=90°，
∴∠DAE=∠AFE，
∵∠DEA=∠AEF，
∴△DEA∽△AEF，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知△DEA∽△AEF，
∴，
∴AE2=DE EF，
∵BE=AE，
∴BE2=DE EF，
∴，
∵∠FEB=∠BED，
∴△FEB∽△BED；
（3）解：OF⊥FB且FB=2OF．理由如下：
由（2）知△FEB∽△BED，
∴∠BFE=∠DBE=45°，∠FBE=∠BDE，
∴∠AFB=∠BFE+∠AFE=135°，
∠DFB=180°-∠BFE=135°，
∴∠AFB=∠BFD=135°，
∵∠FDB=∠FBA．
∴△AFB∽△BFD，
∴，
∴BF2=AF FD，
设AE=BE=x,则AB=AD=2x,，
∴，
在Rt△DAE中，，
根据解析（1）可知：，
∴AF=2EF，
根据勾股定理得：AF2+EF2=AE2=x2，
即（2EF）2+EF2=x2，
解得：，负值舍去，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵∠FBE=∠FDO，
∴△FBE∽△FDO，
∴∠DFO=∠BFE=45°，，
∴，
∴BF=2OF，
∵∠OFB=180°-∠DFO-∠BFE，
∴∠OFB=90°，
∴OF⊥FB．
21、解：（1）∵CP∥AB，且∠ABC=42°，
∴∠PCD=∠ABC=42°，
∵CP是∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠PCD=84°，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠A=∠ACD-∠ABC=84°-42°=42°；
（2）∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°且∠BAC=m°，∠ABC=n°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-m°-n°，
又∵BE平分∠ABC，
∴，
∴∠BEA=∠CBE+∠ACB=90°-m°-n°+n°=90°-m°+n°，
∵FP⊥BE即∠FPE=90°，
∴∠F+∠PEF=90°，
∴，即；
（3）∵∠BAC=50°，
∴∠CAF=180°-50°=130°，
∵AP是∠CAF的平分线，
∴∠CAP=65°，
∴∠BAP=∠BAC+∠CAP=50°+65°=115°，
∵∠APB=50°，
∴∠ABP=180°-∠BAP-∠APB=180°-115°-50°=15°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE=15°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=180°-50°-30°=100°，
又∵CO是∠ACB的平分线，
∴∠BCO=50°，
∴∠BDO=∠BOC=180°-15°-50°=115°，
∴∠ADO=180°-∠BDO=180°-115°=65°，
∵AO是∠BAC的平分线，
∴∠DAO=∠CAO=25°，
∴∠DAO+∠ADO=25°+65°=90°，
∴∠AOD=90°；
①如图，当AD'∥PB时，则∠APB+∠PAD'=180°，
∵∠APB=50°，
∴∠PAD'=130°，
∴旋转角度α=130°-65°-50°=15°；
②如图，当AO'∥PB，
同理可得，∠PAO'=130°，
∴旋转角∠OAO'的度数α=130°-65°-25°=40°；
③如图，当O'D'∥PB时，延长O'A交PB于点Q，则∠AQP=90°，
∴∠PAQ=40°，
∴∠CAQ=65°-40°=25°，
∴∠OAQ=∠OAC+∠CAQ=25°+25°=50°，
∴旋转角∠OAO'的度数α=180°-50°=130°；
④如图，当AD'∥PB时，则∠D'AP=∠APB=50°，
∴旋转角∠OAO'的度数α=360°-25°-65°-50°-25°=195°；
⑤如图，当AO'∥PB时，则∠O'AP=∠APB=50°，
∴旋转角∠OAO'的度数α=360°-25°-65°-50°=220°（舍去）；
综上，旋转角度数α的值为：15°或40°或130°或195°．
22、解：（1）如图1，
作NH⊥CG于H，作BQ⊥GN于Q，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=AB=4，
∴BG=BC=4，
∵N是AB的中点，
∴BN=2，
在Rt△BHN中，
BH=BN cos∠ABC=2 cos60°=1，NH=BN sin∠ABC=2 sin60°=，
∴GH=BG+BH=4+1=5，
∴GN==2，
∵sinG=，
∴，
∴BQ=，
∴QM=，
∵cosG=，
∴，
∴GQ=，
∴GM=GQ+QM=；
（2）如图2，
CF=BF+BM，理由如下：
作GW⊥CE，交CE的延长线于点W，CW交GN于R，交BM于V，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠A=60°，AB=BC，
∵AD=BE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠ABD=∠BCE，∠ADB=∠BEC，
∴∠ABD+∠CBD=∠BCE+∠CBD，∠BEV=∠BDC，
∴∠BCE+∠CBD=∠ABC=60°，
∴∠BFE=60°，
∵∠G+∠BDC=90°，
∴∠G+∠BEV=90°，
在四边形RGBE中，
∠BRE=360°-（∠RGB+∠BEV）-∠ABG=360°-90°-120°=150°，
∴∠MVR=∠BRE-∠GMB=150°-60°=90°，
在Rt△BFV中，
设VF=a,则BF=2a,BE=，
∵∠W=∠CVB=90°，
∴BV∥GW，
∴△CBV∽△CGW，
∴=，
∴GW=2BV=2，VW=CV，
在Rt△WGR中，∠WRG=180°-∠GRE=30°，
∴WR=GW=，
设VM=b,则RV=VM=，
∴CE=WV=6a+，
∴CF=CV-VF=6a+，
∵BM=BV+MV=，BF=2a,
∴CF=BF+BM；
（3）如图3，
将△APC绕点C顺时针旋转90°至△A′P′C处，连接AA′，
∴∠PCP′=90°，P′C=PC，A′C=AC=BC，
∴PP′=PC，
∴PA+PB+，
∴当B、P、P′、A′共线时，PA+PB+PC最小，
此时∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=135°，
∵∠CPP′=45°，
∴∠APA′=135°-45°=90°，
∴AP⊥BA′，
∵∠ACB+∠ACA′=60°+90°=150°，
∴∠A′=∠CBP=15°，
以BC为边作等边三角形BCQ，作△BCQ的外接圆O，则点M在⊙O上，
延长PB，交⊙O于X，将AP平移至YL且与⊙O相切于点M，此时△APM的面积最小，
作OT⊥BX于T，连接OM，连接OB，
则∠OMY=∠OTY=90°，
∴四边形OTYM是矩形，
∴TY=OM，
∵BG=BC=2，
∴OM=OB==，
∵∠OBT=∠OBG+∠GBX=30°+15°=45°，
∴BT=OB cos∠OBT==，
∴BY=TY-BT=，
∵AP=AB cos∠ABP=2 cos45°=，
∴PY=BP-BY=，
∴S△APM最小=．

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