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反比例函数
易错易混
（1）反比例函数图象的画法
①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来；
②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点；
③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸．
（2）反比例函数图象的特点
①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；
②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；
③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）．
（3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；
②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线；
③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点；
④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点．
方法技巧
1．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义
从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．常见模型如图：
2．应用反比例函数解决实际问题的基本步骤如下：
（1）审清题意，找出题目的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；
（2）根据常量、变量之间的关系，设出函数关系式，待定系数用字母表示；
（3）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数；
（4）写出函数关系式，并注意关系式中变量的取值范围；
（5）用函数关系式解决实际问题．
3．跨学科问题中常见的反比例关系：
（1）压力一定时，压强与受力面积成反比例．
（2）当功率一定时，力与速度成反比例．
（3）当电压一定时，用电器的输出功率与电阻成反比例．
（4）当电压一定时，电流强度与电阻成反比例．
4．当问题中设计几何问题时，可根据其图形建模，构造反比例函数解析式，并运用其性质解决问题，但要注意自变量的取值范围．
强化训练
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，y是x反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．y=-x2
2．反比例函数的图象位于（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
3．若反比例函数y=，当x＜0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A．k＞-2 B．k＜-2 C．k＞2 D．k＜2
4．若函数y=kx（k＞0）与函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（　　）
A．1 B．2 C．k D．k2
5．在函数y=（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（-1，y2）、C（-2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
6．如图，反比例函数在第一象限，△OAB的面积是1.5，则反比例函数中，k是（　　）
A．1.5 B．-1.5 C．3 D．-3
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（　　）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
9．如图，正比例函数y1=k1x（k1＜0）的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜-2或0＜x＜2 B．-2＜x＜0或x＞2
C．x＜-2或x＞2 D．-2＜x＜0或0＜x＜2
10．如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=（k＞3，x＞0）和y=（x＞0）的图象上．若点D的横坐标为3，则k的值是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．18
11．在平面直角坐标系中，将一个Rt△ABO的直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数y=（x＞0）的图象上，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA，OB分别在y轴和x轴上，已知对角线OC=5，tan∠BOC=．F是BC边上一点，过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与AC边交于点E，若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
二．填空题（共5小题）
13．已知反比例函数y=，其图象在所在的每一个象限内y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 ______．
14．如图，点A在反比例函数的图象上，A点的横坐标为2．经过点A的直线y=x+4与y轴交于点B．则k的值为______．
15．如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是16，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56，则反比例函数的解析式是 ______．
16．如图，点A、D分别在函数、的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则△EBC的面积为 ______．
17．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，点C在y轴负半轴上，连接AB，AC，AO，AC交x轴于点D，，D为AC中点，AB⊥AC且∠AOD=45°，若k1，k2是关于x的方程x2+16x+3m=0的两个实数根，则m的值为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，直线y=-x+2与反比例函数的图象相交于点A（a,3），且与x轴交于点B．
（1）求点A的坐标和该反比例函数的表达式；
（2）若P为y轴上的点，且△AOP的面积等于△AOB的面积的，求出点P的坐标．
19．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m,1），B（2，n）两点，与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积是3时，求点E的坐标．
20．如图，反比例函数的图象与矩形ABCO的边相交于D、E两点E（-5，1），且AD：BD=2：3，一次函数经过D、E两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△BDE的面积．
21．如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图象交于点A（m,3）和B（3，1）．
（1）求一次函数的表达式和m值．
（2）请根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，则S的最大值为______．
22．已知在平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标分别是另一个点横、纵坐标的，则称这个点是另一个点与原点连接线段的中点．
例：有点P（m,n），若点Q的坐标为，则点Q为线段OQ的中点．
根据以上材料解决下列问题：
如图，点A（1，a）在反比例函数上，点在反比例函数0）上．
（1）求a、k的值；
（2）点B（4，1）在反比例函数上，连接OA、OB，分别交反比例函数（x＞0）图象于C、D两点，连接AB．试猜想CD与AB的关系，并说明理由．
第6天 反比例函数
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、A 3、B 4、A 5、C 6、C 7、A 8、B 9、A 10、C 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、k＜-1； 14、12； 15、（x＞0）； 16、4.5； 17、-12；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）由条件可知3=-a+2．
∴a=-1．
∴A（-1，3）．
由条件可得．
∴k=-3．
∴该反比例函数的表达式为；
（2）∵直线y=-x+2与x轴相交于点B．
∴B（2，0），
∴，
∵△AOP的面积是△AOB的面积的，
∴S△AOP=2，
设P（0，n），
∴，
∴n=±4，
∴P的坐标为（0，4）或（0，-4）．
19、解：（1）∵一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m,1），B（2，n）两点，
∴把A（m,1），B（2，n）代入中，得：m=-6，n=-3，
∴A（-6，1），B（2，-3），
又∵A（-6，1），B（2，-3）在一次函数y=ax+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2），
设点D的坐标为，则，
∴，
∴，
解得：m1=-4，m2=0（不合题意，舍去），
∴．
20、解：（1）（1）由条件可得反比例函数的解析式为：，
∵反比例函数 的图象与矩形的边相交于D，E，
∴AB=5，
∵AD：BD=2：3，
∴，
∴AD+BD=AB，
BD=3，
AD=AB-BD=5-3=2，
点横坐标为-2，
设D点纵坐标为m,
把点D（-2，m）代入，
，
∴，
把点E（-5，1）和点代入y=ax+b（a≠0）得
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）由（1）得，，
由条件可知CE=1，
∴，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠DBE=90°，
∴
=
=．
21、解：（1）由条件可得1=-3+b,
解得b=4，
∴一次函数解析式是y=-x+4，
由条件可知-m+4=3，
∴m=1；
（2）由（1）得点A（1，3），
一次函数与反比例函数的交点分别为点A（1，3）和B（3，1），
由图可得，的解集为：0＜x≤1或x≥3；
（3）∵点P是线段AB上一点，
∴设P（n,-n+4），1≤n≤3，
∴，
∵，且1≤n≤3，
∴当n=2时，S有最大值，且最大值是2．
故答案为：2．
22、解：（1）∵点A（1，a）在反比例函数上，
∴a=4，
∵点M（，4）在反比例函数0）上．
∴k=1，
∴a=4，k=1．
（2）CD∥AB，CD=AB．理由如下：
∵A（1，4），
∴直线OA的解析式为y=4x,
联立方程组，解得，，
∴C（，2），
∵点B（4，1），
∴直线OB的解析式为y=x,
联立方程组，解得，，
∴D（2，），
由点A、C、B、D的坐标可知，点C是OA的中点，点D是OB的中点，
∴CD是△OAB的中位线，
∴CD∥AB，CD=AB．

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