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二次函数
（1）上下平移
若原函数为
①其中m均为正数，若m为负数，向上平移m个单位，即向下平移|m|个单位．
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负．
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形．
注意：
（1）抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．
（2）涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x-h）2+k的形式．
（3）抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2+k的顶点是（0，k），y=a（x-h）2的顶点是（h，0），y=a（x-h）2+k的顶点是（h，k）．我们只需在坐标系中画出这几个顶点，即可轻松地看出平移的方向．
（4）抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．
【简记为：上加下减常数项，左加右减自变量】
（1．二次函数图象与系数a，b，c的关系
二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当时，抛物线开口向上 当时，抛物线开口向下
一次项系数b 决定对称轴的位置 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为对称轴为y轴）
常数项系数c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当时，抛物线与轴的交点在轴上方 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点 当时，抛物线与轴的交点在轴下方
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点 b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点 b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点
2．用待定系数法求二次函数的解析式
（1）设一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将已知条件代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组求出a，b，c的值，解析式便可得出．
（2）设顶点式：y=a（x-h）2+k，若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为y=a（x-h）2+k，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式．
（3）设交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0），设所求二次函数为y=a（x-x1）（x-x2），将第三个点的坐标（m，n）（其中m，n为已知数）或其他已翻条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式．
3．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
一．选择题（共12小题）
1．若方程ax2+bx+c=0的两个根是-3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　）
A．x=-3 B．x=-2 C．x=-1 D．x=1
2．已知二次函数y=（x+1）2+（x-3）2，当函数y取最小值时，x的值是（　　）
A．x=-1 B．x=3 C．x=2 D．x=1
3．已知二次函数y=（x-2）2+2m+1（m为常数），其图象上有两点A（a-1，y1），B（a+1，y2），如果y1＞y2，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞0或a＜-1 B．-1＜a＜1 C．a＜2 D．1＜a＜3
4．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数y=x2+2x+3m-8的图象只经过三个象限，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．关于x的二次函数y=x2-2mx+m2-1，当x＜1时，y随x的增大而减少，则抛物线的顶点坐标在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．把二次函数y=3x2的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（　　）
A．y=3（x+1）2+2 B．y=3（x+1）2-2
C．y=3（x-1）2-2 D．y=3（x-1）2+2
7．观察表格，估算一元二次方程x2-x-1=0的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2-x-1 -0.44 -0.25 -0.04 0.19 0.44
由此可确定一元二次方程x2-x-1=0的一个近似解x的范围是（　　）
A．1.4＜x＜1.5 B．1.5＜x＜1.6 C．1.6＜x＜1.7 D．1.7＜x＜1.8
8．如图，矩形绿地的长、宽分别为30m,20m,现将矩形绿地的长、宽各增加x m.设新绿地的周长为ym,面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（　　）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．正比例函数关系，一次函数关系
9．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为米的喷水管喷水最大高度为4米，此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是（　　）
A．y=x2+4 B．y=-10（x+）2+4
C．y=4（x-）2+ D．y=-10（x-）2+4
10．在同一坐标系中，一次函数y=ax+a和二次函数y=-ax2+3x+2的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
11．已知直线l过点A（-2，-1），B（3，4），二次函数y=ax2+2ax+a（a≠0）的图象和直线l交于点C，D（C在D的左侧），若AC=BD，则满足条件的a的值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．新定义：若函数图象恒过点（m,n），我们称（m,n）为该函数的“永恒点”．如：一次函数y=k（x-1）（k≠0），无论k值如何变化，该函数图象恒过点（1，0），则点（1，0）称为这个函数的“永恒点”．点P和点B分别为抛物线y=-mx2-2mx+3m（m＞0）的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线y=mx+3m（m＞0）的距离为d1，设点P到直线y=mx+3m（m＞0）的距离为d2，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
二．填空题（共5小题）
13．已知二次函数的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），则该二次函数的表达式为 ______．
14．如图，在坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心，函数y=x2+c,使它的图象与正方形ABCD有公共点，则c的取值范围是 ______．
15．（2025 新都区模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+3与抛物线y=ax2+（2b-2）x+3c+3交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若a+b+c=0且a＞b＞c,则|x1-x2|的取值范围为______．
16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一象限内抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m,连接OD，交直线BC于点E．则的最大值为______．
17．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD=12cm,此时面汤最大深度EG=8cm.
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ______；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH=______．
三．解答题（共5小题）
18．已知：抛物线y=ax2-（a+3）x+1．
（1）求证：抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若点A（a-1，m），点B（a+1，m）是该抛物线上两点，求代数式2a3-a2-3a+1的值．
19．为了响应环保号召，某工厂开展节能减排行动．已知工厂每月的利润y（万元）与每月减少的碳排放量x（吨）之间存在一定的函数关系．当每月减少的碳排放量为0吨时，工厂利润为50万元；之后每减少1吨碳排放量，工厂的生产成本会降低一部分，利润随之增加，且增加的幅度逐渐变小．经过数据分析，发现利润y与减少碳排放量x之间满足二次函数关系：y=-x2+20x+50．
（1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标，并说明它们在本题中的实际意义．
（2）若该工厂计划下个月利润达到125万元，则下个月需要减少多少吨碳排放量？
（3）根据环保政策要求，该工厂下个月要减少12吨碳排放量，在满足政策要求的前提下，求该工厂下个月利润的最大值．
20．已知二次函数（b为常数）的图象经过点A（1，-4）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当0≤x≤a时，二次函数的最大值为12，求a的值；
（3）该二次函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位长度得到新的二次函数L，当0≤x≤4时，二次函数L的最小值为-4，求m的取值范围．
21．某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形DEFG为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从A（1，0）处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为1m）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为2m.已知DE=1m,EF=0.6m,DA=4.7m.
（1）求抛物线L的解析式和顶点坐标．
（2）请通过计算说明该同学抛出的弹珠能否投入箱子．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）当2≤x≤m,且m＞2时，y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2，直接写出m的值是 ______；
（3）如图1，直线y=-x+2与x轴交于点D，与y轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N，求的最大值；
（4）如图2，连接AE，将原抛物线沿射线ED方向平移得到新抛物线y′，使平移后的新抛物线y′经过点B，新抛物线y′与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线y′上是否存在一点T，使得∠TMB+∠AEO=90°？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由．
第5天 二次函数
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、D 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、A 9、D 10、D 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、y=-x2-2x+3； 14、-2≤c≤1； 15、是＜|x1-x2|＜2； 16、1； 17、6cm；；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：当ax2-（a+3）x+1=0时，
Δ=[-（a+3）]2-4a
=a2+2a+9
=（a+1）2+8，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+8＞0，即Δ＞0；
∴抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：∵点A（a-1，m），点B（a+1，m）是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴，
∴，
∴2a2-a=3，
∴2a3-a2-3a+1=a（2a2-a）-3a+1=3a-3a+1=1．
19、解：（1）∵y=-x2+20x+50，
∴对称轴直线为，
当x=10时，y=-102+20×10+50=150，
∴顶点坐标为（10，150），
∵-1＜0，即图象的开口象限，
∴当减少碳排放量等于10吨时，最大利润为150万元；
（2）当y=125时，-x2+20x+50=125，
∴x2-20x+75=0，
∴（x-5）（x-15）=0，
∴x1=5，x2=15，
∴当利润达到125万元时，需要减少5吨或15吨；
（3）∵y=-x2+20x+50=-（x-10）2+150，
∵-1＜0，顶点坐标为（10，150），
∴图象开口向下，当x≤10时，y随x的增大而增大，当x≥10时，y随x的增大而减小，
由题意可得：当x=12时，确定最大值，
∴y=-（12-10）2+150=146，
∴满足政策要求的前提下，该工厂下个月利润的最大值146万元．
20、解：（1）∵二次函数（b为常数）的图象经过点A（1，-4），
∴，
解得b=-2，
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
（2）∵y=x2-2x-3，
当x=0时，y=-3＜12，
令y=12，即x2-2x-3=12，
解得x1=-3，x2=5，
∵a＞0，
∴a的值为5；
（3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴平移后的二次函数L的表达式为y=（x-1-m）2-4，对称轴为直线x=1+m,
∵当0≤x≤4时，二次函数L的最小值为-4，
∴0≤1+m≤4，解得-1≤m≤3，
∵m＞0，
∴0＜m≤3．
21、解：（1）由抛物线可知，当x=0时，，
又当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为2m,由图可知另一点坐标为，
把点A（1，0），代入得：，
解得：，
∴抛物线L的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为（-1，2）；
（2）∵A（1，0），
∴OA=1m,
∵DA=4.7m,
∴DO=3.7m,即点D（-3.7，0），
∵DE=1m,，
∴OE=2.7m,
∴点，，
当时，，
解得：，
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子；
22、解：（1）由题意可得：
，
∴，
故y=-x2+4x+5．
（2）∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴顶点坐标为（2，9）．
当2≤x≤m时，
由于抛物线开口向下，顶点处取得最大值s,即 s=9．
在区间右端点x=m 处取得最小值 t,代入解析式得：t=-m2+4m+5，
∵s-t=2，
∴9-（-m2+4m+5）=2，
，（m＞2，舍去），
综上所述：；
故答案为：2+；
（3）过点P作PQ∥AB交直线DE于点Q．
设点P（m,-m2+4m+5），则点Q（m2-4m-3，-m2+4m+5）．
由题意可得：D（2，0），
∴AD=2-（-1）=3，
∵PQ∥AB，
∴△PNQ∽△AND，
∴．
∵，且-1＜m＜5，
∴时，的值最大，最大值为．
把代入y=-x2+4x+5，得．
∴点P的坐标为．
（4）由题意可得：D（2，0），E（0，2），
∴OD=OE=2，
∴沿着ED方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度，
由y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，
∴设y′=-（x-n-2）2+9-n,把点B（5，0）代入得：-（3-n）2+9-n=0，
解得n=0（舍去）或n=5，
∴y′=-（x-5-2）2+9-5=-x2+14x-45，
令y′=0，-x2+14x-45=0，
解得x=5或x=9，
故点M（9，0），
∵∠TMB+∠AEO=90°，∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠TMB=∠EAO，
设点T（n,-n2+14n-45），过点T作TG⊥BM于点G，
故Rt△MGT∽Rt△AOE，
∴，即，
解得：n=7或n=9（舍去），
∴T1（7，4）；
同理可得Rt△MHT∽Rt△AOE，
∴，即，
∴n=3或n=9（舍去），
∴T2（3，-12），
综上，点T的坐标为T1（7，4）或T2（3，-12）．

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