资源简介

正比例函数与一次函数
一次函数图象的平移中说的“左加右减，上加下减”，注意
“左加”指的是，图象向左平移a（a>0）个单位长度，对应函数中的“x”换成“x+a”，即函数解析式“y=kx+b”变为“y=k（x+a）+b”；
“右减”指的是，图象向右平移a（a>0）个单位长度，对应函数中的“x”换成“x﹣a”，即函数解析式“y=kx+b”变为“y=k（x﹣a）+b”．
“上加”指的是，图象向上平移m（m>0）个单位长度，对应函数在函数解析式“y=kx+b”等号右端整体“+m”，即函数解析式变为“y=kx+b+m”；
“下减”指的是，图象向下平移m（m>0）个单位长度，对应函数在函数解析式“y=kx+b”等号右端整体“﹣m”，即函数解析式变为“y=kx+b﹣m”．
即
平移前 平移方向 平移后
y=kx+b 向左平移a（a>0）个单位长度 y=k（x+a）+b
向右平移a（a>0）个单位长度 y=k（x﹣a）+b
向上平移m（m>0）个单位长度 y=kx+b+m
向下平移m（m>0）个单位长度 y=kx+b﹣m
1．k决定直线的倾斜程度和增减性，b决定直线与y轴的交点位置．
2．当自变量取不同值时，一般利用函数的增减来判断其对应函数值的大小．
3．运用一次函数解决实际问题的步骤是求出函数解析式（如果问题中没有明确两个变量的关系是一次函数关系，就要根据题意直接写出其解析式；如果明确是一次函数关系，就可以用待定系数法求出其解析式），然后利用其图象和性质解决实际问题．
4．正比例函数y=kx（k≠0）中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小．
5．直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的．k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓；b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方，b<0，直线交y轴下方．若两直线的k相同，则两直线互相平行．
一．选择题（共12小题）
1．下列关系式中，y不是x的一次函数的是（　　）
A．x+3y=1 B．2x+3y=0 C． D．
2．能表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m,n是常数且mn≠0）的图象的是（　　）
A． B． C． D．
3．如果一次函数y=kx+b的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
4．关于正比例函数，下列结论不正确的是（　　）
A．图象经过原点 B．y随x的增大而减小
C．当x1＜x2时，y1＜y2 D．当x＞0时，y＜0
5．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．乙用16分钟追上甲
B．乙的速度是60米/分钟
C．乙到达终点时，甲离终点还有800米
D．当乙出发40分钟时，甲、乙两人的距离最远
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y=-2x的图象上，若x1＜x2则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1=y2 D．y1≥y2
7．若点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在一次函数y=（k-1）x+2（k为常数）的图象上，且当x1＜x2时，y1＞y2，则k的值可能是（　　）
A．k=0 B．k=1 C．k=2 D．k=3
8．无为板鸭是安徽的一道传统特色美食，制作无为板鸭需要经过木屑熏烤，某板鸭店的熏烤时间与鸭子的质量对应的部分数据如表：
鸭子的质量x/千克 … 1 1.5 2 …
熏烤时间t/分钟 … 10 18 26 …
已知熏烤鸭子的时间t是鸭子质量x的一次函数，则当x=2.6时，t的值为（　　）
A．35.6 B．42.7 C．58 D．60
9．小林在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面上拉动木块进行实验．如图用弹簧测力计拉着重为12N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数F（N）是装置高度h（m）的一次函数．当h=0m时，F为2N；当h=0.2m时，F为4N．当弹簧测力计读数达到最大量程10N时，此时装置高度h为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线AB绕点B顺时针旋转15°交x轴于点C，则线段AC的长为（　　）
A．1 B． C． D．
11．如图，点P是第二象限内直线（b为大于2的常数）上一个动点，点A（-4，0）、B（0，2），当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积的变化情况为（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定
12．如图1，数轴上点A表示数0，点B表示数1，线段AB（不含端点）上的动点M表示实数m,则0＜m＜1；如图2，将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合（从A到B是逆时针方向）；如图3，再将这个圆平移到平面直角坐标系中，使其圆心落在y轴上，点A的坐标为（0，1）．直线AM与x轴交于点N（n,0），则n是关于m的函数．下列说法中正确的是（　　）
A．当时，n=-1
B．存在0＜a＜b＜1，使得当m=a和m=b时，函数值相等
C．当0＜m＜1时，n随m的增大而增大
D．n是m的一次函数
二．填空题（共5小题）
13．一次函数y=kx+3的图象经过点（-1，-1），则k=______．
14．如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（-2，4），则不等式kx+b＞4的解集为______．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为 ______．
16．如图，已知直线y1=2x+3与直线y2=kx+b（k≠0）交于点（n,6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 ______．
17．已知直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在直线上，且位于第一象限．若∠CBA=∠BAO，则点C的坐标为______．
三．解答题（共5小题）
18．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y=2x+m与y=-x+n的图象都经过点A（-2，0），且分别与y轴交于点B和点C．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）设点D在直线y=-x+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D的坐标．
19．某学校每个月都有一些复印任务，学校附近有甲、乙两家复印社可供选择，其中甲复印社按每复印100页材料收费40元计费；乙复印社则需先按月支付200元的承包费，再按每复印100页材料收费a元计费．已知甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，甲、乙两复印社（针对该校）每月收费y（元）与复印材料页数x（页）之间的函数图象如图所示，据此回答以下问题：
（1）乙复印社复印800页材料时收费______元；
（2）求乙复印社每月收费y（元）与复印材料页数x（页）之间的函数关系式；
（3）当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是______页．
20．如图，直线l1：y=-2x+4与x轴交于点B，OB=OC，直线l2：y=kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积；
（3）根据图象，直接写出0≤-2x+4＜kx+b的解集．
21．重庆樱桃节在4月拉开序幕，沙坪坝区歌乐山甲、乙两家生态园的规划与质地同销售单价也相同．两家均推出了优惠方案．甲生态园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的樱桃六折优惠；乙生态园的优惠方案：游客进园不需要购买门票，采摘的樱桃超过一定数量后，超过部分打折优惠，若游客的樱桃采摘量为x（千克），在甲生态园所需总费用为y1（元），在乙生态园所需总费用为y2（元），图中折线O-A-B表示y2与x之间的函数关系．
（1）求y1与x（x≥0）之间的函数关系式、y2与x（x≥10）的函数关系式．
（2）当游客采摘25千克的樱桃时，你认为他在哪家生态园采摘更划算？
22．（2025 盐都区二模）定义：如图1，点M关于点P的对称点为点T，点T关于原点O的对称点为点N，则称点N为点M关于点P的二次对称点．
【概念理解】
（1）点P（3，2），点N为点M关于点P的二次对称点，则MN= ______．
（2）若点Q（-2，0），A（t,0），点B为点A关于点Q的二次对称点，则点B的坐标为 ______．（用t的代数式表示）
【形成技能】
（3）点D为点C关于点P（3，2）的二次对称点，且PC、PD都与坐标轴平行，画图分析．求点C的坐标．
【灵活运用】
（4）如图2，点F为点E关于点P（3，2）的二次对称点，连结FP，当动点F在直线m上滑动时，点E也随之而滑动，已知直线m的解析式为y=x+b（b＞0），若在运动过程中，一定存在∠EPF=90°的情形．求b的取值范围．
第4天 正比例函数与一次函数
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、C 3、A 4、C 5、D 6、B 7、A 8、A 9、A 10、C 11、C 12、C
二．填空题（共5小题）
13、4； 14、x＞-2； 15、（-2，6）； 16、x； 17、（，）；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）将A（-2，0）代入y=2x+m,解得m=4，
∴y=2x+4，
令x=0，则y=4，即B（0，4），
将A（-2，0）代入y=-x+n,解得n=-1，
∴y=-x-1，
令x=0，则y=-1，即C（0，-1），
（2）如图，过D作DE⊥BC于E，
当△ABD的面积为15时，S△ABC+S△BCD=15，
即AO×BC+DE×BC=15，
∴×2×5+×DE×5=15，
∴DE=4，
y=-x-1中，令x=4，则y=-3，
∴D（4，-3）．
19、解：（1）∵甲复印社按每复印100页材料收费40元计费，
∴甲复印社复印800页需要收费为：（800÷100）×40=320（元），
∵甲、乙复印社分别复印800页材料时所收总费用相同，
∴乙复印社复印800页材料时收费320元，
故答案为：320；
（2）设乙复印社每月收费y（元）与复印材料页数x（页）之间的函数关系式为y=kx+b,
∵点（0，200），（800，320）在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙复印社每月收费y（元）与复印材料页数x（页）之间的函数关系式为y=x+200；
（3）由题意可得，
甲复印社每月收费y（元）与复印材料页数x（页）之间的函数关系式为y=x=0.4x,
由（2）知，乙复印社每月收费y（元）与复印材料页数x（页）之间的函数关系式为y=x+200，
令0.4x-（x+200）=50，
解得x=1000，
即当甲复印社比乙复印社每月收费多50元时，该学校复印材料的页数是1000页，
故答案为：1000．
20、解：（1）∵l1的直线解析式为y=-2x+4，
当y=0时，x=2，
∴B（2，0），
∵OB=OC，
∴C（-2，0），
∵l2：y=kx+b经过点C和点A，
，
解得，
∴l2的直线解析式为；
（2）在直线l1的解析式y=-2x+4中，
当x=0时，y=4，
∴E（0，4），
在直线l2的解析式中，当x=0时，，
∴，
∴，
∴；
（3）由函数图象可知，0≤-2x+4＜kx+b的解集为1＜x≤2．
21、解：（1）甲生态园的优惠方案：
游客进园需购买60元的门票，采摘的樱桃六折优惠；
乙生态园的优惠方案：游客进园不需要购买门票，采摘的樱桃超过一定数量后，超过部分打折优惠，
300÷10=30（元/千克）．
∴y1=30×0.6x+60=18x+60；
当x≥10时，设y2=kx+b,
∴，
∴，
∴y2=12x+180，
∴y2=12x+180（x≥10）；
（2）当x=25时，
y1=18×25+60=510，
y2=12×25+180=480，
∴y1＞y2，
∴他在乙家樱桃园采摘更划算．
22、解：（1）设M（a,b），
∵点P（3，2），点N为点M关于点P的二次对称点，
∴T（6-a,4-b），
∴N（a-6，b-4），
∴，
故答案为：2；
（2）∵点Q（-2，0），A（t,0），点B为点A关于点Q的二次对称点，
∴点A（t,0）关于点Q的对称点为（-4-t,0），
∴点B的坐标为（4+t,0）；
故答案为：（4+t,0）；
（3）①如图，
∵CP∥y轴，DP∥x轴，
又∵DO=TO，
∴点T与点P（3，2）关于x轴对称，
∴点T（3，-2），
∵P（3，2）为CT的中点，
∴点C（3，6）；
②如图，
∵CP∥y轴，DP∥x轴，
又∵DO=TO，
∴点T与点P（3，2）关于y轴对称，
∴点T（-3，2），
∵P（3，2）为CT的中点，
∴点C（9，2）；
（4）如图，连接EF，令直线交x轴于A，交y轴于B，
在中，
当x=0时，y=b,即B（0，b），
当y=0时，，
解得x=-2b,即A（-2b,0），
∴OA=2b,OB=b,
∴，
∵点F为点E关于点P（3，2）的二次对称点，
∴由（1）可得：，EP=PH，FO=OH，
∵∠EPF=90°，
∴FP垂直平分EH，∠FPH=90°，
∴，
∴，
∴点F在以O圆心，为半径的圆上运动，
当直线于⊙O相切时，此时OF⊥AB，
∵，
∴，
解得b=，
∵在运动过程中，一定存在∠EPF=90°的情形，
∴b的取值范围为．

展开更多......

收起↑