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方程与不等式
1．解分式方程需要验根．
2．用方程解应用题需要检验，第一需要检验是否为方程的增根，第二需要检验是否符合实际意义．
1．解二元一次方程组的方法选择
①当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
②当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
③方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法；
④当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法．
组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．
2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
（1）一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
（2）一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
（3）一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的常用解法
（1）当时，利用直接降次法解形如的一元二次方程，开方后不要丢掉负根．
（2）配方时，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，这种做法的前提是二次项系数必须是，这是最容易忘记的．
（3）公式法解一元二次方程的步骤：
①把方程化为一般形式；
②确定、、的值；
③计算的值；
④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式．
（4）若方程中有括号，不要急于去掉括号，观察方程是否可采用因式分解法求解．
（5）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为的形式，进而得到或来求解．
4．用根与系数的关系求值时的常见转化
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
5．一元一次不等式的解法
解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x>a（x≥a）或x一般步骤：
步骤 根据
去分母 不等式的性质2或3
去括号 去括号法则
移项 不等式的性质1
合并同类项 合并同类项法则
系数化为1 不等式的性质2或3
在去分母时不要漏乘不含分母的项，移项要变号，注意不等号方向是否改变．
6．用数轴表示不等式的解集：
大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图．
x＞a 两大取大
x＜b 两小取小
b无解 大大小小无处挑
7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：
（1）审题；
（2）设未知数；
（3）找出能够包含未知数的不等量关系；
（4）列出不等式（组）；
（5）求出不等式（组）的解；
（6）在不等式（组）的解中找出符合题意的值；
（7）写出答案（包括单位名称）．
一．选择题（共12小题）
1．某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按1：2配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（　　）
A．80m=2×50×（90-m） B．2×50m=80×（90-m）
C．2×80m=50×（90-m） D．50m=2×80×（90-m）
2．已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）-18=0，则x2+4x的值为（　　）
A．3 B．3或-6 C．-3或6 D．6
3．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x,根据题意可列方程为（　　）
A． B． C． D．
4．已知a＞5，下列不等式一定成立的是（　　）
A．-a＞-5 B．5-a＞0 C．2a＞10 D．a＞6
5．小明准备完成题目：解一元二次方程x2-4x+□=0．若“□”表示一个数字，且方程x2-4x+□=0有实数根，则“□”的值可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，则x12+x22=（　　）
A．2 B．-2 C．-1 D．10
8．已知实数a,b满足a+b-1=0，0＜a-b-1＜1，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C．1＜2a+4b＜2 D．5＜4a-2b＜7
9．若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0无实数根，则实数c的值可能为（　　）
A．-4 B．4 C．5 D．-5
10．若关于x的一元二次方程（k-2）x2-4x+3=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（　　）
A．-5 B．-8 C．-9 D．-12
12．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b-c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a=0，4a+2b+c=0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
二．填空题（共5小题）
13．已知x1，x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的两根，则x1+x2+x1x2=______．
14．若关于x的方程（m-4）x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程，则m=______．
15．若关于x的方程无解，则k的值为______．
16．若x1，x2是已知关于x的方程x2-（m-1）x+=0的两个实数根，且x1x2-+m=-4，则m的值为______．
17．关于不等式组，下列说法正确的是______．（填所有正确说法的序号）
①如果b≥a,则不等式组一定有实数解；
②如果b≥a+1，则不等式组一定有整数解；
③如果不等式组有两个整数解，则2≤b-a＜3；
④如果a＜0，且不等式组有三个非负整数解，则b的范围是2≤b＜3．
三．解答题（共5小题）
18．解方程：
（1）3（x-1）=2x-4；
（2）．
19．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．某航模商店购进A、B两种航空模型进行销售，已知购进A种航空模型和B种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和B种航空模型1个共需90元．
（1）求A、B两种航空模型进价分别多少元；
（2）某商店计划购买A、B两种航空模型共80个，若A、B两种航空模型的售价分别是40元和
50元，要使获得的利润不低于1100元，请问至少购买A种航空模型多少个？
已知关于x、y的方程组（实数m是常数）．
（1）若x+y=1，求实数m的值；
（2）若-1≤x-y≤5，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：|m+2|+|m-5|．
已知关于x的方程+=-1无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘（x-3），得（3-2x）-（2+mx）=3-x,第一步
整理，得（m+1）x=-2第二步
当x=3时，原方程无解，此时，（m+1）×3=-2，m=-，因此，m=-．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
22．请阅读下列材料：
已知方程x2+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=，
把x=代入已知方程，得-3=0．
化简，得y2+2y-12=0，故所求方程为y2+2y-12=0，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______；
（2）已知方程2x2-7x+3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为3，-2，求一元二次方程ay2-（2a-b）y+a-b+c=0的两根．
第3天 方程与不等式
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、A 3、D 4、C 5、A 6、B 7、D 8、C 9、C 10、C 11、B 12、B
二．填空题（共5小题）
13、； 14、0； 15、4； 16、-2； 17、②③④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）3（x-1）=2x-4，
3x-3=2x-4，
3x-2x=-4+3，
x=-1，
∴原方程的解为x=-1；
（2），
3（x+2）-2（2x-3）=6，
3x+6-4x+6=6，
-x=6-6-6，
x=6，
∴原方程的解为x=6．
19、解：（1）设A种航空模型进价为x元/个，B种航空模型进价为y元/个．
∵购进A种航空模型和B种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和B种航空模型1个共需90元，
∴，
解得，
答：A种航空模型进价为25元/个，B种航空模型进价为40元/个；
（2）设购买A种航模m个，则购买B种模型（80-m）个，
∵获得的利润不低于1100元，
∴（40-25）m+（50-40）（80-m）≥1100，
解得m≥60，
答：至少购买A种航空模型60个．
20、解：（1），
①+②得，3x+3y=6m+1，
∴，
由条件可知，
解得；
（2），
①-②得，x-y=2m-1，
由条件可知-1≤2m-1≤5，
解得0≤m≤3；
（3）∵0≤m≤3，
∴m+2＞0，m-5＜0，
∴|m+2|+|m-5|=m+2+5-m=7．
21、解：当x=3时，分式方程去分母得：（3-2x）-（2+mx）=3-x,
由分式方程无解得到x-3=0，即x=3，
代入整式方程得：3（m+1）=-2，即m=；
当x-3≠0时，原式可化为x=，
∵原方程无解，
∴m+1=0，即m=-1．
综上所述，m=-或m=-1，
故第三步错误．
22、解：（1）设所求方程的根是y,则y=-x,所以x=-y,
把x=-y代入x2+x-2=0，
得y2-y-2=0，
故答案为：y2-y-2=0；
（2）设所求方程的根是y,则y=，
所以x=，
把x=代入方程2x2-7x+3=0，得
2（）2-7 +3=0，
化简，得3y2-7y+2=0；
（3）一元二次方程整理后可得：a（y-1）2+b（y-1）+c=0，
∵令y-1=x,
∴y=x+1，
则方程 a（y-1）2+b（y-1）+c=0 的两根比 ax2+bx+c=0（a≠0）两根大1，
所以方程 a（y-1）2+b（y-1）+c=0 的两根分别是4、-1．

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