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整式、分式、二次根式、因式分解
1．一个式子是分式需满足的三个条件：
（1）是形如的式子；
（2）A，B为整式；
（3）分母B中含有字母．三个条件缺一不可．
2．约分
（1）分式约分时，要注意不注意符号导致的错误．
（2）要注意约分不彻底导致的错误．
（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．
（4）约分的结果是整式或最简分式．
（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．
3．分解因式要彻底．
1．同类项
（1）几个项是不是同类项，一看所含字母是否完全相同．二看相同字母的指数是否相同．“二同”缺一不可．
（2）同类项与单项式的系数无关，与字母顺序无关，几个常数项也是同类项．
（3）同类项不一定是两项，也可以是三项，四项……但至少为两项．
2．合并同类项
（1）合并同类项时，注意合并的只是系数，字母部分不变，不要漏掉．
（2）合并同类项时，注意各项系数的符号，尤其系数为负数时，不要遗漏负号，同时不要丢项．
（3）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项的结果为0．
3．整式的加减的最后结果的要求：
（1）不能含有同类项，即要合并到不能再合 并为止；
（2）一般按照某一字母的降幂或升幂排列；
（3）不能出现带分数，带分数必须要化为假分数．
4．整式的化简求值
（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．
（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来
5．约分时需要注意的问题：
（1）如果分子、分母中至少有一个是多顶式，就应先分解因式，然后找出分子、分母的公因式，再约分．
（2）注意发现分式的分子和分母的一些隐含的公因式，如a﹣5与5﹣a表面虽不相同，但通过提取“﹣”可发现含有公因式（a﹣5）．
（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面．
通分时确定了分母乘什么，分子也必须随之乘什么，要防止只对分母变形而忽略了分子，导致变形前后分式的值发生变化而出错．
6．分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，在运算过程中要注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便．
7．因式分解
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．
一．选择题（共10小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A．a+2a=3a2 B．（-a）2 a3=-a5
C．a5÷a2=a3 D．（2a3）2=2a6
2．单项式的系数和次数分别是（　　）
A．，2 B．，3 C．，2 D．，3
3．如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若MN的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为S，周长之和为C，则下列说法正确的是（　　）
A．S和C均不变 B．只有S不变 C．只有C不变 D．S和C均会变
4．多项式因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2-3x+2=（x-1）（x-2） B．（x-1）（x-2）=x2-3x+2
C．x2+4x+4=x（x-4）+4 D．x2+y2=（x+y）（x-y）
6．（2025 南开区二模）计算的结果等于（　　）
A．3 B． C． D．
7．（2025 陇南二模）若，则A的值是（　　）
A．-3 B．2 C．3 D．-2
8．若实数a,b在数轴上的对应点如图，则化简的结果为（　　）
A．2a B．2b C．-2a D．-2b
9．已知实数a、b、c在数轴上如图，则=（　　）
A．0 B．c-b-a C．c+b-a D．a+b+c
10．如图，大圆的面积为，小圆的面积为，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，其中S2是S1，S3的平均数，则S2的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 江阳区模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12．使分式的值为整数的整数x的值是 ______．
13．已知，xy=2，则2x2y-xy2=______．
14．已知27a×9b=81且a≥2b,则8a+4b的最小值为______．
15．若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“升数”．例如631，∵6-3=3，∴631是“升数”；例如536，∵5-3≠3，∴536不是“升数”．则最小的“升数”是______.若“升数”N的百位数字、十位数字、个位数字依次为a,b,c,并规定：F（N）=a+c,P（N）=a-b+c,其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“升数”N的最大值是______．
三．解答题（共5小题）
16．先化简，再求值：3（x2-2xy）-[4x2-2y+2（-xy+y）]，其中x=-4，y=．
17．阅读下列材料：经过研究发现，常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：x2-mn+2n-2n,细心观察这个多项式就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前、后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为n2-mn+2m-2n=（m2-mn）+（2m-2n）=m（m-n）+2（m-n）=（m-n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解：a3-3a2+6a-18；
（2）因式分解：ax+a2-2ab-bx+b2．
18．先化简：，再从-2，-1，1，2四个数中选一个合适的数作为a的值，代入求值．
19．如图，在河岸EF和河岸GH（EF∥GH）上分别安置了A、B两盏探照灯，若灯A发出射线AM自AF逆时针旋转至AE便立即回转，灯B发出射线BN自BG逆时针旋转至BH便立即回转．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足a=++4．
（1）求a、b的值；
（2）如图1，若灯B射线先转动2秒，灯A射线才开始转动，设A灯转动t秒（t＜90），问t为何值时，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，连接AB，∠BAE=60°，两灯同时转动，射出的光束交于点C，过C作CP⊥AC交GH于点P，则在灯A自AF转至AE之前，的比值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请求出其取值范围．
20．在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：；．
【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方；
【拓展】（2）运用上述方法化简：；
【变式】（3）若，且a,m,n均为正整数，求a的值．
第2天 整式、分式、二次根式、因式分解
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、C 2、D 3、C 4、D 5、A 6、A 7、B 8、D 9、D 10、A
二．填空题（共5小题）
11、x＞-1； 12、2或0或3或-1； 13、1； 14、10； 15、300；854；
三．解答题（共5小题）
16、解：3（x2-2xy）-[4x2-2y+2（-xy+y）]
=3x2-6xy-（4x2-2y-2xy+2y）
=3x2-6xy-4x2+2y+2xy-2y
=3x2-4x2+2xy-6xy+2y-2y
=-x2-4xy,
当，
原式=
=-16+15
=-1．
17、解：（1）a3-3a2+6a-18
=a2（a-3）+6（a-3）
=（a2+6）（a-3）；
（2）ax+a2-2ab-bx+b2．
=（a2-2ab+b2）+（ax-bx）
=（a-b）2+（a-b）x
=（a-b）（a-b+x）
18、解：原式=÷
=
=，
由题意得：a≠±2、1，
当a=-1时，原式==．
19、解：（1）∵a=++4，
∴，
解得：b=1，
∴a=4；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
由题意得，at=b（t+2）或360-at=2+t,
即4t=t+2，360-4t=2+t,
解得：t=；或t=；
故t为s或s时，两灯的光束互相平行；
（3）不变，如图3，过C作CQ∥GH，
∵GH∥EF，
∴CQ∥EF，
设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAE=180°-4t,
∴∠BAC=60°-（180°-4t）=4t-120°，
又∵GH∥EF∥CQ，
∴∠GBC=∠BCQ，∠ACQ=∠CAE，
∴∠BCA=∠CBG+∠CAE=t+180°-4t=180°-3t,
而∠ACP=90°，
∴∠BCP=90°-∠BCA=90°-（180°-3t）=3t-90°，
∴=．
20、解：（1）原式=（6+1）+2
=（6）2++2×
=；
（2）∵，
∴；
（3）①当，
a=15+1=16，
②当，
a=5+3=8．
综上所述，a=8或16．

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