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北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元巩固卷
一．选择题（共12小题）
1．将抛物线y=2x2+1向右平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为（　　）
A．y=2x2+4 B．y=2x2-2
C．y=2（x+3）2+1 D．y=2（x-3）2+1
2．关于x的二次函数y=（a+1）x2+ax+a2-1的图象过原点，则a的值为（　　）．
A．1 B．-1 C．±1 D．0
3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则点（a,c）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．（其中m是常数）
B．y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数）
C．y=（2x-1）x
D．y=（x+4）2-x2
6．已知点A（-3，y1），B（-1，y2），C（3，y3）在函数y=-x2-2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2
7．在平面直角坐标系xOy中，如果点都在抛物线上，那么（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
8．二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象过点（3，-1），图象的对称轴是直线x=1，且c＜-1，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0 B．b＞0 C．b2＜4ac D．a-b+c=-1
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）关于直线x=1对称．以下结论中：①ac＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根x2满足2＜x2＜3；③3a+c＞0；④am2+bm+a＞0（m为实数）．其中正确的有（　　）
A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
10．抛物线y=-7（x+3）2+1可以由抛物线y=-7x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
11．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为A（m,0），0＜m＜1，下列结论中：①abc＞0；②3a+c＞0；③若t为任意实数，则有a-bt≤at2+b；④当此抛物线经过点时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1，x2（x1＜x2），可求得x1+2x2=-2．正确结论的序号为（　　）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
12．我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②bc＞0；③；④若m的取值范围是1＜m≤3，则直线y=x+m与y=|ax2+bx+c|的图象有4个公共点，则正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
13．二次函数y=-4（x+1）2+2与y轴的交点坐标是______．
14．将二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到的函数图象的表达式是 ______．
15．已知二次函数y=（a-3）x2-4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是 ______．
16．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线y=-x+40的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是 ______m.
17．对于三个实数a,b,c,用F{a,b}表示这两个数的平方差，用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数，例如：F{1，2}=12-22=1-4=-3，max{1，2，-1}=2．若F{a-2，-3}＜max{a2，a2+1，-3}，则负整数a的值是______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=x2-（m-2）x-m（m为常数）．
（1）求证：函数与x轴有两个交点；
（2）若当x≥3时，y随x的增大而增大，求m的取值范围．
19．已知函数y=（m+1）x2+2x-1．
（1）若函数图象经过点（1，2），求m的值；
（2）若函数图象与x轴只有一个交点A，求点A的坐标；
（3）若函数y=（m+1）x2+2x-1满足x＞-1时，y随x的增大而增大；x＜-1时，y随x的增大而减小，且图象与x轴的两个交点为（a,0），（b,0）．求证：b8=1155-34a4．
20．冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜，深受市民喜爱．上市时，王经理按市场价格6元/千克收购了2000千克苹果放入冷库中．据预测，苹果的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用160元，而且苹果在冷库中最多可以保存50天，同时，每天有10千克的苹果损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数解析式；
（2）王经理想获得3850元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
21．某班级一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平面上）．同学受游戏启发，将弹珠抽象为一个点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形DEFG为箱子的截面示意图）．某同学将弹珠从A（1，0）处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线（单位长度为1m）的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为2m,已知DE=1m,，DA=4.7m.
（1）求抛物线L的解析式和顶点坐标；
（2）该同学抛出的弹珠能否投入箱子？请通过计算说明．
22．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，4），若点B的坐标为（4，0），点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段BC于点F，当点D运动到什么位置时，线段DF有最大值？请求出点D的坐标和DF的最大值；
（3）连接OD，CD，若△OCD关于y轴的对称图形是△OCD′，是否存在点D，使得四边形ODCD′为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元巩固卷
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、A 3、B 4、C 5、C 6、A 7、A 8、D 9、B 10、A 11、B 12、C
二．填空题（共5小题）
13、（0，-2）； 14、y=2（x-2）2-3； 15、5； 16、45； 17、-1；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵判别式Δ=[-（m-2）]2-4×1×（-m）=m2+4，
又∵m2≥0，
∴m2+4＞0，
∴二次函数y=x2-（m-2）x-m与x轴有两个交点．
（2）解：∵二次函数y=x2-（m-2）x-m的对称轴为x=，开口向上，
又∵y随x的增大而增大，
∴≤3，
解得：m≤8，
∴当x≥3时，y随x的增大而增大，m的取值范围是m≤8．
19、（1）解：由题意得，把点（1，2）代入y=（m+1）x2+2x-1，
得，m+1+2-1=2，
解得：m=0；
（2）解：当m+1=0时，y=2x-1，
则当y=0，2x-1=0，
解得：，
∴；
当m+1≠0时，则Δ=22-4（m+1）×（-1）=0，
解得：m=-2，
∴函数y=-x2+2x-1，
则当y=0，-x2+2x-1=0，
解得：x1=x2=1，
∴A（1，0），
综上：A（1，0）或；
（3）证明：由题意得，对称轴为，
解得：m=0，
∴函数为：y=x2+2x-1，
∵图象与x轴的两个交点为（a,0），（b,0），
∴当y=0，则x2+2x-1=0，则a2+2a-1=0，a+b=-2，
∴a2=1-2a,b2=1-2b,
∴a4=（a2）2=（1-2a）2=4a2-4a+1=4（1-2a）-4a+1=-12a+5，
∴1155-34a4=1155-34（-12a+5）=985+408a,
同理b4=-12b+5，
∴b8=（b4）2=（-12b+5）2=144b2-120b+25=144（1-2b）-120b+25=-408b+169，
∵a+b=-2，
∴b=-2-a,
∴b8=-408b+169=-408×（-2-a）+169=985+408a,
∴b8=1155-34a4．
20、解：（1）由题意y与x之间的函数关系式为：y=（6+0.2x）（2000-10x）=-2x2+340x+12000（1≤x≤50，且x为整数）；
（2）由题意得：
-2x2+340x+12000-6×2000-160x=3850，
解方程得：x1=35，x2=55（不合题意，舍去），
王经理想获得 3850 元的利润，需将这批苹果存放35天后出售；
（3）设利润为w,由题意得：
w=-2x2+340x+12000-6×2000-160x=-2（x-45）2+4050，
∵-2＜0，
∴抛物线开口方向向下，
∴x=45时，w最大=4050，
45＜50，符合题意，
∴王经理将这批苹果存放45天后出售可获得最大利润，最大利润是4050元．
21、解：（1）由抛物线可知，当x=0时，，
又当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为2m,由图可知另一点坐标为，
把点A（1，0），代入得：，
解得：，
∴抛物线L的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为（-1，2）；
（2）∵A（1，0），
∴OA=1m,
∵DA=4.7m,
∴DO=3.7m,即点D（-3.7，0），
∵DE=1m,，
∴OE=2.7m,
∴点，，
当时，，
解得：，
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子．
22、解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点B（3，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=-x+4，
设点D（x,-x2+3x+4），则点F（x,-x+4），
则DF=-x2+4x=-（x-2）2+4≤4，
即DF的最大值为4，此时，点D（2，6）；
（3）存在，理由：
∵四边形ODCD′为菱形，则OD=CD，
则点D在OC的中垂线上，即yD=CO=2=-x2+3x+4，
解得：x=，
即点D（，2）．

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