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北师大版八年级下 第1章 三角形的证明 单元巩固卷
一．选择题（共12小题）
1．（2025春 香坊区校级期中）如图，等腰△ABC，周长为36，AB=AC，AD⊥BC于D，AD=12，则AC的长为（　　）
A．5 B．9 C．13 D．15
2．已知等腰三角形的周长为30cm,则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（　　）
A．y=30-2x（7.5＜x＜15） B．y=2x-30（7.5＜x＜15）
C． D．
3．如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2
4．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB=13，PD=5，则CD的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
5．如图，直角三角形的两直角边长分别是3和4，则斜边上的高BD长是（　　）
A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．6
6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（　　）
A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB
7．如图，在△ABC中，AB=10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
8．如图，等边三角形ABC的边长为9，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则CD长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED=55°，则∠ABE等于（　　）
A．10° B．20° C．25° D．30°
10．如图，AD、CE分别是△ABC的中线和高线．若AB=AC，∠ACE=34°，则∠BAD的度数为（　　）
A．34° B．56° C．29° D．28°
11．已知在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D是CA延长线上任意一点，作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：
①∠DAE=∠F； ②2∠DAE=∠ABD-∠ACE； ③S△AEB：S△AEC=AB：AC； ④∠AGH=∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，EC=ED，∠CED=96°，则∠BED= ______．
14．如图，AB⊥l1，CB⊥l2，且AB=12，AC=5，BC=13，则点C到直线AB的距离是______．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的三条内角平分线交于点O，OM⊥AB于M，若OM=4，S△ABC=200，则△ABC的周长是______．
16．如图，AD，BE均为△ABC的高，且AB=AC，连结DE交AB于点O，若∠C=38°，则∠OEB的度数为 ______．
17．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC．其中正确的有______（填番号）
三．解答题（共5小题）
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由．
19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=70°，求∠BDC的度数；
（2）若DE=2，BC=9，求△BCD的面积．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，E为CA的延长线上一点，过点E作EF∥AD，分别交AB，BC于点P，F．
（1）求证：△AEP是等腰三角形．
（2）若AD=BD，求∠E的度数．
21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD交AC于点E．
（1）求证：△BEC是等腰三角形；
（2）若∠CEB=75°，BC=4，求DE的长．
22．如图1，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作AB⊥CE的延长线于B，AD⊥CF的延长线于D．
（1）填空：∠EAF的度数______；
（2）求证：AB=AD；
（3）若BE=CE=3，求DF的长；
（4）如图2，在△PQR中，∠QPR=45°，高PH=12，QH=4，求HR的长度．
北师大版八年级下 第1章 三角形的证明 单元巩固卷
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、A 3、A 4、C 5、B 6、C 7、C 8、B 9、C 10、D 11、A 12、D
二．填空题（共5小题）
13、42°； 14、5； 15、100； 16、52°； 17、①②④；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL），
∴CF=EB；
（2）解：AB=AF+2BE，
理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF+2BE．
19、解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴，
∴∠BDC=180°-20°-35°=125°．
（2）BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE=2，
∴DF=DE=2．
∵BC=9，
∴．
20、（1）证明：∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AD，
∴∠E=∠CAD，∠APE=∠BAD，
∴∠E=∠APE，
∴AE=AP，
∴△AEP是等腰三角形；
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=180°，
∴∠B=∠BAD=∠C=∠CAD=45°，
∴∠E=∠CAD=45°．
21、（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠CDB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠CBE=∠CBD+∠DBE，∠CEB=∠A+∠ABE，
∴∠CBE=∠CEB，
∴CB=CE，
∴△BEC是等腰三角形；
（2）解：∵∠CEB=∠CBE=75°，
∴∠C=180°-2×75°=30°，
∵∠CDB=90°，BC=4，
∴BD=BC=2，
∴CD==2，
∵CE=BC=4，
∴．
22、（1）证明：过A点作AG⊥EF于G，
∴∠AGE=∠AGF=90°，
由条件可知∠B=∠D=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵EA，FA分别是Rt△CEE两个外角的平分线，
∴∠AEB=∠AEG，∠AFD=∠AFG，
∵∠B=∠AGE=90°，∠D=∠AGF=90°，AE=AE，AF=AF，
∴△ABE≌△AGE（AAS），△ADF≌△AGF（AAS），
∴，
∴；
故答案为：45°；
（2）解：过A点作AG⊥EF于G，
由条件可知AB=AG，AD=AG，
∴AB=AD；
（3）解：∵BE=CE=3，
∴BC=AE+CE=6，
由（1）（2）知，四边形ABCD是矩形，AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC=6，
∵△ABE≌△AGE（AAS），△ADF≌△AGF（AAS），
∴GE=BE=3，DF=GF，
设DF=x,
则CF=6-x,EF=3+x,
∵∠C=90°，
∴（3+x）2=32+（6-x）2，
解得，x=2，
∴DF=2；
（4）解：把△PQH和△PRH分别沿PQ，PR翻折，得到△PQK和△PRM，延长KQ，MR交于点N，
∴∠KPQ=∠HPQ，∠MPR=∠HPR，PK=PM=PH=12，KQ=HQ=4，HR=MR，
∴∠KPQ+∠HPQ+∠MPR+∠HPR=∠KPM=90°=∠K=∠M，
∴四边形PKNM是正方形，
∴MN=KN=PK=12，
∴QN=12-4=8，RN=12-MR=12-HR，
∴Rt△QRN中，（12-HR）2+82=（4+HR）2，
∴HR=6．

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