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北师大版 九年级下 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A．y= B．y=2x+1 C．y=x2+x D．y2=x2+3x
2．抛物线y=-（x+2）2-3的顶点坐标是（　　）
A．（-2，-3） B．（2，-3） C．（2，3 ） D．（-2，3）
3．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　）m.
A．12 B．10 C．8 D．2
4．若二次函数y=x2+3的图象经过点（-1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1=y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定
5．已知点A（-3，y1），B（-2，y2）和C（4，y3）都在二次函数y=a（x+1）2（a＜0）的图象上，则（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
6．如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离l是（　　）
A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m
7．函数y=x2+2bx+6的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1+x2=2．当1≤x≤3时，该函数的最大值m与最小值n的关系式是（　　）
A． B．m=3n C．3m-n=36 D．3m-n=6
8．将抛物线y=x2+2x-2向右平移4个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式是（　　）
A．y=（x-3）2-1 B．y=（x-3）2+1 C．y=（x+3）2-1 D．y=（x+3）2+1
9．一次函数y=ax+c（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
10．关于x的一元二次方程有一个根是-1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设t=2a+b,则t的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示1m），假山轮廓所在的抛物线的解析式为y1=-x+4.8（x≥0），其中OB垂直于水平地面OC，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线y2=ax2+bx+c（x≥0），落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（　　）
A．假山上的点B到水平地面的距离为4.8m
B．水平方向上OC的长度为16m
C．
D．抛物线与的对称轴相同
12．在平面直角坐标系中，定义：已知y是x的函数，如果对于任意两个不相等的自变量x1，x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围是ax1≤y≤ax2（a＞0），那么将x1≤x≤x2称为这个函数的“a级封闭定义域”．例如：函数y=3x,当1≤x≤3时，3≤y≤9，所以1≤x≤3是函数y=3x的“3级封闭定义域”．下列结论：
①1≤x≤2是函数y=-x+3的“1级封闭定义域”；②若0≤x≤b（b＞0）是函数y=x2的“2级封闭定义域”，则b=2；③若函数y=kx+4存在“3级封闭定义域”，则k=-3；④函数y=-4x2+3x+4不存在“4级封闭定义域”．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．抛物线y=x2-x-2与y轴的交点的坐标为 ______．
14．已知点P（-1，a）在二次函数y=x2+2x-1的图象上，则a的值为 ______．
15．已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于点（-2，0）和（3，0），则不等式-x2+bx+c＞0的解集为______．
16．2025年3月16日，2025中国（瑞昌）国际羽毛球大师赛——世界羽联巡回赛超级100赛迎来决赛日．若在某次练习中羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），若甲选手发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为的Q处时（点Q在抛物线对称轴右侧），乙选手在Q处扣球成功，则点Q到y轴的水平距离是 ______m.
17．如图，二次函数y=（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点E的坐标为（-1，-4），线段BE与y轴交于点C（0，-2），连接AC、AE．点F是抛物线上任意一点，若△FAE的面积与△ACE的面积相等，则点F的坐标为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），B（-3，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
（3）点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使△CDP的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
19．近年来，“围炉煮茶”迅速走红网络，成为一种新的社交方式，三五好友围成一团，一边盯着煮茶的炭火，一边吃着零食聊天，偷得浮生半日闲，说到煮茶，就不得提及云南的普洱茶，是我国十大名茶之一，因产自云南普洱而得名．随着“围炉煮茶”市场需求的日益增大，茶馆如雨后春笋般兴起，一茶馆从普洱茶区购进一批普洱茶，其进货成本是每千克40元，根据预测，普洱茶在一段时间内的销量y千克与每千克的销售价x元之间的函数关系如图所示．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当每千克普洱茶销售价是多少元时，销售利润最大？最大利润是多少元？
20．已知函数f（x）=（m+1）x2-（m-1）x+m-1．
（1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）≥（m+1）x；
（3）若不等式f（x）≥0对一切恒成立，求m的取值范围．
21．在学校进行的“五一”篮球比赛中，张凯在距离篮筐中心4m（水平距离）处跳起投篮，他在点O处跳起，篮球P出手时距离地面2.25m,篮球在空中的运行路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到离地面的最大高度3.5m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球在空中运行路线的函数表达式；
（2）若篮筐B的高度为3.05m,张凯投出的此球能否命中篮筐中心，为什么？
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为“盖帽”．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员李明前来盖帽，已知李明的最大摸球高度为2.7m,则李明应该在张凯面前多少米范围内跳起拦截才能“盖帽”成功？
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b、c是常数）的对称轴是直线x=1，且经过点Q（0，-3），点P在该抛物线上，横坐标为m,设点A的坐标为（-1，m-2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OA、OP、AP，当△AOP的面积被x轴平分时，求m的值；
（3）将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G，过点A作x轴的平行线，交y轴于点B，当图象G与直线AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围；
（4）以PA为对角线作矩形PCAD，AC∥y轴，当抛物线在矩形PCAD内部y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
北师大版 九年级下 第2章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、A 3、B 4、C 5、B 6、D 7、D 8、B 9、B 10、D 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、（0，-2）； 14、-2； 15、-2＜x＜3； 16、7； 17、（-2+，2-2）或（-2-，2+2）；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）将点A（1，0），B（-3，0）代入y=x2+bx+c
得，，
解得，，
∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；
（2）y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
由平移规律得平移后的解析式为y=（x+2）2-1，
∴顶点为（-2，-1）；
（3）当y=0时，（x+2）2-1=0，
解得：x1=-3，x2=-1，
∴C（-3，0），D（-1，0），
∴CD=2，
∵，
∴|yp|=4，
∵顶点为（-2，-1），
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，
∴（x+2）2-1=4，
解得，或，
∴或．
19、解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b,
把（60，200）和（100，160）代入得，，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-x+260；
（2）设利润为w,由题意得
w=（x-40）（-x+260）=-（x-150）2+12100，
∵-1＜0，
∴当x=150时，w取得最大值12100，
∴售价定为150元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是12100元．
20、解：（1）根据题意，①当m+1=0，即m=-1时，f（x）=2x-2，不合题意；
②当m+1≠0，即m≠-1时，f（x）＜1的解集为R，即（m+1）x2-（m-1）x+m-2＜0的解集为R，
∴，
即，
解得．
（2）f（x）≥（m+1）x,即（m+1）x2-2mx+m-1≥0，即[（m+1）x-（m-1）]（x-1）≥0，
①当m+1=0，即m=-1时，解集为{x|x≥1}；
②当m+1＞0，即m＞-1时，，
∵，
∴解集为或x≥1}；
③当m+1＜0，即m＜-1时，，
∵，
∴解集为，
综上所述：当m＜-1时，解集为；
当m=-1时，解集为{x|x≥1}；
当m＞-1时，解集为或x≥1}．
（3）（m+1）x2-（m-1）x+m-1≥0，即m（x2-x+1）≥-x2-x+1，
∵x2-x+1＞0恒成立，
∴，
设1-x=t,则，x=1-t,
∴，
∵，当且仅当t=1时取等号，
∴，当且仅当x=0时取等号，
∴当x=0时，，
∴m≥1．
21、解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（2.5，3.5），
∴可设函数表达式为：y=a（x-2.5）2+3.5．
又∵抛物线过P（0，2.25），
∴2.25=a（0-2.5）2+3.5．
∴a=．
∴函数表达式为y=-0.2（x-2.5）2+3.5，即y=-0.2x2+x+2.25．
（2）张凯投出的此球能命中篮筐中心，理由如下：
由题意，结合（1）y=-0.2x2+x+2.25，
∴当x=4时，y=-0.2×42+4+2.25=-3.2+6.25=3.05（米）．
∴篮球运行到篮筐正上方时高度为3.05米，与篮筐高度相同．
∴能命中．
（3）由题意，结合（1）y=-0.2x2+x+2.25，
令y=-0.2x2+x+2.25=2.7，
∴-0.2x2+x+2.25=2.7．
∴x=4.5或x=0.5．
又∵抛物线顶点在x=2.5，盖帽需在顶点左侧（x≤2.5），
∴有效拦截区间为0≤x≤0.5．
∴李明需在距离张凯0.5米范围内拦截．
22、解：（1）∵Q（0，-3），y=x2+bx+c,
∴-3=0+0+c,
即c=-3，
∵抛物线 y=x2+bx+c（b、c是常数）的对称轴是直线 x=1，
∴，
∴b=-2，
∴y=x2-2x-3；
（2）如图：
∵点P 在该抛物线上，横坐标为m,
∴，
∵△AOP的面积被x轴平分，
∴OW是△AOP的中线，
∵点A的坐标为（-1，m-2）．
∴m-2+m2-2m-3=0，
整理得m2-m-5=0，
Δ=12-4×1×（-5）=1+20=21＞0，
∴，
故；
（3）∵设点 A 的坐标为（-1，m-2），过点A作x轴的平行线，交y轴于点 B，
∴直线AB的解析式为y=m-2，
依题意，y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为（1，-4），
则Q（0，-3）关于对称轴直线x=1对称的点为Q′（2，-3），
∵将此抛物线上 P、Q两点之间的部分（包括 P、Q两点）记为图象G，且图象G与直线AB只有一个公共点时，
当y=m-2经过点（1，-4），得-4=m-2，
解得m=-2；
当y=m-2经过点Q（0，-3），得-3=m-2，
解得m=-1，
当点P在直线QQ′的下方，
则m2-2m-3＜-3，
解得0＜m＜2，
当y=m-2经过点P，得m2-2m-3=m-2，
整理得m2-3m-1=0，
解得或，
当直线AB在点P的上方，点Q的下方（或经过点Q）时，
则；
∵，
∴0＜m＜2，
综上：故图象G与直线AB只有一个公共点时，则m=-2或0＜m＜2或或；
（4）∵以PA为对角线作矩形PCAD，AC∥y轴，
∴当m＜-1时，如图所示：
此时抛物线在矩形PCAD内部y随x的增大而减小，符合题意；
当-1＜m≤1时，如图所示：
此时抛物线在矩形PCAD内部y随x的增大而减小，符合题意；
当m2-2m-3=m-2时，
则整理得m2-3m-1=0，
解得或，
当时，如图所示：
此时抛物线在矩形PCAD内部y随x的增大而减小，符合题意；
当时，如图所示：
此时抛物线在矩形PCAD内部y随x的增大而增大，不符合题意；
综上：抛物线在矩形PCAD内部y随x的增大而减小时，m的取值范围为m＜-1或-1＜m≤1或．

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