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2025中考数学考前高频考点冲关：反比例函数综合题
一．选择题（共10小题）
1．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的边OB在y轴上，∠ABO=90°，AB=3，点C在AB上，BC=AB，且∠BOC=∠A，若双曲线y=经过点C，则k的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
2．如图，A、B是双曲线 y=（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
3．如图，以O为圆心，半径为2的圆与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，则的长度为（　　）
A．π B．π C．π D．π
4．如图，已知点A的坐标为（，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标为（5，0），sin∠AOC=．将菱形OABC沿边OA所在直线翻折，得到菱形OAB′C′，若反比例函数y=（x＞0）的图象刚好经过点C′，则k的值为（　　）
A．48 B． C． D．
6．如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数的图象经过点C，且与AB交于点E．若OD=2，则△OCE的面积为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
7．已知P是反比例函数图象上一点，点B的坐标为（1，0），A是y轴正半轴上一点，且AP⊥BP，AP：BP=1：2，那么四边形AOBP的面积为（　　）
A．6.5 B．8 C．10 D．7
8．反比例函数y=第一象限内的图象如图所示，△OAB、△BCD均为直角三角形，∠ABO=∠CDB=Rt∠，且OA∥BC，其中点A、C在反比例函数y=的图象上，点B、D在x轴上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点A（a,1）、B（-1，b）都在双曲线y=-上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（　　）
A．y=x B．y=x+1 C．y=x+2 D．y=x+3
10．如图，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是（　　）
A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）
二．填空题（共5小题）
11．在直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A恰好落在双曲线（x＞0）上，且OA与x轴正方向的夹角为30°．则正方形OABC的面积是______．
12．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，则菱形OABC的面积为______．
13．如图，等边三角形△OPQ的边长为2，Q在x轴正半轴上，若反比例函数经过点P，则k=______．
14．如图，在直角坐标系中，已知菱形ABCD的面积为3，顶点A在双曲线y=上，CD与y轴重合，则k的值是______．
15．如图，点A是双曲线y=（k＞0，x＞0）上一动点，AD⊥y轴于D，延长AD交双曲线y=-（x＜0）于点B，BC∥y轴交x轴于E，交AO的延长线于点C，当△EOC的面积是4时，k=______．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，放置一个含30°角的三角板．其中点O为原点，OB在x轴上，已知∠AOB=30°，∠ABO=90°，．
（1）点A在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式；
（2）将△ABO绕点A逆时针旋转，旋转后点O的对应点O′落在y轴上，求点O在旋转过程中到点O′经过的最短路径长；
（3）将旋转后的△AB′O′沿y轴方向向下平移b个单位得到△A′B″O″，若平移后的线段B″O″与直线y=ax重合，直接写出a和b的值．
17．已知矩形A的长、宽分别是2和1，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍？
对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决．小明论证的过程开始是这样的：如果用x、y分别表示矩形的长和宽，那么矩形B满足x+y=6，xy=4．请你在如图所示的平面直角坐标系中画出矩形B满足的两个函数表达式的图象，并按照小明的论证思路完成后面的论证过程．
18．直线y=x+5与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点A（m,4）和点B（8，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象当x＞0时，直接写出关于x的不等式x+5＞的解集；
（3）若点P是x轴上一动点，当△ADP的面积是6时，求出P点的坐标．
19．如图，矩形OABC的顶点C、A分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4，3），双曲线y=（x＞0）的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，连接DE．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求tan∠BDE的值；
（3）若坐标轴上存在一点F，使△OFA∽△BDE成立，试求点F的坐标．
20．如图，点A是半径为2的⊙O与双曲线y=的一个交点，双曲线与⊙O的四个交点A、B、C、D，点A的坐标是（1，a）．
（1）求k,a的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若双曲线与⊙O仅有两个交点，求此时k的值．
2025中考数学考前高频考点冲关：反比例函数综合题
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、C 3、D 4、C 5、B 6、C 7、A 8、A 9、C 10、C
二．填空题（共5小题）
11、4； 12、12； 13、； 14、-3； 15、2；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）根据题意，在Rt△AOB中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵AB=2，∠AOB=30°，
∴AO=2AB=4，
将△ABO绕点A逆时针旋转，旋转后点O的对应点O′落在y轴上，
∴AO=AO′=4，
∵∠BOO′=90°，
∴∠AOO′=60°，
∴△AOO′是等边三角形，
∴∠OAO′=60°，OO′=AO=4，
∴点O在旋转过程中到点O′经过的最短路径长为；
（3）解：由（2）可得，△AOO′是等边三角形，
∴AO=OO′=BO′=4，∠AO′O=60°，且∠AO′B′=30°，
∴∠BO′B′=30，O′（0，4），
∴AB′=2=OB′，
如图所示，过点B′作B′E⊥x轴，
∴，，
∴，
设直线O′B′的解析式为y=kx+4（k≠0），
∴，
解得，，
∴直线O′B′的解析式为，
由已知条件可得：与直线y=ax重合，
∴．
17、解：存在，
设所求矩形的长为x、宽为y,
∵已知矩形的长和宽分别是2和1，新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，
∴2（x+y）=2×2×（2+1），xy=2×2×1
∴y=-x+6，y=，
画出函数的图象如图，
根据图象知函数的图象有交点，所以存在两个矩形，能使得新矩形是原矩形的周长与面积的2倍．
18、解：（1）∵点A（m,4）和点B（8，n）在直线y=x+5上，
∴，
∴m=2，n=1．
∴A（2，4），B（8，10），
把A（2，4）代入y=中，得k=8．
∴反比例函数的表达式为y=．
（2）要使当x＞0时，满足x+5＞，只要一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，也就是直线的图象在反比例的上方，在A，B两点之间，
∴当x＞0时，x+5＞的解集为2＜x＜8．
（3）直线AB的表达式为y=x+5，当y=0时，x=10．
∴D点坐标为（10，0），
∵S△ADP=×PD×yA=6，
∴×PD×4=6．
∴PD=3，
∴P的坐标为（7，0）或（13，0）．
19、解：（1）∵点D是矩形OABC的边AB的中点，B（4，3），
∴点D的坐标为（2，3）．
∵点D（2，3）在双曲线y=（x＞0）上，
∴k=2×3=6，
∴双曲线的解析式为y=；
（2）∵点E在双曲线y=上，且xE=4，
∴yE=，即CE=．
在Rt△BDE中，
∵BE=BC-CE=，BD=AB-AD=2，
∴tan∠BDE==；
（3）若△OFA∽△BDE，则=，
∴=，即OF=4，
∴点F的坐标为（4，0）或（-4，0）．
20、解：（1）∵点A的坐标是（1，a）．
∴12+a2=22，
解得a=，
∴A（1，），
代入y=得=，
解得k=，
（2）如图，作AE⊥x轴，BF⊥x轴，设B（m,），
∴OB2=m2+（）2，
∴m4-4m2+3=0，
解得m=或m=1，
∴B的坐标为（，1），
∴AE=，BF=1，EF=-1，
∴S△AOB=S梯形AEFB+S△AOE-S△BOF=S梯形AEFB=（1+）（-1）=1．
（3）∵双曲线与⊙O仅有两个交点，OP=OQ=2，
∴双曲线与⊙O的两个交点为P（，），Q（-，-），
把（，）代入y=得k=2．

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