资源简介

2024-2025 学年天津市咸水沽第二中学高一下学期 5 月期中数学试卷
一、选择题：本大题共 9 小题，共 45 分。
1.设 = 2i，则 =( )
A. i B. 1 C. 1 D. 2
→ →
2.已知向量 = (1,2)， = ( 2, )，若 // ，则 =( )
A. 1 B. 4 C. 4 D. 1
3.四边形 直观图为如图矩形 1 1 1 1，其中 1 1 = 3， 1 1 = 1，则四边形 的周长为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
4.已知直线 ， ， 是三条不同的直线，平面 ， ， 是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 // ， // ，则 //
C.若 ， ，且 // ， // ，则 //
D. ， ， 三个平面最多可将空间分割成 8 个部分
5.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 = 2， = 3，sin = 2sin ，则 的面积为
A. 4 33 B.
2 3
3 C.
3 3
3 D. 6
6.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它
的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图 2 所示．已
8π
知球的半径为 ，酒杯的容积为 33 ，则其内壁表面积为( )
A. 12π 2 B. 10π 2 C. 8π 2 D. 6π 2
7.已知向量 = 0, 2 3 ， = 1, 3 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为( )
第 1页，共 7页
A. 3 , 3 3 3 3 3 3 3 3 32 2 B. 2 , 2 C. 2 , 2 D. 2 , 2
8.棱长为 的正方体 1 1 1 1的 8 个顶点都在球 的表面上，点 、 分别是棱 1、 1的中点，
则过点 、 的直线被球 截得的线段长为( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 22
9.已知菱形 的边长为 2，∠ = 120°，点 在边 上， = 3 ，若 为线段 上的动点，则
的最大值为( )
A. 2 B. 8 C. 103 3 D. 4
二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分。
10 π.已知向量 , 为单位向量，其夹角为 3，则|2 + | = ．
11.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 = 60°， = 6， = 3，则 = ．
12.如图，在离地面高 200m 的热气球 上，观察到山顶 处的仰角为15 ，山脚 处的俯角为45 ，已知∠ =
60 ，则山的高度 为 m．
13.如图，在四边形 中，∠ = 60°， = 4， = 6，且 = ， = 2，则实数 的值为 ，
若 ， 是线段 上的动点，且 = 1，则 的最小值为 ．
14.在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别是 1 1， 1 1， 1的中点.给出下列三个推断：
第 2页，共 7页
① //平面 1 1 ;
② //平面 1 1;
③ //平面 1 1;
其中推断正确的序号是 ．
15. 中， 为 上的一点，满足 = 1 .若 为 上的一点，满足 = + 3
( > 0, > 0)，
则 4 1的最大值为 ； + 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知复数 = 2 1 + ( 1)i， ∈ . (i 是虚数单位)
(1)若 对应复平面上的点在第三象限，求 的范围；
(2)若 是纯虚数，求 的值；
(3)若 是实数，求| |的值．
17.已知向量 = (2, 1)， = (3,0)， = (4,1)．
(1)求与 垂直的单位向量 的坐标；
(2)若 + // 2 ，求实数 的值．
18.如图所示，在平行六面体 1 1 1 1中， , , , 分别是 1, , , 1的中点，求证：
(1) // 1 1;
(2) 1//平面 1 1;
19.在 中，内角 , , 的对边分别为 , , 且满足 sin( + ) = cos π6 ．
(1)求角 ；
(2)若 = 7， + = 5，求 的面积;
(3)若 cos = 13，求 sin(2 )的值．
20.已知向量 ， 满足 = 3， = 6， 5 4 2 + = 81．
(1)求向量 与 的夹角；
(2)若 ⊥ + 2 ，求 的值；
第 3页，共 7页
(3)若向量 在 方向上的投影向量为 ，求 + 的值．
21.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 2 sin = (2 + )sin + ( + 2 )sin ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 3，求 面积的最大值．
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 7
11.75
12.300m
13.16 ；
14.①③
15. 116 ；16
16.解：(1) ∵复数 = 2 1 + ( 1)i 的实部为 2 1，虚部为 1，
在复平面内所对应的点的坐标为 2 1, 1 ，
∵ 对应复平面上的点在第三象限，
2∴ 1 < 0，解得 1 < < 1
1 < 0
∴ ∈ ( 1,1)
2
(2) ∵ 是纯虚数，∴ 1 = 0 ,
1 ≠ 0
∴ = 1
(3) ∵ 是实数，∴ 1 = 0，解得 = 1，
∴ = 0，则| | = 0；
17.解：1)设与 垂直的单位向量 = ( , )，
5 5
2 + 2 = 1 = =
则 ，解得： 5 或 5 ,
2 = 0 = 2 55 =
2 5
5
第 5页，共 7页
∴ = 5 , 2 5 5 2 55 5 或 5 , 5 ．
(2) ∵ + = (2 + 4 , 1 + )， 2 = ( 1,2)，又 + // 2 ，
∴ 2(2 + 4 ) = ( 1 + )，解得： = 13．
18.解：(1)因为 1// 1, 1 = 1，
所以四边形 1 1为平行四边形，
所以 // 1 1，
又 , 分别为 , 的中点，所以 // ，
所以 // 1 1
(2)
连结 1 1，设与连结 1 1交于点 ，连接 ，
∵四边形 1 1 1 1为平行四边形，∴点 是 1 1的中点，
又∵ 是 1的中点，
∴ 是 1 1的中位线，∴ // 1
又∵ 面 1 1， 面 1 1，∴ 1//平面 1 1，
19.解：(1) ∵ + + = π，∴ sin( + ) = sin ，∴ sin( + ) = sin = cos π6 ，
π
由正弦定理得：sin sin = sin cos 6 ，
∵ ∈ 0, π ，∴ sin ≠ 0 ∴ sin = cos π = 3， 6 2 cos +
1
2 sin ，
整理可得：tan = 3，又 ∈ 0, π ∴ = π， 3．
(2)由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 = 25 3 = 7，
∴ = 6，∴ 1 1 = 2 sin = 2 × 6 ×
3 = 3 32 2 ．
(3) ∵ ∈ 0, π ，cos = 1 23，∴ sin = 1 cos =
2 2
3 ，
∴ sin2 = 2sin cos = 4 29 ，cos2 = 2cos
2 1 = 79，
第 6页，共 7页
sin(2 ) = sin2 cos cos2 sin = 4 2 × 1 7 × 3 = 4 2+7 39 2 9 2 18 ．
20.解：(1)已知(5 4 ) (2 + ) = 81，根据向量数量积的分配律展开可得：
2 2
(5 4 ) (2 + ) = 10 2 + 5 8 4 = 10 2 3 4 ，
2
因为| | = 3，所以 2 = | |2 = 9；| | = 6，所以 = | |2 = 36.代入上式可得 10 × 9 3 4 × 36 = 81，
即 90 3 144 = 81，解得 = 9．
设向量 与 9 1的夹角为 ，，根据向量夹角公式可得：cos = 3×6 = 2，
因为 0 ≤ ≤ π，所以 = π3．
(2)因为( ) ⊥ ( + 2 )，可知( ) ( + 2 ) = 0．
同样根据向量数量积的分配律展开可得：
( ) ( + 2 ) = 2 + 2 2
2
= 2
2
+ (2 1) 2
2
将 2 = 9， = 36， = 9 代入上式可得：9 + 9(2 1) 2 × 36 = 0，解得 = 3．
(3) =
9
向量 在 方向上的投影向量 = = 1 ．
| | | | 6 6 4
2
则 ( + ) = 1 1 4 ( + ) = 4 ( + )．
2
将 = 9， = 36 1 1 45代入可得：4 (9 + 36) = 4 × 45 = 4．
21.解：(1)因为 2 sin = (2 + )sin + ( + 2 )sin
由正弦定理可得 2 2 = (2 + ) + ( + 2 ) ，即 2 = 2 + 2 + ，又 2 = 2 + 2 2 cos ，所以 cos =
1 2 2，因为 ∈ (0, )，所以 = 3
(2)因为 2 = 2 + 2 + ， = 2 3，所以 2 + 2 = 12 ，又 2 + 2 ≥ 2 ，所以 12 ≥ 2 ，即 ≤ 4，
当且仅当 = 时取等号；
1 1 3所以 = 2 sin = 2 × 2 ≤ 3，故三角形 面积的最大值 3
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑