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2024-2025 学年上海市青浦高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数的最大值是 2 的是( )
A. sin + cos B. sin + 3cos C. sin cos D. sin2 cos2
2.已知 、 为两个不平行的非零向量，则 + = 0是 = = 0 的( )条件
A.充要 B.既不充分也不必要 C.充分非必要 D.必要非充分
3.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2tan = 2tan ，则 的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
4.已知 ∈ R， ∈ 0,2π ，若对任意实数 均有 sin ≥ cos( + )，则满足条件的有序实数对( , )的个数
为( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.无数个
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.366°是第 象限的角．
→ →
6.已知 = ( , + 1)， = (3,6)，若 /\ !/ ，则 = ．
7.函数 = tan 6 π3 的最小正周期为 ．
8.已知 tan = 1 sin cos 2，则sin +cos = ．
9.已知角 4 3的顶点是坐标原点，始边与 轴的正半轴重合．终边过点 5 , 5 ，则 sin2 = ．
10 cos + π = 2.方程 6 2 ， ∈
π
2 , 0 ，则 = ．
11.已知 = 6， = 3， = 12，则 在 方向上的数量投影为 ．
12.已知 ( ) = sin( + )， > 0, > 0,0 ≤ ≤ π 的图像如图所示，则在 = ( )的解析式中，其“初
始相位” 为 ．
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13.若锐角 , 4满足 cos = 5 , cos( + ) =
3
5 ,则 sin = ．
14.若向量 = ( , 3), = (1,4), = (2,1)，已知 2 3 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 ．
15 ( ) = sin , sin ≥ cos .已知函数 cos , sin < cos 给出下列四个命题：
(1)该函数的值域为[ 1,1]；
(2)该函数的最小正周期为π；
(3)当且仅当 2 π + π < < 2 π + 3π2，( ∈ )时， ( ) < 0；
(4)对任意 ∈ ， 2( ) + 2 π + = 1 恒成立．上述命题中正确的序号是 ．
16.若存在实数 及正整数 使得 ( ) = cos2 sin 在(0, )内恰有 2024 个零点，则满足条件的正整数
的值有 个．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知向量 ， 满足 = 5， = 4， + ⊥ ．
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)求 2 + ．
18.(本小题 14 分)
在 中，角 ， π， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 6， = 3．
(1)若 = 2，求 ；
(2)若 面积等于 3，求 的值．
19.(本小题 14 分)
如图所示， 是单位圆与 轴正半轴的交点，点 在单位圆上，∠ = ，四边形 为平行四边形，函

数 ( ) = + sin ．
(1)求函数 ( )的表达式；
(2)求函数 ( )的单调递减区间；
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(3)若 ( )在[0, ]上仅存在两个零点，求 的取值范围．
20.(本小题 14 分)
π
如图，有一块扇形草地 ，已知半径为 ，∠ = 2，现要在其中圈出一块矩形场地 作为儿童乐
园使用，其中点 ， 在弧 上，且线段 平行于线段 ；
(1)若点 为弧 的一个三等分点，求矩形 的面积 ；
(2)设∠ = 0 < < π2 ，当 在何处时，矩形 的面积 最大？最大值为多少？
21.(本小题 14 分)
定义有序实数对( ， )的“跟随函数”为 ( ) = sin + cos ∈ R ．
(1)记有序数对(1, 1)的“跟随函数”为 ( )，若 ( ) = 0, ∈ 0,2π ，求满足要求的所有 的集合；
(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为 ( )，若函数 ( ) = ( ) + 3 sin , ∈ 0,2π 与直线 = 有且仅有
四个不同的交点，求实数 的取值范围；
(3)已知 = 3，若有序数对( ， )的“跟随函数” = ( )在 = 0处取得最大值，当 在区间(0, 3]变化
时，求 tan2 0的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.一
6.1
7.π6
8. 13
9.2425
10. 5π 512/ 12π
11. 4
12.π4．
13. 725
14. ∞, 92 ∪
9
2 , 3
15.(3)(4)
16.5
17.【详解】(1) ∵ + ⊥ ， = 5， = 4，
2
∴ + = + = 0，
∴ 5 × 4 × cos , + 16 = 0，
∴ cos , = 45；
(2)由(1)知 = 5 × 4 × 45 = 16，
2 2
∴ 2 + = 4 2 + + 4 = 4 × 25 + 16 + 4 × ( 16) = 52，
∴ 2 + = 2 13；
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18. 2×
3
【详解】(1) = sin 2 2由正弦定理，sin sin ，即 sin = = 6 = 2 ，
因 < ，故 < ，即 π是锐角，故 = 4；
(2) 1因为 的面积为 3，所以2 sin = 3，所以 = 4，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos 可得 6 = 2 + 2 ，所以 2 + 2 = 10，
4 2
所以 2 + = 10，所以
4 10 2 + 16 = 0，解得 2 = 2 或 2 = 8，所以 = 2或 = 2 2．
19.【详解】(1)由题意可知， (1,0)， cos , sin ，
则 = + = cos + 1, sin ，故 = cos + 1，
则 ( ) = sin + cos + 1．
(2) ( ) = sin + cos + 1 = 2sin + 4 + 1，

令2 + 2 ≤ +
≤ 3 4 2 + 2 , ∈ Z，

得4 + 2 ≤ ≤
5
4 + 2 , ∈ Z，
故 ( ) 5 的单调递减区间为 4 + 2 , 4 + 2 , ∈ Z．
(3)若 ( )在[0, ]上仅存在两个零点，
2
则 sin + 4 = 2 在[0, ]上仅存在两个根，
∈ [0, ] + ∈ ，则 4 4 , +

4 ，
7 13 3
结合正弦函数图象知， 4 ≤ + 4 < 4 ，得 2 ≤ < 3 ，
3 则 的取值范围为 2 , 3 ．
20.【详解】(1)作 ⊥ ，垂足为 ，交 于 ，连接 , ，
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由于点 为弧 的一个三等分点，四边形 为矩形，即 , 关于直线 对称，
∠ = π , ∠ = π = 2 sin π则 6 12，则 12 , = cos
π
12，
而∠ = π2，故
1 π
为等腰直角三角形，则 = = 2 = sin 12，
故 = = cos π12 sin
π
12 ，
则 = = 2 2 sin π π 2 π12 cos 12 sin 12
= 2 sin π 1 + cos π 3 1 26 6 = 2 ；
(2) π 因为∠ = 0 < < 2 ，则 = 2 sin 2 , = cos 2，
= = 12 = sin

2，
故 = = cos 2 sin

2 ，
则 = = 2 2sin 2 cos

2 2sin
2
2 =
2 sin + cos 1
= 2 2sin + π4 1 ，
π π π 3π π π π
因为 0 < < 2，所以4 < + 4 < 4 ，故 + 4 = 2时， 2sin + 4 取最大值 2，
= π即当 4时，∠ = ∠ =
π
8，
即 在弧 的四等分点处时，矩形 的面积 最大， max = 2 1 2．
21.【详解】(1)由题意 ( ) = sin cos = 0，sin = cos ，tan = 1，
= π + π4 ( ∈ Z)，
又 ∈ [0,2π]，所以 = π 5π π 5π4或 4，即所求集合为{ 4 , 4 }；
(2)由题意 ( ) = cos ，则 ( ) = cos + 3 sin ，
∈ [0, ] 1 3 π时， ( ) = cos + 3sin = 2( 2 cos + 2 sin ) = 2sin( + 6 )，
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∈ ( , 2 ]时， ( ) = cos 3sin = 2( 12 cos
3
2 sin ) = 2sin(
π
6 )，
作出函数 = ( )， ∈ 0,2π 的图象，如图， ( ) [0, π ] [π, 5π π 5π在 3 和 3 ]上递增，在( 3 , π)和( 3 , 2 ]上递减，
( )max = 2， (0) = (2π) = 1，
由图象可知，1 ≤ < 2 时，函数 ( ) = ( ) + 3 sin , ∈ 0,2π 的图象与直线 = 有且仅有四个不同
的交点，
所以 的范围是[1,2)；
(3) ( ) = 3sin + cos = 9 + 2sin( + ) cos = 3 sin = 由题意 ，其中 ， ，
9+ 2 9+ 2
+ = 2 π + π易知 2 , ∈ Z 时， ( )
2
max = 9 + ，
0 = 2 π +
π
2 ( ∈ Z)，
sin 0 = sin(2 π +
π
2 ) = cos ，同理 cos 0 = sin ，
tan sin 0 cos 0 = cos =0 sin
，
2cos 6
tan2 = 2tan 0 = sin = 2sin cos = 9+ 2 = 6 60 1 tan2 0 cos2 sin2 cos2
= ，
1
2
9
2 9 9
sin2 9+ 2 9+ 2
∈ (0, 3] 9 9时，函数 = 是增函数，因此 ∈ ∞, 2 3 ,
6
从而 9 ∈ 3, 0 ，即 tan2 0 ∈ 3, 0 ．
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