资源简介 2024-2025 学年上海市青浦高级中学高一下学期期中考试数学试卷一、单选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列函数的最大值是 2 的是( )A. sin + cos B. sin + 3cos C. sin cos D. sin2 cos2 2.已知 、 为两个不平行的非零向量,则 + = 0 是 = = 0 的( )条件A.充要 B.既不充分也不必要 C.充分非必要 D.必要非充分3.在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,已知 2tan = 2tan ,则 的形状为( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形4.已知 ∈ R, ∈ 0,2π ,若对任意实数 均有 sin ≥ cos( + ),则满足条件的有序实数对( , )的个数为( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.无数个二、填空题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。5.366°是第 象限的角.→ →6.已知 = ( , + 1), = (3,6),若 /\ !/ ,则 = .7.函数 = tan 6 π3 的最小正周期为 .8.已知 tan = 1 sin cos 2,则sin +cos = .9.已知角 4 3的顶点是坐标原点,始边与 轴的正半轴重合.终边过点 5 , 5 ,则 sin2 = .10 cos + π = 2.方程 6 2 , ∈ π2 , 0 ,则 = .11.已知 = 6, = 3, = 12,则 在 方向上的数量投影为 .12.已知 ( ) = sin( + ), > 0, > 0,0 ≤ ≤ π 的图像如图所示,则在 = ( )的解析式中,其“初始相位” 为 .第 1页,共 7页13.若锐角 , 4满足 cos = 5 , cos( + ) =35 ,则 sin = .14.若向量 = ( , 3), = (1,4), = (2,1),已知 2 3 与 的夹角为钝角,则 的取值范围是 .15 ( ) = sin , sin ≥ cos .已知函数 cos , sin < cos 给出下列四个命题:(1)该函数的值域为[ 1,1];(2)该函数的最小正周期为π;(3)当且仅当 2 π + π < < 2 π + 3π2,( ∈ )时, ( ) < 0;(4)对任意 ∈ , 2( ) + 2 π + = 1 恒成立.上述命题中正确的序号是 .16.若存在实数 及正整数 使得 ( ) = cos2 sin 在(0, )内恰有 2024 个零点,则满足条件的正整数 的值有 个.三、解答题:本题共 5 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题 14 分)已知向量 , 满足 = 5, = 4, + ⊥ .(1)求 与 的夹角的余弦值;(2)求 2 + .18.(本小题 14 分)在 中,角 , π, 所对的边分别为 , , ,已知 = 6, = 3.(1)若 = 2,求 ;(2)若 面积等于 3,求 的值.19.(本小题 14 分)如图所示, 是单位圆与 轴正半轴的交点,点 在单位圆上,∠ = ,四边形 为平行四边形,函 数 ( ) = + sin .(1)求函数 ( )的表达式;(2)求函数 ( )的单调递减区间;第 2页,共 7页(3)若 ( )在[0, ]上仅存在两个零点,求 的取值范围.20.(本小题 14 分)π如图,有一块扇形草地 ,已知半径为 ,∠ = 2,现要在其中圈出一块矩形场地 作为儿童乐园使用,其中点 , 在弧 上,且线段 平行于线段 ;(1)若点 为弧 的一个三等分点,求矩形 的面积 ;(2)设∠ = 0 < < π2 ,当 在何处时,矩形 的面积 最大?最大值为多少?21.(本小题 14 分)定义有序实数对( , )的“跟随函数”为 ( ) = sin + cos ∈ R .(1)记有序数对(1, 1)的“跟随函数”为 ( ),若 ( ) = 0, ∈ 0,2π ,求满足要求的所有 的集合;(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为 ( ),若函数 ( ) = ( ) + 3 sin , ∈ 0,2π 与直线 = 有且仅有四个不同的交点,求实数 的取值范围;(3)已知 = 3,若有序数对( , )的“跟随函数” = ( )在 = 0处取得最大值,当 在区间(0, 3]变化时,求 tan2 0的取值范围.第 3页,共 7页参考答案1. 2. 3. 4. 5.一6.17.π68. 139.242510. 5π 512/ 12π11. 412.π4.13. 72514. ∞, 92 ∪ 92 , 315.(3)(4)16.517.【详解】(1) ∵ + ⊥ , = 5, = 4,2∴ + = + = 0,∴ 5 × 4 × cos , + 16 = 0,∴ cos , = 45;(2)由(1)知 = 5 × 4 × 45 = 16,2 2∴ 2 + = 4 2 + + 4 = 4 × 25 + 16 + 4 × ( 16) = 52,∴ 2 + = 2 13;第 4页,共 7页18. 2×3【详解】(1) = sin 2 2由正弦定理,sin sin ,即 sin = = 6 = 2 ,因 < ,故 < ,即 π是锐角,故 = 4;(2) 1因为 的面积为 3,所以2 sin = 3,所以 = 4,由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos 可得 6 = 2 + 2 ,所以 2 + 2 = 10,4 2所以 2 + = 10,所以 4 10 2 + 16 = 0,解得 2 = 2 或 2 = 8,所以 = 2或 = 2 2.19.【详解】(1)由题意可知, (1,0), cos , sin ,则 = + = cos + 1, sin ,故 = cos + 1,则 ( ) = sin + cos + 1.(2) ( ) = sin + cos + 1 = 2sin + 4 + 1, 令2 + 2 ≤ + ≤ 3 4 2 + 2 , ∈ Z, 得4 + 2 ≤ ≤5 4 + 2 , ∈ Z,故 ( ) 5 的单调递减区间为 4 + 2 , 4 + 2 , ∈ Z.(3)若 ( )在[0, ]上仅存在两个零点, 2则 sin + 4 = 2 在[0, ]上仅存在两个根, ∈ [0, ] + ∈ ,则 4 4 , + 4 ,7 13 3 结合正弦函数图象知, 4 ≤ + 4 < 4 ,得 2 ≤ < 3 , 3 则 的取值范围为 2 , 3 .20.【详解】(1)作 ⊥ ,垂足为 ,交 于 ,连接 , ,第 5页,共 7页由于点 为弧 的一个三等分点,四边形 为矩形,即 , 关于直线 对称,∠ = π , ∠ = π = 2 sin π则 6 12,则 12 , = cosπ12,而∠ = π2,故 1 π为等腰直角三角形,则 = = 2 = sin 12,故 = = cos π12 sinπ12 ,则 = = 2 2 sin π π 2 π12 cos 12 sin 12= 2 sin π 1 + cos π 3 1 26 6 = 2 ;(2) π 因为∠ = 0 < < 2 ,则 = 2 sin 2 , = cos 2, = = 12 = sin 2,故 = = cos 2 sin 2 ,则 = = 2 2sin 2 cos 2 2sin2 2 = 2 sin + cos 1= 2 2sin + π4 1 ,π π π 3π π π π因为 0 < < 2,所以4 < + 4 < 4 ,故 + 4 = 2时, 2sin + 4 取最大值 2, = π即当 4时,∠ = ∠ =π8,即 在弧 的四等分点处时,矩形 的面积 最大, max = 2 1 2.21.【详解】(1)由题意 ( ) = sin cos = 0,sin = cos ,tan = 1, = π + π4 ( ∈ Z),又 ∈ [0,2π],所以 = π 5π π 5π4或 4,即所求集合为{ 4 , 4 };(2)由题意 ( ) = cos ,则 ( ) = cos + 3 sin , ∈ [0, ] 1 3 π时, ( ) = cos + 3sin = 2( 2 cos + 2 sin ) = 2sin( + 6 ),第 6页,共 7页 ∈ ( , 2 ]时, ( ) = cos 3sin = 2( 12 cos 32 sin ) = 2sin( π6 ),作出函数 = ( ), ∈ 0,2π 的图象,如图, ( ) [0, π ] [π, 5π π 5π在 3 和 3 ]上递增,在( 3 , π)和( 3 , 2 ]上递减, ( )max = 2, (0) = (2π) = 1,由图象可知,1 ≤ < 2 时,函数 ( ) = ( ) + 3 sin , ∈ 0,2π 的图象与直线 = 有且仅有四个不同的交点,所以 的范围是[1,2);(3) ( ) = 3sin + cos = 9 + 2sin( + ) cos = 3 sin = 由题意 ,其中 , ,9+ 2 9+ 2 + = 2 π + π易知 2 , ∈ Z 时, ( )2max = 9 + , 0 = 2 π +π2 ( ∈ Z),sin 0 = sin(2 π +π2 ) = cos ,同理 cos 0 = sin ,tan sin 0 cos 0 = cos =0 sin ,2cos 6 tan2 = 2tan 0 = sin = 2sin cos = 9+ 2 = 6 60 1 tan2 0 cos2 sin2 cos2= ,1 2 9 2 9 9sin2 9+ 2 9+ 2 ∈ (0, 3] 9 9时,函数 = 是增函数,因此 ∈ ∞, 2 3 ,6从而 9 ∈ 3, 0 ,即 tan2 0 ∈ 3, 0 . 第 7页,共 7页 展开更多...... 收起↑ 资源预览