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2024-2025 学年上海市进才中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. = 3是 sin =
3
2 ∈ (0, ) 的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2. + sin 中，已知 = sin sin ，且 cos( ) cos( + ) = 1 cos2 ，则 是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
3.已知函数 = ( )的定义域为(0,2)，则下列条件中，能推出 1 一定不是 = ( )的极小值点的为( )
A.存在无穷多个 0 ∈ (0,2)，满足 0 < (1)
B.对任意有理数 0 ∈ (0,1) ∪ (1,2)，均有 0 < (1)
C.函数 = ( )在区间(0,1)上为严格减函数，在区间(1,2)上为严格增函数
D.函数 = ( )在区间(0,1)上为严格增函数，在区间(1,2)上为严格减函数
2
4 ( ) = + sin +2.设函数 2+ cos +2的最大值为 ( )，最小值为 ( )，则( )
A. 0 ∈ , ( 0) ( 0) = 2 B. ∈ , ( ) + ( ) = 2
C. 0 ∈ , ( 0) + ( 0) = 1 D. ∈ , ( ) ( ) = 1
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.函数 = tan2 的定义域为
6.已知扇形的弧长为 3cm，周长为 7cm，则这个扇形的面积为 cm2．
7.在平面直角坐标系中，角 的终边上有一点 ( 3,2)，则 sin = ．
8.已知函数 ( ) = 2 2 + 1，则 lim 2+Δ (2)
→0 Δ
= ．
9.已知 是第三象限角，sin = 513，则 cos(π ) = ．
10.在 中，若 sin : sin : sin = 3: 4: 6，则 cos =
11.若函数 ( ) = 2 + ln(2 )在(0,1]上为减函数，则实数 的取值范围是 ．
12.已知方程 sin + 3cos = + 1 在 ∈ [0, ]上有两个不相等的实数解，则实数 的取值范围是 ．
13 π π π π.将函数 ( ) = sin 4 ( > 0)的图象向左平移4 个单位长度后，所得函数在 15 , 16 内不是单调
函数，则 的取值范围是 ．
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14.若过点(0,2)可作曲线 = 3 + 3 2 + + 2 的三条切线，则 的取值范围为 ．
15.在 3sin 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，若 = 2，且 tan = 1 3cos ，则 面积的最大
值为 ．
16.已知 > 0， > 0 ，且满足 2ln 2 2 + ln 2 + 2 ≥ 0，则 = ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = e ， ∈ R．
(1)求 ′(0)的值，并写出该函数在点 0, (0) 处的切线方程；
(2)求函数 = ( )在区间[ 1,1]上的最大值和最小值．
18.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )， ( ) = 2sin cos + 2 3cos2 3．
(1)求函数 = ( )的单调增区间；
(2)若不等式 ( ) + < 1 在 ∈ 0, π4 上恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 14 分)
如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路 经过三个景点 、 、 .景区管委会又开发了风景优美的景点
.经测量景点 位于景点 的北偏东 30°方向 16km 处，位于景点 的正北方向，还位于景点 的北偏西 75°
方向上.已知 = 10km．
(1)景区管委会准备由景点 向景点 修建一条笔直的公路.求线段 的长度(长度单位精确到 0.1 )；
(2)求线段 的长度(长度单位精确到 0.1 )( 3 ≈ 1.732).
20.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | ≤ π2 的图象如图所示．
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(1)求函数 = ( )的解析式及最小正周期；
(2)将函数 = ( ) π的图象向右平移6个单位长度得到曲线 ，把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐
= ( ) ( ) = 标不变，得到的曲线对应的函数记作 ，求函数 2 ( )的最小值以及取得最小值时 的值；
(3)在(2) π的题干下，若函数 ( ) = 2 2 + ( )( ∈ )在 0,4π 内恰有 6 个零点，求 的值．
21.(本小题 14 分)
设定义域为 R 的函数 = ( )在 R 上可导，导函数为 = ′( ).若区间 及实数 满足： ( + ) ≥ ′( )
对任意 ∈ 成立，则称函数 = ( )为 上的“ ( )函数”．
(1)判断 = 2 + 3 是否为(0, + ∞)上的 (1)函数，说明理由；
(2) π若实数 满足： = sin 为 0, 2 上的 ( )函数，求 的取值范围；
(3)已知函数 = ( )存在最大值．对于： ：对任意 ∈ R, ′( ) ≤ 0 与 ( ) ≥ 0 恒成立， ：对任意正整
数 , = ( )都是 R 上的 ( )函数，问： 是否为 的充分条件？ 是否为 的必要条件？证明你的结论．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. ≠ 2 + 4 , ∈ ．
6.3
7.2 13 213 /13 13
8.8
9.1213
10. 1124
11.[2, + ∞)
12. 3 1,1
13. > 152
14.(4,5)
15. 3
16. 2
17.【详解】(1)由已知可得 ′( ) = e 1，所以 ′(0) = 0，
则根据导数的几何意义可知，函数在点 0, (0) 处的切线的斜率为 = ′(0) = 0．
又 (0) = 1，所以函数在点 0, (0) 处的切线的方程为 = 1．
(2)当 1 ≤ < 0 时， ′( ) = e 1 < 0，所以 ( )在[ 1,0)上单调递减；
当 0 < ≤ 1 时， ′( ) = e 1 > 0，所以 ( )在(0,1]上单调递增．
所以， ( )在 = 0 处取得唯一极小值，也是最小值 (0) = 1．
又 ( 1) = 1e + 1 < 1.5， (1) = e 1 > 1.5 > ( 1)，
所以，函数在区间[ 1,1]上的最大值是 e 1，最小值是 1．
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18.【详解】(1)由题意有 ( ) = 2sin cos + 2 3cos2 3 = sin2 + 3 1 + cos2 3 = sin2 +
3cos2 = 2sin 2 + π3 ，
令 2 π π2 ≤ 2 +
π
3 ≤ 2 π +
π
2 , ∈ Z
5π π
，解得 π 12 ≤ ≤ 12+ π, ∈ Z，
5π π
所以函数 ( )的单调增区间为 π 12 , π + 12 ∈ Z ；
(2) ( ) + < 1 ∈ 0, π由 在 4 上恒成立，即 1 < ( ) < 1 在 ∈ 0,
π
4 上恒成立，
0 ≤ ≤ π π ≤ 2 + π ≤ 5π 1由 4得3 3 6 ，所以2 ≤ sin 2 +
π
3 ≤ 1，即 1 ≤ ( ) ≤ 2，
1 > 2 < 1
所以 1 < 1 > 2 2 < < 1,
即 ∈ ( 2, 1)．
19.【详解】(1)依题意可得∠ = 30°， = 16， = 10，
在 中由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即102 = 162 + 2 2 × 16 × cos30°，即 2 16 3 + 156 = 0，
解得 = 8 3 + 6 > 16(舍去)或 = 8 3 6 ≈ 7.9，
所以线段 的长度约为 7.9km．
(2)在 中，sin∠ = sin∠ ，
∴ sin∠ = sin∠ = 4 3 3 10 ，
∴ cos∠ = 3 3+410 ，
在 中，∠ = ∠ + ∠ = 30° + 75° = 105°，
∴ cos∠ = cos105° = cos(60° + 45°)
= cos60°cos45° sin60°sin45° = 2 64 ，
sin∠ = sin105° = sin(60° + 45°) = 2+ 64 ，
∴ sin∠ = sin 180° (∠ + ∠ )
= sin ∠ + sin∠
= sin∠ cos∠ + cos∠ sin∠
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= 4 3 3 × 2 6 + 3 3+410 4 10 ×
2+ 6 7 6 2
4 = 20 ．
又 sin∠ = sin75° = sin(180° 105°) = sin105° = 2+ 64 ，
在 中由正弦定理sin∠ =

sin∠ ，
8 3 6 150+320 3
即 2+ 6 = 7 6 2，解得 = 73 ≈ 9.6，
4 20
所以线段 的长度约为 10 + 9.6 = 19.6km．
20.【详解】(1)由图可得 = 1 7π π，最小正周期 = 2 × 12 12 = π
2π
，则 = = 2，
7π 7π 5 由 12 = sin 2 × 12 + = 1，可得 = 3 + 2 π, ∈ Z
π π π
又| | ≤ 2，所以 = 1， = 3，所以 ( ) = sin 2 + 3 ，
(2)由题意得 ( ) = sin ，
( ) = π2 ( ) = sin + 3 sin =
1 2
2 sin +
3
2 sin cos =
3
4 sin2 +
1
4 1 cos2 =
1 π 1
2 sin 2 6 + 4，
所以 ( ) 1 1的最小值为 2 + 4 =
1
4，当 2
π
6 =
3π
2 + 2 π, ∈ Z，即 =
5π
6 + π, ∈ Z；
(3) ( ) = sin π2 2 + sin = cos2 + sin = 2sin
2 + sin + 1 ∈ R ，
令 ( ) = 0，可得 2sin2 sin 1 = 0，令 = sin ∈ [ 1,1]，得 2 2 1 = 0，
由于Δ = 2 + 8 > 0，故方程必有两个不同的实数根 1， 2，且 1 +
1
2 = 2 , 1 2 = 2，
= 1由 1 2 2 < 0 知 1, 2异号，不妨设 1 > 0, 2 < 0，
> 1 = 1 1若 1 ，则 2 2 ∈ 2 , 0 , sin = 1，无解，1
sin = 2在 0,4π 内有四个零点，不符题意；
若 1 = 1
1 1
，则 2 = 2 , sin = 1 在 0,4π 内有 2 个零点，sin = 2在 0,4π 内有 4 个零点，符合题意，此时
1 12 =

2，得 = 1；
若 0 < 1 < 1, 2 =
1
2 <
1
2 , sin = 1在 0,4π 有 4 个零点，1
故 sin = 2在 0,4π
1 1
内应恰有 2 个零点，∴ 2 = 1，此时 1 = 2 , 1 + 2 = 2 , ∴ = 1
综上所述， = 1 或 = 1．
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21.【详解】(1)因为 ′ = 2 + 3 ′ = 2 + 3，根据题意可知，
( + 1)2 + 3( + 1) ≥ 1 (2 + 3)等价于 2 + 2 ≥ 0 在(0, + ∞)时恒成立，
所以 = 2 + 3 是(0, + ∞)上的 (1)函数．
(2)实数 满足：sin( + ) ≥ cos ∈ 0, π2 ，
即 cos sin + sin cos ≥ 0 ∈ 0, π2 .①
π sin ≥ 0
特别地，在①中取 = 0, 2，可知 cos ≥ 0 ,
sin ≥ 0
反之，当 cos ≥ 0时，①成立．
令 ( ) = sin ，由于 ′( ) = cos 1 ≤ 0，且满足 ′( ) = 0 的 为离散的数，
故 = ( )为严格减函数，又 (0) = 0，所以 sin ≥ 0 ≤ 0．
又 cos ≥ 0 ∈ ∪ ∈ 2 π
π
2 , 2 π +
π
2 ．
π π
从而 的取值范围是： ≤ 0 且 ∈ ∪ ∈ 2 π 2 , 2 π + 2 ．
(3)若 成立，则对任意正整数 ，有： ( + ) ≥ 0 ≥ ′( ) ∈ R ，
即 = ( )为 R 上的 ( )函数， 成立．故 为 的充分条件．
若 成立，即对任意正整数 ，有： ( + ) ≥ ′( ) ∈ R ②，
记函数 = ( )的最大值为 ．
先证明 ′( ) ≤ 0 恒成立．
反证法，假如存在 ′1 ∈ R 使得 1 > 0，则取正整数 ，使得 ′ 1 > ，
此时有 ′ 1 > ≥ 1 + ，与②矛盾．
这意味着 = ( )为 R 上的严格减函数．
再证明 ( ) ≥ 0 恒成立．
取 0为 = ( )的一个最大值点，
则当 ≤ 0时，由单调性知 ( ) ≥ 0 = ，但 ( ) ≤ ，
所以 ( ) = ≤ 0 ，
于是 ′( ) = 0 < 0 ．
对任意 2 ∈ R，可取一个与 2有关的正整数 ，使得 2 < 0，
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由②知： ′2 ≥ 2 = 0．
于是 成立．故 也为 的必要条件．
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