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2024-2025 学年山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中高一下学期第一次
模块考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 1 2i = 4 3i，则 的虚部为( )
A. 2 B. 1 C. D. 2i
2.已知向量 = (3,1), = (2,3), = ( 1,2)，若向量 + 与 + 平行，则实数 =( )
A. 319 B.
13
11 C. 2 D.
6
17
3 π 5.在 中，角 , , 的对边长分别为 , , .若 = 4 , cos = 13 , = 13，则 =( )
A. 17 B. 7 C. 34 D. 13
4 ( 3,1) sin 3.已知角 的终边过点 ，则 2π 2 的值为( )
A. 35 B.
3
5 C.
4 4
5 D. 5
5.已知正四棱台的上、下底面边长分别为 7，9，体积为 193，则该正四棱台的侧棱长为( )
A. 7 B. 10 C. 11 D. 13
6.如下图，在三棱锥 中，点 ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段 上的点，若 = ，且满
足 //平面 ，则 =( )
A. 12 B.
2
3 C. 1 D. 2
7.如图，在 中， π为边 上靠近点 的四等分点，∠ = 3， = 2， 的面积为 4 3，则 sin∠
等于( )
A. 1 B. 21 C. 3 21 212 7 14 D. 14
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8.已知正六边形 的边长为 3，圆 的圆心为正六边形的中心，直径为 1，若点 在正六边形的边上运
动， 为圆 的直径，则 的最大值是( )
A. 132 B. 8 C.
35
4 D. 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是( )
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ， ，则 D.若 ， ，则
10.已知函数 = 2sin + π 1 π3 的图象横坐标变为原来的2倍后得到 ( )，再将 ( )的图象向右平移3个单位，
得到 ( )，则下列说法正确的是( )
A.函数 ( )的解析式为 ( ) = 2sin2
B. = π直线 12是函数 ( )图象的一条对称轴
C. ( ) 11π在区间 12 , π 上单调递增
D. π 7π若关于 的方程 ( ) = 0 在 12 , 12 上有 1 个实数根，则 ∈ 2 ∪ [ 1,1]
11.已知函数 ( ) = cos2 + sin , ≠ 0，则( )
A.函数 ( )的最小正周期为 2π
B.当 = 1 时，函数 ( )的值域为 2, 98
C.当 = 2 π 7π时，函数 ( )的单调递增区间为 2 π + 2 , 2 π + 6 ( ∈ )
D.若 = 1，函数 ( )在区间 0, π ( ∈ )内恰有 2025 个零点，则 = 1350
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12 2+i.复数 1 i 的模是 ．
13.如图，在等腰 中，底边 = 2， ， 是腰 上的两个动点，且形 + = +
1+ 4 ，则当
取得最小值时， + 的值为 ．
14 .已知 中，点 在边 上，∠ = 120°, = 2, = 2 .当 取得最小值时， = ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 , 为单位向量，且 与 的夹角为 60°．
(1)求 2 的值；
(2)若向量 2 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，正方形 为圆柱 ′的轴截面， 是圆柱上异于 , 的母线， , 分别是 , 的中点， =
2, = 3．
(1)证明： //平面 ；
(2)设平面 与圆 ′所在平面的交线为 ，证明： //平面 ．
17.(本小题 15 分)
已知平面向量 = cos , 3sin , = 2cos , 2cos , ( ) = 1．
(1)求函数 ( )在 0, π 上的单调区间；
(2) π当 ∈ 0, 2 时，求函数 = ( )的最小值及此时 的值．
18.(本小题 17 分)
如图 1，设半圆的半径为 2，点 ， 三等分半圆， ， ， 分别是 ， ， 的中点，将此半圆以 为
母线卷成一个圆锥(如图 2).在图 2 中完成下列各题．
(1)求证：平面 //平面 ．
(2)求四面体 的体积．
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(3) 若 是 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使得 //平面 ？若存在，求 的值，并证明你的结
论；若不存在，说明理由
19.(本小题 17 分)
我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利
在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点 ，该点
即称为托里拆利点(以下简称“ 点”).通过研究发现三角形中的“ 点”满足到三角形三个顶点的距离和
+ + 最小.当 的三个内角均小于120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为“
点”；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为“ 点”.试用以上知识解决下面问题：已
知 的内角 , , 所对的边分别为 , , ．
(1)若 3 sin = 3 cos ，则
①求 ；
②若 = 4，设点 为 的“ 点”，求 + + ；
(2)若 cos cos = ，设 点为 的“ 点”，| | + | | = 2 | |，求实数 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.52
13.203
14. 3 1 或 1 + 3
15.解：(1)对| 2 |先平方可得：| 2 |2 = ( 2 )2
展开得：| 2 |2 = 2 4
2
+ 4
2
因为 ， 为单位向量，所以| | = | | = 1，则 2 = | |2 = 1， = | |2 = 1．
又因为 与 的夹角为60°，可得： = | || |cos60° = 1 × 1 × 1 = 12 2
将 2 = 1，
2
= 1， = 1代入| 2 |2
2
2 =
2 4 + 4 可得：
1
| 2 |2 = 1 4 × 2 + 4 × 1 = 1 2 + 4 = 3
所以| 2 | = 3．
(2)因为向量 2 与 的夹角为锐角，所以(2 ) ( ) > 0 且 2 与 不同向共线．
2
可得：(2 ) ( ) = 2 2 (2 + 2) +
2
2 = 1 = 1 = 1将 ， ， 2代入上式可得：2 × 1 (2 +
2) × 12+ × 1 > 0
2 2
整理得：2 1 2 + > 0

，即 2 + 3 1 > 0，得：
2 6 + 2 < 0，解得 3 7 < < 3 + 7．
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若两向量同向共线，则存在实数 > 0，使得 2 = ( )，即 2 = ．
2 =
所以可得 = ，将 = ( > 0)代入 2 = 得
2 = 2，解得 = 2．
所以当两向量不同向共线时， ≠ 2．
综合以上两个条件，实数 的取值范围是(3 7, 2) ∪ ( 2, 3 + 7)．
16.解：(1)证明：如图连接 、 ，
根据圆柱的性质可得 // 且 = ，所以四边形 为平行四边形，
因为 为 的中点，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
(2)证明：根据圆柱的性质可得圆 ′//平面 ，
又平面 ∩圆 ′ = ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ；
17.解：(1) ( ) = 1 = 2cos2 + 2 3sin cos 1 = cos2 + 3sin2 = 2sin 2 + 6 ，
13
∵ ∈ [0, ], ∴ 2 + 6 ∈ 6 , 6 ,

令6 ≤ 2 + 6 ≤ 2得 0 ≤ ≤ 6；

令2 < 2 +
≤ 3 < ≤ 2 6 2得6 3；
3 13 2
2 < 2 + 6 ≤ 6 得 3 < ≤ .
∴ ( )的单调递增区间为 0, 2 2 6 和 3 , ，单调递减区间为 6 , 3 ．
(2) 当 ∈ [0, 2 ]时，2 + 6 ∈
, 7 16 6 ，此时 sin 2 + 6 ∈ 2 , 1 ，
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∴ ( ) = 2sin 2 + 6 ∈ [ 1,2]，
∴ = ( )的最小值为 1，
此时 2 + = 7 6 6，即 = 2．
18.解：(1)证明：因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，同理得 //平面 ，
又 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 ．
(2)如图所示：
1
设圆锥的底面圆半径为 ，则 2π = 2 × 2π × 2，解得 = 1．
所以在图中， ， 为圆锥的底面圆周的三等分点，

所以 为等边三角形，所以sin60° = 2 = 2，所以 = 3．
= 1 × 3 × 3 × 3 = 3 3 2 2 4 ，圆锥的高 = 2
2 12 = 3，
所以 1 3 3 3 = 3 × 4 × 3 = 4，
所以 =
1
2 =
1
2 ×
1 1 3
2 = 4 = 16，
3
即四面体 的体积为16．
(3)如图所示：
在线段 上存在点 ，且 = 3，使得 //平面 ，
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理由如下：
取 的中点 ，且 是 的中点，连接 ，
所以 // ，2 = ．
取 的四等分点 ，使 = 3 ，连接 ， ．
因为 = 3 ，所以 // ，4 = ，
所以 2 = = 2 ， // ，所以四边形 是平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
19.解：(1)①在 中，由正弦定理得 3sin sin sin = 3sin cos ，
∵ = π ( + )，有 sin = sin( + )，
3(sin cos + cos sin ) sin sin = 3sin cos ，
3cos sin = sin sin ，
∵ sin ≠ 0，∴ tan = 3，又 ∈ (0, π)，
∴ = π3；
π
②由①知 = 3，则 的三个角都小于120
，
由“ 点”定义知：∠ = ∠ = ∠ = 120 ，
设| | = ，| | = ，| | = ，由 + + = 得
1
2
3
2 +
1
2
3 1 3 1
2 + 2 2 = 2 × 4 ×
3
2 ，整理得 + + = 4，
所以 + +
= ( 12 ) + (
1
2 ) + (
1
2 ) =
1
2 × 4 = 2．
(2)由 cos cos = ，结合正弦定理 sin cos sin cos = sin ，
有 sin( ) = sin ，∵ , , 均为三角形内角，∴ = (舍)
或 + = π，即 = + = π π，∴ = 2，
由点 为 的“ 点”，得∠ = ∠ = ∠ = 120 ，
设| | = | |，| | = | |，| | = ，( > 0, > 0, > 0)，
由| | + | | = 2 | |，得 + = 2 ，由余弦定理得
| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 2 23 = ( + + 1) ，
| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 2 23 = ( + + 1) ，
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| |2 = 2 2 + 2 2 2 2cos 2 2 2 23 = ( + + ) ，
相加得| |2 + | |2 = | |2，得( 2 + + 1) 2 + ( 2 + + 1) 2 = ( 2 + 2 + ) 2，
整理得 + + 2 = ，
于是 + + 2 = ≤ ( + 22 ) ，当且仅当 = ，即 = = 1 + 3时取等号，
又 + = 2 ,因为 2 2 2 ≥ 0,而 > 0,解得 ≥ 1 + 3，所以实数 的最小值为 1 + 3．
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