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2025年黑龙江省齐齐哈尔市二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
2．下面四幅图标，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．2025年是乙巳蛇年，在十二地支中，“巳”对应蛇．小明制作了12张材质、规格完全相同的卡片，其中3张写了辰、8张写了巳、1张写了亥，小明将这些卡片背面朝上洗匀，若随机抽取一张卡片，抽到写有“巳”的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．年月日是“世界读书日”周年纪念日．某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动，班级决定为在活动中表现突出的同学购买圆珠笔和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中碳素笔每支元，圆珠笔每支元，共花费元，则购买方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
9．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
10．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
11．据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿元”用科学记数法可示为 元．
12．函数中，自变量的取值范围是 ．
13．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为 ．

15．如图，在中，，以点为圆心作弧，交于点、，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则四边形的周长是 ．
16．在矩形中，，为平面内一点，且，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点，，在一条直线上时，的长为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，依此规律，则第个等腰三角形中，点的坐标是 ．
三、解答题
18．（1）计算：
（2）分解因式：
19．解方程：
20．某校为了解九年级学生对物理实验操作的掌握情况，对该校330名九年级学生进行了物理实验操作测试，从中随机抽取了部分学生的成绩进行整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60分的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题；
(1)所抽取的学生成绩为等级的为________人；
(2)补全频数分布直方图；
(3)所抽取的学生成绩的中位数为________；
(4)试估计该校九年级330名学生中成绩为等级的人数．
21．如图，为的直径，点为上一点，，是弦，且，垂足为，与相切于点，交的延长线上于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间后继续行驶，两车同时到达地．甲、乙两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
(1)，两地间的距离为________千米，乙车中途休息________小时，甲车的速度为________千米/时；
(2)求图中线段所在直线的函数解析式；
(3)直接写出两车出发多少小时，两车行驶的路程相差千米．
23．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
已知正方形纸片，，是边上一点，将正方形沿着直线折叠，点落在点处，把纸片展平，射线交射线于点．
(1)根据以上操作，图1中与的数量关系是：________；
(2)如图2，若点是的中点，延长交于点．
①猜想与的数量关系为________，请证明你的猜想；
②求线段的长度；
(3)如图3，，交于点，则面积的取值范围是________．
24．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，连接，交于点，过点作轴的平行线交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)设，则的取值范围是________；
(4)在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的右侧时，若点是轴上的一个动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，则的最小值为________．
《2025年黑龙江省齐齐哈尔市二模数学试题 》参考答案
1．B
解：的相反数是，
故选：B．
2．C
解：A、该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．B
解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B
4．D
解：如图，过点C作直线平行于直线m，
∵直线，
∴，
∴，，
由题意可得，
∴，
∴，
故选：D．
5．C
解：∵小明制作了12张材质，其中3张写了辰、8张写了巳、1张写了亥，
∴写有“巳”的概率是，
故选：C
6．D
解：A、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
B、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
C、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
D、主视图为，左视图和俯视图为，主视图、左视图与俯视图完全相同，故该选项符合题意；
故选：D．
7．D
解，得：，
∵分式方程的解为非负数，且，
∴且，
∴且；
故选D．
8．B
解：设购买支碳素笔，支圆珠笔，
依题意得：，
∴，
又∵，均为正整数，
∴或或或或或，
∴共有种不同的购买方案．
故选：B．
9．C
解：由图象可知，面积最大值为3，
由题意可得，当点D运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
由图象可知，当时，，此时点D运动到点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
10．B
解：抛物线的对称轴为直线，
，
，即，故①正确；
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间，
抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
∵抛物线图象与轴交点的纵坐标是2，
，
，
，
令，得，
或，
，
，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
抛物线的开口向下，
抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大，
，
，
，
，
，
点到对称轴的距离是，点到对称轴的距离是，
，故④正确；
如图，当时，，
，
，
，
当时，，
函数的最大值大于，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个，
故选：B．
11．
解：“100亿元”用科学记数法可示为．
故答案为：．
12．且
解：函数有意义，
且，
，
，
，
，
综上所述，自变量的取值范围是且．
故答案为：且．．
13．
解：设这个圆锥的底面圆的半径为，由题意得，
解得：
故答案为：．
14．
解：设，
是矩形，且点为的中点，
点纵坐标为，
代入反比例函数解析式得，
，
点横坐标为，
点横坐标为，代入反比例函数解析式，
得，
，
，
的面积为，
的面积为，
，
，
解得．
故答案为：．
15．11
解：设，则，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由作图可知，即，
则，
则，
则，
∴，
∴，
则四边形的周长是11．
故答案为：11．
16．或
解：①当点E在的延长线上时，作图如下，过点P作于点F：
∵在矩形中，
∴，，
∴，
∵点，，在一条直线上，且，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
②当点E在上时，作图如下，过点P作于点F：
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
17．
解：第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，
∴；
第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，
∴；
第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，
∴；
，
∵绕点每次顺时针旋转，
∴旋转三次完成一周，
∴点在第三象限，
∵每变化一次腰长增加，
∴，，，
∵，
∴点在第三象限，且，
∵，
∴，
∴点到的距离为，到的距离为，
∴点的坐标是，
故答案为：．
18．（1）；（2）
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19．，
解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
20．(1)7
(2)画图见解析
(3)85
(4)110人
（1）解：（人）
C等级的人数为：（人），
（2）补全条形统计图如下：
（3）解：30个数据按大小顺序排列，最中间的两个是第15、16个，即84，85，
所以，中位数是；
（4）解：人），
即估计成绩为A等级的人数为110人．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：点为上一点，，是弦，且，，
，
，
，即，
设半径为，
，
在中，，
，
即，
，
，
，
，
即，
．
22．(1)，，
(2)
(3)小时或小时或小时
（1）解：由函数图象可知，，两地间的距离为千米，
由图象得，当时，乙车开始休息，当时，乙车重新出发，
∴乙车中途休息小时，
∵从点过程中，只有甲车在行驶，
∴甲车的速度为千米/时，
故答案为：，，；
（2）解：由（）可得，点甲行驶的时间为小时，
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：①甲车在线段段时两车行驶的路程相差千米，
把代入得，，
解得；
②甲车在线段段时两车行驶的路程相差千米，
由题意得，，
解得；
③甲车在线段段时两车行驶的路程相差千米，
设线段的函数解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴线段的函数解析式为，
把代入得，，
解得；
综上，两车出发小时或小时或小时时，两车行驶的路程相差千米．
23．(1)
(2)①，见解析；②
(3)
（1）解：设，交于点，如图1，
由轴对称性质可得，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：①，理由如下：
连接，如图2，
由折叠可知，，，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
②设，则，
在中，，，，
则由勾股定理可得，
解得，
．
（3）解：取的中点，
由对折可得：，，
∴，
∴，
∴在以为圆心，为直径的圆上，
当重合时，
，
如图，当重合时，则重合，
此时的面积最小，
∴，
∴．
24．(1)
(2)点的坐标为或
(3)
(4)
（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴抛物线为：，
即抛物线为：；
（2）解：如图，过作交于，而轴，
∴轴，
∴，而，
∴，
∵，
当时，，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
∵，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为或．
（3）解：∵，
结合（2）可得：，
∴，
∵点是直线下方抛物线上的点，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为，
∵，
∴；
（4）解：∵的对称轴为直线，当点在抛物线对称轴的右侧时，
∴，
如图，作交轴于，作关于直线的对称点，
∴，
∴，
∵直线，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
当共线时，最小，
此时最小值为：．

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