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2024-2025 学年上海市格致中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为正数，则“ > 3”是“ > 3”的( )．
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
2.向量 = (1, 1)在 = (1,2)上的投影为( )
A. 5 1 55 B. 5 C. 5 D.
1
5
3.函数 ( ) = 2sin( + ) > 0,0 < < π 5 12 的图象如图所示 3 , 2 , 3 , 2 .将 ( )的图象向右平
移 2 个单位长度，得到函数 ( )的图象，则 ( )的解析式为( )
A. ( ) = 2sin π2
π
3 B. ( ) = 2sin
π
2 +
π
3
C. ( ) = 2sin π2
π π π
3 D. ( ) = 2sin 2 + 3
4.设函数 = ( )， = ( )的定义域均为 ，值域分别为 、 ，且 ∩ = .若集合 满足以下两个条件：
(1) ∪ ；(2)当全集为 时， ∪ 是有限集，则称 = ( )和 = ( )是 互补函数．给出以下两个
命题：①存在函数 = ( )，使得 = 2 ( )和 = log2 ( )是[0,16] 互补函数；②存在函数 = ( )，使得
= sin ( )和 = tan ( )是[0, + ∞) 互补函数．则( )
A.①②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题；
C.①是假命题，②是真命题 D.①②都是假命题
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 6 分，共 72 分。
5.已知集合 = π2 , 0,
π
2 ， = = π +
π
2 , ∈ N ，则 ∩ = ．
6 1.不等式 +2 ≥ 1 的解集是 ．
7.圆心角为 3rad，面积为 6cm2的扇形的周长是___ ____ ．
8.在 中， 为 上一点， = ， = ， = 1 ，若用向量 、 表示 2 ，则
= ．
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9.已知 cos = 13，且 为第三象限的角，则 tan2 = ．
10.若向量 、 满足 + ⊥ ，且 = 1， = 2，则向量 与 的夹角为 ．
11.若 1 =
π
3， 2 = π是函数 = sin( )( > 0)两个相邻的零点，则实数 的值为 ．
12.已知 ( ) = ( )sin + 2, ∈ R，且 = ( )是偶函数，则实数 = ．
(2 ) + 3 , < 1
13.已知函数 = 2 的值域为 ，则实数 的取值范围为 ． , ≥ 1
14 3.已知不等式 ≤ 4
2 3 + 4 ≤ 的解集为[ , ]，则 + 的值为 ．
15.如图，已知点 在点 的正北方向，点 、点 分别在点 的正西、正东方向，且 sin∠ = 4 27，sin( ) = 7，
= 4，若∠ 为锐角，则 = ．
16.设 为 所在平面上一点，且满足 + 2 = ( > 0)，若 的面积为 2，则 面积
为 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 54 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,1), = (1,2), = + ( ∈ )．
(1)若向量 与 3 共线，求实数 的值；
(2)若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
18.(本小题 13 分)
如图，在平面四边形 中， ⊥ , ⊥ , 平分∠ ．
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(1) 5π若∠ = 6 , = 2，求 ；
(2)若 = ，求 cos∠ ．
19.(本小题 14 分)
广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为 2m 的扇形
和三角区域 构成，其中 , , 在一条直线上，∠ = 4，记该设施平面图的面积为 ( )m
2，∠ = rad，

其中2 < < ．
(1)写出 ( )关于 的函数关系式；
(2)如何设计∠ ，使得 ( )有最大值？
20.(本小题 14 分)
一个函数 = ( )，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 ， ， 都在 = ( )的定义域内，就有 ( )，
( )， ( )也是某个三角形的三边长，则称 = ( )为“三角形函数”．
(1)判断函数 = ， = ， = 2中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
(2)如果函数 = ( )是定义在 R 上的周期函数，且值域为(0, + ∞)，证明 = ( )不是“三角形函数”；
(3)若 ( ) = sin ，函数 = ( )， ∈ (0, )是“三角形函数”，求 的最大值．(参考公式：sin + sin =
2sin + 2 cos

2 )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2
6.( 2, 1]
7.10
8.1 2 3 + 3
9. 4 2 47 / 7 2
10.2π3
11.32/0.5
12.0
13. 12 , 2 ;
14.4
15.3 5+ 332
16.3
17.【详解】(1)因为 = (1,1), = (1,2)，
所以 3 = (1,1) 3(1,2) = ( 2, 5)， = + = (1,1) + (1,2) = ( + 1, + 2)，
又向量 与 3 共线，所以 2( + 2) = 5( + 1) 1，解得 = 3．
(2)若向量 与 的夹角为锐角，则 > 0 且 , 不同向，
由 = 1 × ( + 1) + 2( + 2) = 3 + 5 > 0 5，解得 > 3，
由 + 2 = 2( + 1)得 = 0，此时 , 同向，不满足题意．
5
综上，实数 的取值范围为 3 , 0 ∪ (0, + ∞)．
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18.【详解】(1)平面四边形 中，内角和为 2π，且 ⊥ , ⊥ ,则∠ + ∠ + ∠ = π.且
∠ + ∠ = ∠ + ∠ = π2．
∵ 平分∠ , ∴ ∠ = ∠ ，结合上面式子，则∠ = ∠ = 5π π6 2 =
π π
3，∠ = ∠ = 2
π
3 =
π
6，
故∠ = 2∠ = π3，∵ ⊥ , ⊥ ，∴ = cos∠ = 3, = cos∠ =
3
2，
= 2 + 2 2 cos∠ = 13在 中，由余弦定理得 2 ．
(2) 平分∠ .设∠ = ∠ = 0 < < π2 ，则∠ = 2 ．
⊥ , ⊥ ,设 = = ，则 = cos∠ = cos , = cos∠ = cos2 ，
2 2 2 2 2 4 2
在 + + cos 1中，由余弦定理得 cos∠ = cos2 = 2 = 2 cos2 = 2 cos
2 ，
∵ cos2 = 2cos2 1, ∴ 12 cos
2 = 2cos2 1，解得 cos = 63 ,
则 cos2 = 2cos2 1 = 2 × 23 1 =
1
3，
即 cos∠ = 13
19. π 1【详解】(1)由已知可得∠ = 4 , 扇形 = 2 = 2 ，
在△ 中由正弦定理可得：
= sin∠ sin ，所以 = 2(sin cos )，
1
从而 = 2 sin∠ = 2sin
2 2sin cos ，
所以 ( ) = 2sin2 2sin cos + 2 = 2sin (sin cos ) + 2 ，( π2 < < π)．
(2) ′( ) = 2(sin2 cos2 ) + 2 = 2 2sin(2 π4 ) + 2，
由 ′( ) = 0, 3π解得 = 4 ,
令 ′( ) > 0,解得 π 3π π 3π2 < < 4 , ∴增区间是( 2 , 4 )；
令 ′( ) < 0, 3π < < π, ∴ ( 3π解得 4 减区间是 4 , π)；
所以 ( ) = 3π 3π在 4处取得最大值是 2 +
2
2 m ．
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3π 3π
答：设计成∠ = 4 时，该设施的平面图面积最大是 2 + m
2
2 ．
20.【详解】(1) = ， = 是“三角形函数”， = 2不是“三角形函数”．
理由如下：
任意一个三角形，设它的三边长分别为 , , ，不妨假设 ≤ , ≤ ，则 + > ，
对于 = ，当 的取值分别为 , , 时，对应的函数值分别为 , , ，满足 + > ，故 = 是“三角形函
数”，
对于 = ，当 的取值分别为 , , 时，对应的函数值分别为 , , ，
2
因为 + = + + 2 > + > 0，所以 + > + > > 0，故 = 是“三角形
函数”，
对于 = 2，因为 3,3,5 可作为一个三角形的三边长，但32 + 32 < 52，
所以不存在以32, 32, 52为三边长的三角形，故 = 2不是“三角形函数”．
(2)设 ( > 0)为 ( )的一个周期，因为其值域为 0, + ∞ ，
所以存在 > > 0，使得 ( ) = 1, ( ) = 2，
取正整数 > ，则 + > · + = ，
则 + , + , 这三个数可作为一个三角形的三边长，
但 ( + ) = 1, ( + ) = 1， ( ) = 2 不能作为任何一个三角形的三边长，
所以 ( )不是“三角形函数”．
(3)( ) > 5π π 5π 5π若 6，取2 , 6 , 6 ∈ 0, ，则这三个数可作为一个三角形的三边长，
但 sin π 5π 12 = 1, sin 6 = 2 , sin
5π
6 =
1
2不能作为任何一个三角形的三边长，故 ( )不是“三角形函数”．
( )当 = 5π6时，对任意三角形的三边 , ,
5
，若 , , ∈ 0, 6 ，则分类讨论如下：
①当 + + ≥ 2π时， ≥ 2π > 2π 5π6
5π π π
6 = 3，同理 , > 3，
∴ , , ∈ π , 5π 13 6 ，故 sin , sin , sin ∈ 2 , 1 , sin + sin >
1
2 +
1
2 = 1 ≥ sin ,
同理可证 sin + sin > sin ，sin + sin > sin ，
∴ sin , sin , sin 可作为某个三角形的三边长．
+
②当 + + < 2π时， 2 + 2 < π，可得如下两种情况：
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+ π + π
当 2 ≤ 2时，由 + > 得 0 < 2 < 2 ≤ 2，
由 y = sin π在 0, 2 上单调递增可得 0 < sin

2 < sin
+
2 ≤ 1，
+
当 2 >
π + π
2时，0 < 2 < π 2 < 2，
y = sin 0, π 0 < sin + 由 在 2 上单调递增可得 2 < sin π 2 = sin
+
2 < 1，
+
综上得，0 < sin 2 < sin 2 ≤ 1，
又由| | < < 5π6 及余弦函数在 0, π 上单调递减，
cos = cos | | > cos > cos 5π得 2 2 2 12 > 0
+
∴ sin + sin = 2sin 2 cos 2 > 2sin2 cos2 = sin
同理可证其余两式，所以 sin , sin , sin 也是某个三角形的三边长．
故 = 5π6 时， ( )是“三角形函数”，
5π
综上， 的最大值为 6 ．
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