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2024-2025 学年上海市建平中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 为单位向量，下列说法正确的是( )
A. = B. //0 C. + = 0 D. 2 =
2.下列函数图像所对应的函数解析式可能为( )
A. = 4sin
2+1
2+1 B. = 4sin C. =
2 + 4sin D. = 2 4sin
3.已知等比数列 的首项为 1，公比为 ，则“ 1( 1) > 0”是“数列 为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知数列 满足 = cos 2 1 ( ≥ 1, ∈ )，其中 ∈ 0,2π ，设集合 = | < 0，对任意正整
数 恒成立 ，则( )
A. 为空集 B. 为有限集，且仅有一个元素
C. 为有限集，且至少有两个元素 D. 为无限集
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5 2 1 2+1. 2 与 2 的等差中项为 ．
6.若 cos = 12，则 cos2 = ．
7.已知数列 为等比数列，若 5 = 8，则
2 = ．
2 1
8.已知 = 4，向量 在向量 方向上的数量投影为 2，则 , =
9.已知数列 的前 项和 = log2 ，那么 3 + 4的值为 ．
10.把函数 = tan 图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数 = ( )的图象，则 = ( )
的最小正周期为 ．
11.设等差数列 的前 项和为 ，若 6， 28是方程 8 + 5 = 0 的两根，则 13 = ．
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12.在 中，角 π， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 + = 8， = 3，5sin = 3sin ，则 = ．
13 π.已知 ≠ 0，若4和π是函数 ( ) = sin( + )相邻的两个零点，则正实数 = ．
14 = 2 +1 + = + +1.已知数列 满足 1 ，且 +1 +1 ( ≥ 1, ∈ )，则 2025 = ．
15.如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米，
设点 、 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为 和 .施工完成后， 与铅垂方向有偏差，现在实测
得 = 38.12°， = 18.45°，则 的长为(结果精确到 0.01 米) ．
16.已知数列 的前 项和为 ， 1 = 0，且满足 = 1 + 1 ( ≥ 2, ∈ )，则 26 所有可能的取值
个数为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
1
设数列 ， 满足 = 3 ≥ 1, ∈ N ．
(1)若 1 1 是首项为9，公比为27的等比数列，求 8的值．
(2)若数列 是公差为 1 的等差数列，且
+∞
=1 =
1
2，求 8的值．
18.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = sin2 2 3cos2 ∈ R ．
(1)若 = 0 π π，求函数在区间 6 , 3 上的最大值和最小值；
(2)若 = 1，且在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 2 = 0， = 3， = 1，求
的面积．
19.(本小题 14 分)
党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划(20212030 年)》的提出明确了今
后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已
知第 1 年该地区有土地 1 万平方千米，其中 70％是沙漠，30％是绿洲.从第 2 年起，该地区进行绿化改造，
每年把原有沙漠的 16％改造成绿洲，而原有绿洲的 4％被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第 年的绿洲面积为
万平方千米，其中 1 ≤ ≤ 10， ∈ ．
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(1) 4证明： 5 为等比数列；
(2)假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米 2 亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要
拨款的费用．
20.(本小题 14 分)
已知数列 ， ， 满足 +1 +1 = ≥ 1, ∈ N ．
(1)若 = ≥ 1, ∈ N ， =
1
≥ 1, ∈ N ，求 1 + 2的值；
(2)若 = 2 + 3 ≥ 1, ∈ N ， = 2
5
2 ≥ 1, ∈ N ，求数列 的最小项；
(3) 1 1若 = 2 ( 1) + 2 ≥ 1, ∈ N ，

= 2 + ≥ 1, ∈ N ，当 1 = 2 时，判断是否存在互异的正整
数 ， 使得 = ，并说明理由．
21.(本小题 14 分)
已知定义在 上的函数 = ( )，数列 满足 +1 = ( ≥ 1, ∈ )，且 1 ≠ 0．
(1)若 ( ) = 2， 3 = 16，求 1的值；
(2)若 ( ) = 2 + 1，且数列 为严格增数列，求 1的取值范围；
(3)若 ( ) = 2 + sin ，且数列 满足 +1 = ( ≥ 1, ∈ )，其中 > 1，求 1和 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 22
6. 12
7.2
8.π3
9.1
10.2π
11.52
12. 19
13.43
14.2025 + 12025
15.26.93 米
16.14
17.(1)因为 1 1 是首项为9，公比为27的等比数列，
1 1 1 1 2 3 3 3 1
所以 = 9 × 27 = 3 ×
1 1 1
3 = 3 ，又 = 3 ，
所以 = 3 1，则 8 = 3 × 8 1 = 23；
(2)因为数列 是公差为 1 的等差数列，

所以 = 1 +
1
1，又 = 3 ，
1+ 1 1
所以 1 1 = 3 ，则 1 = 3 ，
1 1
3 1
1
= 3 = 3 × 1
1 1
设 的前 项和为 ，则 1 1 2 3
1 3 ，
3
1 3 1 1 1
因为+∞ =1 = 2，所以2 × 3 = 2，所以 1 = 1，
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所以 = ，则 8 = 8．
18.(1)当 = 0 时， ( ) = 2 3cos2 = 3 cos2 + 1 = 3cos2 3，
∈ π , π 2 ∈ π , 2π当 6 3 时， 3 3 ，则 cos2 ∈
1 1
2 , 2 ，
3cos2 3 ∈ 3 3 , 3故 2 2 ，
3
因此 ( )max = 2 , ( )min =
3 3
2
(2)当 = 1 时， ( ) = sin2 2 3cos2 = sin2x 3 cos2 + 1 = 2sin 2 π3 3，
故 2 = 2sin
π π 3
3 3 = 0，即 sin 3 = 2 ，
由于 ∈ (0, ) π π 2π，故 3 ∈ 3 , 3 ，
π π 2π
所以 3 = 3，即 = 3，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 1 + 2 + = 3，解得 = 1(负值舍去)，
故 =
1
2 sin =
1
2 × 1 × 1 ×
3
2 =
3
4
19.(1)由题意，当 ≥ 2 时，
= 1 4％ 1 + 1 1 × 16％ = 0.96
4 4
1 + 0.16 0.16 1 = 5 1 + 25，
4 4 4 4 4 1
变形为 5 = 5 1 5 ， 1 5 = 1 × 1 70％ 5 = 2，
4 1 4
所以数列 5 是以 2为首项，5为公比的等比数列，
1 1
(2)由(1) 4 1 4可得 5 = 2 × 5 ，所以数列 的通项公式 =
1 4
2 × 5 +
4
5．
1
则 1 =
1 × 4 12 5 + 5，
由题意可知，该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积为
4 9 4 1 4 4 2 4 9 4 1
= 25 1 = 25 × 2 × 1 + 5+ 5 + + 5 + 25 × 5 × 9
=1
4 9
= 2
1 36 2 4 9× 5 + 3625 1 4 125
= 5 1 5 + 125，
5
4 4 9 72
所需的改造费用为5 1 5 + 125 ≈ 1.27(亿元)．
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20.(1)由 = ≥ 1, ∈ N ，可得 +1 = 1，
= 1由 ≥ 1, ∈ N
1
，可得 +1 = + 1 +1 +
1
= 1 +
1
( +1)，
所以， = +1 +1 = 1 +
1
( +1)，
故 1 + 2 = 1 +
1 + 1 + 1 = 82 6 3．
(2)由 = 2 + 3 ≥ 1, ∈ N ，可得 +1 = 2( + 1) + 3 2 3 = 2，
2 5 1 5
所以 +1 = 2 = 2 4 = 2 2 ，
所以，当 = 1,2 时， +1 < 0，即 3 < 2 < 1，
当 ≥ 3 时， +1 > 0，即 3 < 4 < < ，
所以数列 的最小项为 3．
(3)由 =
1
2 ( 1)
+ 12 ≥ 1, ∈ N
1 1 1 1
可得 +1 = 2 ( 1)
+1 + +12 2 ( 1) 2 = ( 1) ，
所以 +1 +1 = ( 1) +1 = ( 1) 2 + ．
当 为奇数时， +1 = 2 + ，则 +2 +1 = 2 +1 ( + 1)，
两式相加可得 +2 = 2 1 < 0，因为 1 = 2，
当 为奇数时， ≤ 2 且 单调递减，不存在互异的奇数 ， 使得 = ．
当 为偶数时， +1 = 2 ，则 +1 +2 +1 = 2 + ( + 1)，
两式相加可得 +2 = 2 + 1 > 0，因为 1 = 2， 2 1 = 2 + 1 = 3，所以 2 = 5，
当 为偶数时， ≥ 5 且 单调递增，不存在互异的偶数 ， 使得 = ．
当 为奇数时， ≤ 2，当 为偶数时， ≥ 5，所以不存在一奇一偶的正整数 ， 使得 = ．
综上，数列 中不存在互异的正整数 ， 使得 = ．
21.(1)因为 ( ) = 2，则 +1 = 2 ( ≥ 1)，
因为 2 21 ≠ 0，则 2 = 1 > 0，由 3 = 2 = 16 可得 2 = 4，
由 2 = 21 = 4，解得 1 =± 2．
(2)因为 ( ) = 2 + 1，则 +1 = = 2 + 1，
因为函数 = 2 、 = 1 在 上均为增函数，故函数 ( )在 上为增函数，
因为数列 为严格增数列，则 +1 = 2 + 1 > ，可得2 > 1，解得 > 0，
所以 1 > 0，
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且当 1 > 0 时， 2 = 2 1 + 1 1 > 1，且 2 = 1 > (0) = 0，
当 2 > 0 时， 3 = 2 2 + 2 1 > 2，且 3 = 3 > (0) = 0， ，
以此类推可知，对任意的 ∈ ， > 0， +1 > ，合乎题意，
因此， 1的取值范围是(0, + ∞)．
(3)由题意可知， +1 = = 2 + sin = ，即( 2) = sin 对任意的 ∈ 恒成立，
若 ≠ 2，则 ( 2) 1 = sin ≤ 1，即 ( 2) 1 ≤ 1 对任意的 ∈ 恒成立，
令 ( 2) 11 = 1 可得 = log
1
( 2) + 1 = 1 log ( 2) 1 ，1
因为 > 1，当 > 1 log ( 2) 1 时， ( 2) 1 1 > 1，与题意矛盾．
所以，必有 = 2，从而可得 sin = 0，进而有 sin 1 = 0，
故 1 = π( ≠ 0, ∈ )， = 2．
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