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2024-2025 学年上海市奉贤中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列 是等比数列， 、 、 为正整数，则“ + = 2 ”是“ = 2 ”的( )．
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2.函数 ( ) = 3 ( > 0)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.一张矩形纸的边长分别为 、 ( > )，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分
别为 和 的两个圆柱体，其体积为 和 ，则 和 的大小关系是( )．
A. > B. = C. < D.不确定
4.足球运动被誉为“世界第一运动”，深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社
团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再
随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的
人为第 1 1次触球者，第 次触球者是甲的概率为 ，即 1 = 1.给出下列 2 个结论：① 3 = 2，② 10 > 9.
则下列说法正确的是( )
A.①成立，②不成立 B.①不成立，②成立
C.①②都成立 D.①②都不成立
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.直线 3 2 = 0 的倾斜角为 ．
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6
2 2
.若双曲线 4 = 1 的一个焦点为 2 2, 0 ，则 = ．
7.已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，若 1 = 7， 2 = 15，则 7 = ．
1
8.+∞ 1 =1 2 = ．
9.若函数 ( ) = ln ，则 ′ π = ．
10 1 1.已知 ( ) = 4， ( | ) = 2，则 ( ∩ ) = ．
sin +π 1
11.极限lim 6 2 = ．
→0
12.如图 1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四
棱台，现有一个揽月阁模型(如图 2)、下底面边长为 4 2，上底面边长为 2 2，侧棱长为 6，则该模型的
高为 ．
图 1 图 2
13.现有来自两个班级的考生报名表，分装 2 袋，第一袋有 6 名男生和 4 名女生的报名表，第二袋有 7 名
男生和 5 名女生的报名表，随机选择一袋，然后从中随机抽取 2 份.则恰好抽到男生和女生的报名表各 1 份
的概率是 ．
14 .已知随机变量 的分布为 ( = ) = ( = 1,2,3,4)，则 [ + 2] = ．
15.正方形草地 边长 1.2, 到 , 距离为 0.2, 到 , 距离为 0.4，有个圆形通道经过 , ，且经过
上一点，求圆形通道的周长 . (精确到 0.01)
16.已知函数 ( ) = 2 3 + 3 2 36 ，如果 ( ) = ( ) = ( )且 < < ，则 + + + 的取值范
围为 ．
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三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥ ， = = 2， = ． 为 的中点，且 = 2，平面 ⊥
平面 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
18.(本小题 14 分)
1
已知数列 的各项均为正数， 1 = 3，且 =
1
2 ( ≥ 2)． 1+1
(1) 1求证：数列 是等差数列；
(2)若数列 2, = 1, 满足 = , ≥ 2,
求数列 中的最大项与最小项．
19.(本小题 14 分)
某大学在一次公益活动中聘用了 10 名志愿者，他们分别来自于 、 、 三个不同的专业，其中 专业 2 人，
专业 3 人， 专业 5 人，现从这 10 人中任意选取 3 人参加一个访谈节目．
(1)求 3 个人来自两个不同专业的概率;
(2)设 表示取到 专业的人数，求 的分布列及数学期望．
20.(本小题 14 分)
2 2
已知椭圆 ： 8 + 4 = 1， 1、 2分别为左、右焦点，直线 过 2交椭圆于 、 两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)当∠ 1 = 90°，且点 在 轴上方时，求 、 两点的坐标；
(3)若直线 1交 轴于 ，直线 1交 轴于 ，是否存在直线 ，使得 1 = 1 ？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
21.(本小题 14 分)
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π
在平面直角坐标系中，将函数 = ( )的图象绕坐标原点 逆时针旋转4后所得曲线仍然是某个函数的图象，
则称函数 = ( )为“ 函数”．
(1)判断函数 = 是否是“ 函数”，并说明理由；
(2) 1已知函数 = + 是“ 函数”，求该函数的极值；
(3) = ( +1)已知函数 e 是“ 函数”，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.π 16/6π
6.4
7.217
8.2
9.ln + 1
10.18/0.125
11. 3/12 2 3
12. 2
13.117220
14.32
15.2.73
16. 40, 452
17.【详解】(1)因为 = ， 为 的中点，
所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)同理(1)得， ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
在 Rt 中， = 2 + 2 = 2，所以 = = 12 = 1，
在 Rt 中， = 2 + 2 = 5，
在 Rt 中， = 2 + 2 = 22 + 12 = 5，
2 2 2
在 中，cos∠ = + 5+5 2 4 32 = 2×5 = 5，所以 sin∠ = 5，
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1则 = 2 sin∠ =
1 × 5 × 5 × 3 = 32 5 2，
1 1 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 =
2
3，
1 1 3 2 4
设点 到平面 的距离为 ，则 = 3 = 3 × 2 × = 3 = 3，
4
4 5
设直线 与平面 所成角为 ，则 sin = = 3 5 = 15 ，
4 5所以直线 与平面 所成角为 arcsin 15 ．
18.【详解】(1) 1 1证明：由 = 12 +1 ( ≥ 2)，两边取倒数，可得 = + 2， 1 1
1 1 1 1即 = 2， = 3，所以数列 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列． 1 1
(2) 1 1由(1) = 3 + ( 1) × 2 = 2 + 1，所以 = 2 +1，
由 2, = 1, 1 = , ≥ 2,
则当 ≥ 2 时， = = 2 +1 = 1 < 2，2+
所以 的最大项为 1 = 2，
又当 ≥ 2 1 2时，随着 增大， 减小，故 单调递增，故 的最小项为 2 = 5．
19.【详解】(1)解：令事件 表示 3 个来自于两个不同专业，
1表示 3 个人来自于同一个专业， 2表示 3 个人来自于三个不同专业，
3
∵ ( ) = C3+C
3
5 = 11 ( ) = C
1
2 C
1 1
， 3
C5 30
1 3 2 = ，C10 120 C310 120
∴ ( ) = 1 ( 1) ( ) = 1
11
2 120
30 79
120 = 120．
(2)解：随机变量 可能取值为 0，1，2，3，
3 1 1
∵ ( = 0) = C7 = 35 = 7 ( = 1) = C3 C， 7 633 120 24 3 = 120 =
21
40，C10 C10
2 1 3
( = 2) = C3 C7 = 21 7 C3 1
C310 120
= 40， ( = 3) = 3 = 120，C10
∴ 的分布列为：

0 1 2 3
7 21 7 1
24 40 40 120
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所以 ( ) = 0 × 724 + 1 ×
21
40 + 2 ×
7
40+ 3 ×
1
120 =
9
10．
20.【详解】(1)由椭圆方程知， = 2 2， = 2，
所以 = 2 2 = 2，

所以离心率 = =
2 2
2 2 = 2 ．
(2) 1( 2,0)， 2(2,0)，设 1, 1 ，且 1 > 0．
所以 1 = 1 2, 1 ， 2 = 1 + 2, 1 ，
∵ ∠ 1 = 90° ∠ 1 2 = 90° ，∴ 1 2 22 = 1 4+ 1 = 0，
2 2 2
又 在椭圆上，满足 1 + 1 8 4 = 1，即
2 1
1 = 4 1 8 ，
2
∴ 21 4 + 4 1
1
8 = 0，解得 1 = 0，即 (0,2)．
所以直线 ： = + 2，
= + 2 = 8 = 0
联立 3 2 2 ，解得 或 ,
8 + 4 = 1 =
2 = 2
3
8
所以 3 ,
2
3 ；
(3)设 1, 1 ， 2, 2 ， 0, 3 ， 0, 4 ，
直线 ： = + 2，
= + 2
联立 2 2 ，得 2 + 2 2 + 4 4 = 0．
8 + 4 = 1
4 4
则 1 + 2 = 2+2， 1 2 = 2+2．
2
直线 1的方程： = 1 ( + 2)，令 = 0 得 纵坐标 3 =
1 ；
1+2 1+2
= 2 直线 2 21的方程： 2+2
( + 2)，令 = 0 得 的纵坐标 4 = +2．2
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1 1
则 1 = 2 1 2 1 2 = 2 1 2 ， 1 = 2 1 3 4 = 3 4 .
若 1 = 1 ，即 2 1 2 = 3 4 ，
= 2 1 2 2 2 13 4 =
2 2 = 8 1 2 = 2 1 2 ，
1+2 2+2 1+4 2+4 1+4 2+4
∴ 1 + 4 22 + 4 = 4， 1 2 + 4 1 + 2 + 16 = 4，
4 2 4
代入根与系数的关系，得 2+2 + 4 2+2+ 16 = 4，解得 =± 3．
∴存在直线 + 3 2 = 0 或 3 2 = 0 满足题意．
21. 【详解】(1)函数 = 是一条过原点、斜率为 1 的直线，倾斜角为4．

其图像绕原点 逆时针旋转4后，所得的曲线是 = 0，
不满足函数定义，所以函数 = 不是“ 函数”．
(2)因为函数 = + 1 是“ 函数”，所以该函数与直线 = + 至多只有 1 个交点．
1
即方程 + = + ( ≠ 0)最多只有 1 个根，化简方程得：
( 1) 2 + 1 = 0．
当 = 1 时，方程最多只有 1 个根，符合题意；
当 ≠ 1 时，方程的判别式Δ = 2 4( 1) ≤ 0 不恒成立，不符合题意．
所以要使得该函数为“ 函数”，则 = 1．
1
所以函数表达式变为 = + ．
对函数求导得： ′ = 1 1 ( 1)( +1) 2 = 2 ．
当 1 < < 1, ≠ 0 时， ′ < 0，此时函数在( 1,0)和(0,1)上单调递减；
当 > 1 或 < 1 时， ′ > 0，此时函数在( ∞, 1)和(1, + ∞)上单调递增；
结合单调性可知函数在 = 1 处取极大值，在 = 1 处取极小值．
计算可得函数的极大值为 2，函数的极小值为 2．
(3) ( +1)因为函数 = e 是“ 函数”，所以该函数与直线 = + 至多只有 1 个交点．
( +1) = + 1 = ( +1)即方程 e 最多只有 个根，即方程 e 至多一个实数根，
( +1)
故只需函数 ( ) = e 是单调函数，求导得
′( ) = e 1．
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设 ( ) = e 1 ∈ R ，则
′( ) = ( 1)，其中 ′e (1) = 0．
①当 > 0 时，
当 < 1 时， ′( ) < 0， ( )在( ∞,1)上单调递减；
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增；
则 ( )min = (1) =
e
e 1 = e < 0，
即 ′( ) = ee < 0 且 →+∞,
′( ) → 1， → ∞, ′( ) →+∞；
min
故 ( )在 必不单调；
②当 < 0 时，
同理可得， ( )在( ∞,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减；
′( ) = e，且 → ∞, ′e ( ) → ∞； →+∞,
′( ) → 1，
max
故 ′( ) ≥ 0 恒成立不可能，
( +1) e
所以要使函数 ( ) = e 是单调函数，则只需
′( ) ≤ 0 恒成立，则只需 e ≤ 0，
解得 ≥ e，则 e ≤ < 0；
③当 = 0 时， ( ) = ，符合题意；
( +1)
综上，若使函数 = e 是“ 函数”，则 e ≤ ≤ 0，
则实数 的取值范围为 e, 0 ．
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