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2024-2025 学年上海市七宝中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 , 是两个不共线的向量，向量 + , 23
1
3 共线，则实数 的值为( )
A. 1 12 B. 2 C. 2 D. 2
2. 中，设 1 cos cos = cos2 2，则 的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
3.已知 > 0， ∈ 0,2π ，集合 = { | = cos( + ), ∈ Z}中有 2025 个元素，则 的取值不可能是( )
A. 2 π 2π4049 B. 4049 C. 2025 D. 2025
2sin π
4.关于函数 ( ) = 2 2 2 +3的以下两个命题：①函数 = ( )的图象是轴对称图形；②对任意的 ∈ ，不等
式 2 ( ) ≤ 3| |恒成立．则正确的是( )
A.①正确②正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①错误②错误
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.已知角 的终边经过点(3,4)，则 sin = ．
6.已知 sin > 0 且 cos < 0，则 为第 象限角．
7.已知扇形的半径为 8cm，弧长为 4cm，则扇形的圆心角 的弧度数为 ．
8.已知 为锐角，且 cos = 13，则 tan = ．
9.已知 ∈ π π6 , 3 ，且 与 的终边关于原点对称，则 cos 的取值范围为 ．
10.函数 ( ) = ln tan 3 的定义域为 ．
11.已知 = 2， = 4，则 + 的最大值为 ．
12.已知 ， 均为锐角，sin = 3sin cos( + )，则 tan 取得最大值时，tan( + )的值为 ．
13.已知 中的边 = 2， = 2 3，∠ = π，若 为边 上的动点，则 ( + 6
) = ．
14.已知函数 ( ) = 3cos( + )( > 0) π满足对任意的 ∈ R 都有 ( ) ≤ 3 .若函数 = ( )在区间
π π
8 , 2 上有且仅有一个零点，则 的取值范围是 ．
15.已知平面向量 ， ， ，对任意实数 ， 都有 ≥ ， ≥ 成立．若 = 2，则
的最大值是 ．
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16.已知函数 ( ) = π 过点(2, 1)，且图象对称中心为(1,0)，函数 ( ) = sin(2 + )( > 0, | | ≤ 2 )
1
的两相邻对称中心之间的距离为 1，且对任意的 ∈ ， ( ) ≤ 2 恒成立．若方程 ( ) = ( )在 ∈ [
1, + 3] ∈ Z 上的所有根之和等于 2028，则满足条件的 构成的集合为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = sin ．
(1)求函数 = 2 ( ) + π2 + 1 的单调递减区间；
(2)求函数 ( ) = 2 2( ) + π2 + 2
π
， ∈ 0, 2 的值域．
18.(本小题 14 分)
已知向量 ， 满足 = 3， = 1，设 与 的夹角为 ，
(1) = π当 6时，求 与 + 2
的夹角；
(2)若对任意实数 ，不等式 + ≥ + 恒成立，求 cos 的值．
19.(本小题 14 分)
七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地 分隔成三部分分
π
别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为 60 米，∠ = 3，动点 在扇形 的弧上(不
包含端点)，点 在半径 上，且 // ．
(1)当 = 40 米时，求分隔栏 的长；
(2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区 的面积 的最大值．
20.(本小题 14 分)
定义点 ( , )，若函数满足 ( ) = sin + cos ，则称函数 = ( )为点 的“ 伴生函数”，点
( , )为函数 = ( )的“源点”．
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(1)已知点 3, 1 为函数 ( ) = sin( + ) cos 4π3 | | <
π
2 的“源点”，求实数 的值．
(2)已知点 ( , )满足 = 3， ∈ 0, 3 .若点 ( , )的“ 伴生函数” = ( )在 = 时取得最大值，
当点 运动时，求 tan2 的取值范围；
(3) 2已知点 的“0 1 伴生函数” = ( )满足 ( ) = 2 .若 中， = 2，cos = ( )，点 为该三
角形的外心，求 + 的最大值．
21.(本小题 14 分)

已知函数 ( ) = sin 2 ( ∈ )，任取 ∈ ，若函数 ( )在区间[ , + 1]上的最大值为 ( )，最小值为 ( )，
记 ( ) = ( ) ( )．
(1)求函数 ( )的最小正周期及对称轴方程；
(2)当 ∈ [ 2,0]时，求函数 ( )的解析式；
(3)设函数 ( ) = 2| |， ( ) = | | + 2 8，其中 为参数，且满足关于 的不等式 2 4 ( ) ≤ 0
有解，若对任意 1 ∈ [4, + ∞)，存在 2 ∈ ( ∞,4]，使得 2 = 1 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.45
6.二
7.0.5/12
8.2 2
9. 32 ,
1
2
10. π3 + π < <
π
2 + π, ∈ Z
11.6
12.2
13.2
14. 125 , 3
15.12/0.5
16.{1013,1014}
17.解：(1) = 2 ( ) + π2 + 1 = 2sin sin +
π
2 + 1
= 2sin cos + 1 = sin2 + 1，
令 2 π + π2 ≤ 2 ≤ 2 π +
3π
2 , ∈ Z
π 3π
，解得 π + 4 ≤ ≤ π + 4，
π
所以函数的单调递减区间为 4 + π,
3π
4 + π , ∈ Z．
(2) ( ) = 2 2( ) + π2 + 2 = 2sin
2 + cos + 2 = 2cos2 + cos + 4，
令 = cos ，由 ∈ 0, π2 可得 ∈ [0,1]，
则 = 2 2 + + 4， ∈ [0,1]，
对称轴为 = 14，图象开口向下，
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1 1 1 33
所以当 = 4时， max = 2 × 16 + 4 + 4 = 8，
当 = 1 时， min = 2 × 1 + 1 + 4 = 3，
33
所以函数值域为 3, 8 ．
18.解：(1)向量 ， 满足 = 3， = 1，设 与 的夹角为 ，
所以 + 2 = 2 + 2 = 2 + 2 cos = 3 + 2 3 × 1 × 32 = 6，
| + 2 2
2
| = 2 + 4 + 4 = 3 + 4 × 3 × 1 × 32 + 4 = 13，则 + 2
= 13，
+2
则 cos , + 2 = 6 2 39
+2
= 3× 13 = 13 ，
故 2 39与 + 2 夹角为 arccos 13 ．
(2)将不等式 + ≥ + 两边同时平方，
2
得 2 + 2 + 2 ≥ 2 +
2
+ 2 ，
2 2
即 2 + 2 2 ≥ 0
因为 = 3, = 1， 与 的夹角为 ，
则 2 + 2 3 cos 1 2 3cos ≥ 0 恒成立，
所以Δ = (2 3cos )2 4 1 2 3cos ≤ 0，
2
化简得 cos + 3 33 ≤ 0，解得 cos = 3 ．
19.解：(1)因为 // 2π，所以∠ = π ∠ = 3，
在 中， = 40， = 60，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即 3600 = 1600 + 2 + 40 ，解得 = 20 6 20 或 = 20 6 20(舍去)，
所以 的长为 20 6 20 米；
(2)因为 // ，∠ = 2π3，
设∠ = ∠ = π π， ∈ 0, 3 ，则∠ = 3 ，

在 中，由正弦定理得
sin2π
= sin ，
3
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60sin 120
所有 = 3 = 3 sin ，
2
则 1 = 2 sin∠ =
3600
3 sin sin
π
3
3600 3 1 3600 3 1 1 cos2
= 2 sin cos 2 sin
2 = 4 sin2 ×3 3 2 2
= 36002 3 sin 2 +
π
6
1
2 = 600 3 sin 2 +
π
6
1
2 ，
π π
当 sin 2 + 6 = 1，即 = 6时， 面积取得最大值，最大值为 300 3平方米．
20.解：(1)因为 ( ) = 3sin + cos ，
所以 ( ) = sin( + ) cos( 4π3 ) = sin( + ) + cos(
π
3 )
= (cos + 3 12 )sin + (sin + 2 )cos = 3sin + cos 在定义域上恒成立，
cos = 3所以 2 , sin =
1 π π
2，而| | < 2则 = 6；
(2)由题意得：
( ) = sin + cos = 2 + 2sin( + ) tan = ，其中 ，
当 + = π2 + 2 π( ∈ Z)，即 = +
π
2 + 2 π( ∈ Z)时， ( )取最大值，
π 1 3 2tan 2
故 tan = tan( + 2 + 2 ) = tan = ，则 tan2 = 1 tan2 = 3
，
3
3
令3 = ，0 < ≤ 3 ，
∴ tan2 = 21 (0 < ≤
3
3
)，

∵ = 1 在定义域内为单调增函数，
1 2 3
∵ ∈ ( ∞, 3 ],
所以 tan2 的取值范围为[ 3, 0)；
(3)由题意得， ( ) = cos ，则 cos = 22 ，
= 2 cos = ( ) = cos = 2在三角形 中， ， 2 ，因此 =
π
4，

设三角形 外接圆半径为 ，根据正弦定理，sin = 2 = 2，故 = 1，
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→ → → →
所以 = = = 1， + = + ( )
= 2 +
2
+ = 2cos∠ + cos∠ + 1，
= , ∠ = 2 = 4 2 , cos∠ = cos

2 = 0，
代入得： + = 1 2cos∠ ，
所以当∠ = π时， + 取得最大值 3．
21. 2 解：(1)函数 ( )的最小正周期为 = = 4，
2

令2 = 2 + ( ∈ )，解得对称轴为 = 2 + 1( ∈ )；
(2)①当 ∈ [ 2, 3 2 )时，在区间[ , + 1]上， ( ) = ( ) = sin 2 ，
( ) = ( 1) = 1，所以 ( ) = ( ) ( ) = 1 + sin 2
3
②当 ∈ [ 2 , 1)时，在区间[ , + 1]上， ( ) = ( + 1) = sin[ 2 ( + 1)] = cos

2 ，
( ) = ( 1) = 1，所以 ( ) = ( ) ( ) = 1 + cos 2 ，

③当 ∈ [ 1,0]时，在区间[ , + 1]上， ( ) = ( + 1) = sin[ 2 ( + 1)] = cos 2 ，
( ) = ( ) = sin 2 ，所以 ( ) = ( ) ( ) = cos 2 sin 2 ，
sin 2 + 1, ∈ 2,
3
2
所以当 ∈ [ 2,0]时， ( ) = cos 3 ；2 + 1, ∈ 2 , 1
cos 2 sin

2 , ∈ [ 1,0]
(3)因为函数 ( )的最小正周期为 4，所以 ( + 4) = ( ), ( + 4) = ( )，所以
( + 4) = ( + 4) ( + 4) = ( ) ( ) = ( )即函数 ( )的周期为 4，
sin 2 + 1, ∈ 2,
3
2
cos 2 + 1, ∈
3
2 , 1
cos 2 sin 2 , ∈ [ 1,0)由(2)可得 ( ) = ，画出函数 ( )的部分图像如图所示，函数 ( )的值域为[1 1 sin 2 , ∈ [0,
1
2 )
1 cos 2 , ∈ [
1
2 , 1)
sin 2 cos

2 , ∈ [1,2]
2
2 , 2]，
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已知 2 4 ( ) ≤ 0 有解，即 2 ≤ 4 max( ) = 4 2，则 ≤ 4，
若对任意 1 ∈ [4, + ∞)，存在 2 ∈ ( ∞,4]，使得 2 = 1 成立，
则 ( )在[4, + ∞)上的值域是 ( )在( ∞,4]上的值域的子集，
2 ( ) = 2| | = , ≥ ，当 ≤ 4 时， ( )在( ∞, )上单调递减，在( , 4]上单调递增，所以 min( ) =2 , <
( ) = 1，
因为 ( ) = | | + 2 8 在[4, + ∞)上单调递增，所以 min( ) = (4) = 8 2 ，
所以 8 2 ≥ 1 7，即 ≤ 2．
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