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2024-2025学年河南省信阳市浉河区信阳高级中学高一下学期 5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = | 2 ≤ < 2 , = { || 1| < 2}，则 M ∩ N =( )
A. | 2 ≤ < 3 B. | 2 < ≤ 1
C. | 1 < < 2 D. 2 < < 2
cos π+
2.已知 tan = 2，则 2 =( )
sin π sin 3π2
A. 23 B.
2
3 C. 2 D. 2
3.如图，在 处(点 在水平地面 下方)进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点 , 相距 100
米，∠ = 60°，其中 到 的距离比 到 的距离远 40 米．在 地测得最高点 的仰角∠ = 30°( 为
与水平地面 的交点)，在 地测得该仪器在 处的俯角∠ = 15°，则该仪器的垂直弹射高度 为( )
A. 210 6 + 2 米 B. 140 6米
C. 210 2米 D. 20 6 2 米
4.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世
代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型： ( ) = e 0 ，其中
0为种群起始个体数量， 为增长系数， ( )为 时刻的种群个体数量.当 = 3 时，种群个体数量是起始个体
数量的 2 倍.若 (4) = 150，则 (10) =( )
A. 300 B. 450 C. 600 D. 750
5.如图，已知正六边形 的边长为 4，对称中心为 ，以 为圆心作半径为 2 的圆，点 为圆 上任意
一点，则 的取值范围为( )
A. [ 24,16] B. [0,32] C. [ 32,0] D. 12 3, 0
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6.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若(3 + )cos + cos = 0，且 2 2 2 = 2，则
的面积为( )
A. 2 B. 2 2 C. 6 D. 2 3
7.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面都是等边三角形， 是 的中点，则异面直线
和 所成角的余弦值是( )
A. 23 B.
3
3 C.
6 3
3 D. 6
8.已知长方体 1 1
11π 2
1 1外接球的表面积为 2 ，其中 = 2, 1 = 2 , 为线段 的中点，过点
的平面 与直线 垂直，点 在平面 与底面 1 1 1 1形成的交线段上，且 = ，则四面体 外接球
的体积为( )
A. 2π B. 4 2π C. 4π D. 8 2π3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， ， 为两两不重合的平面， ， ， 为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 ， ， // ， // ，则 //
C.若 // ， ，则 //
D.若 ∩ = ， ∩ = ， ∩ = ， // ，则 //
10.在复平面 内，复数 1、 2所对应的点分别为 1、 2，对于下列四个等式，正确的为( )
2 2 2 2A. 1 = 1 B. 1 = 1
C. 1 2 = 1 2 D. 1 2 = 1 2
11.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且 = (2cos + 1)，则下列结论正确的有( )
A. = 2
B.若 = 3 ，则 为直角三角形
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C.若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形
D.若 1 1为锐角三角形，tan tan 的最小值为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知水平放置的四边形 按照斜二测画法画出的直观图 ′ ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′// ′ ′，
′ ′ = 2, ′ ′ = 4, ′ ′ = 1，则四边形 的面积是 ．
13.如图，已知点 是 的重心，过点 作直线分别与 , 两边交于 , 两点，设 = , = ，
则 + 4 的最小值为 ．
14 3.已知单位向量 ， ，若对任意实数 ， + ≥ 2 恒成立，则向量 ，
的夹角的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 1 + i( ∈ )，且 3 + i 为纯虚数
(1)求实数 及| |；
(2)若 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，求 2 + 的值．
16.(本小题 15 分)
已知平面向量 = 2 1 + 2, = 1
2π
2，其中 1, 2是夹角为 3的单位向量．
(1)当 = 2，求 与 夹角的余弦值；
(2)若 与 夹角为钝角，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图所示，在四棱锥 中，在底面 中， = 2 3 ， 在棱 上且 = 2 ．
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(1)求证： //平面 ；
(2) // 线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
在 2中，角 所对的边分别为 ，已知 cos + = 0， = 4 ．
(1)求 cos ；
(2)若 = 2，求 的面积；
(3)若 1的面积为4 , 是 上的点，且∠ =
3π
4 ，求 的长．
19.(本小题 17 分)
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从 点出发，平面内四个点
, , , 经过中心投影之后的投影点分别为 , , , .对于四个有序点 , , , ，若 = ， = ，

定义比值 = 叫做这四个有序点的交比，记作( )．
(1)若点 , 分别是线段 , 的中点，求( )；
(2)当 = 1 时称 , , , 1 1 为调和点列，若| | + | | = | |，求 值；
(3)已知( ) = ( )，且( ) = 3 sin∠ 32，点 为线段 的中点，| | = 3| | = 3，sin∠ = 2，求 cos
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.3
14. π 2π3 , 3
15.解：(1)由题意可知， = 1 i，
则 3 + i = 1 i 3 + i = ( + 3) + (1 3 )i
因 3 + i 是纯虚数，则 3 + = 0 且 1 3 ≠ 0，得 = 3
则 = 1 3i，得| | = 10．
(2)由题意可知， 1 3i 2 + 1 3i + = 0，
则 8+ + + ( 6 3 )i = 0，
则 8+ + = 0 且 6 3 = 0，
得 = 2， = 10，故 2 + = 6．
16.解：(1)由已知 = 2 1+ 2， 1,
2π
2是夹角为 3的单位向量，
所以 = 2 = 2 2 21+ 2 = 4 1 + 4 1 +
2 = 4+ 4cos 2π2 2 3 + 1 = 3，
又 = 2，则 = 2 1 2，
所以 = 2 = 2 1 = 4
2
2 1 4 1 2 +
2
2 = 4 4cos
2π
3 + 1 = 7，
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又 = 2 1 + 2 2 1 2 = 4 1
2 2
2 = 4 1 = 3，
所以 cos , = 3 21 = 3 7 = 7 ．
(2)若 与 的夹角为钝角，则 < 0 且 , 不共线，
所以 = 2 21 + ( 2)
2
1 2 2 < 0，且 ≠ 2，
所以 2 + ( 2)cos 2π3 1 < 0，且 ≠ 2，
所以 < 0 且 ≠ 2．
17. 2解：(1)因为 = ，所以 3 // ，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)
2
存在，且当点 为 上靠近 点三等分点时，即 = 3时，平面 //平面 ．
下面给出证明：
2 2
因为 = 3
，所以 // ， = 3 ，
2
又因为点 为 上靠近 点三等分点，所以 = 3 ，
所以 // , = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又因为 面 ， 面 ，
所以 //面 ，
因为 在棱 上且 = 2 ，即 = 13 ，
1
又因为 = 3 ，
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所以 △ ，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 ．
18.解：(1)在 中，因为 cos + = 0，
2+ 2 2
所以 2 + = 0，即
2 + 3 2 2 = 0，
= 2因为 2 2 24 ，则 = 2 2 ，即 + 3 8 = 0，所以 = 5 ，
2 2 2 2 2 2
由余弦定理得 cos = + = 5 + 8 52 2 5 2 = 5 ．
(2)由(1)知 cos = 55 ，所以 sin = 1 cos
2 = 2 55 ，
= 2 = 2 1因为 4 ， ，所以 = 2，
由(1) 5知 = 5 ，所以 = 2 ，
所以 = 1的面积 2 sin =
1 5
2 × 2 ×
1
2 ×
2 5 1
5 = 4．
(3)由(2) 2 5知 sin = 5 ，
因为 =
1 5 1 5
2 sin = 5 = 4，可得 = 4 ，
由(1)知 = 5 ， = 2 2 5 1，故 = 2 ， = 2， = 2，
3π 3π π
因为 是 上的点，且∠ = 4 ，则∠ = 4 ，∠ = 4，
由(1)知 cos = 55 ，
3π
所以，sin∠ = sin 4 = sin
3π
4 cos cos
3π
4 sin =
2 × 5 + 2 × 2 5 102 5 2 5 = 10 ，

在 中，由正弦定理可得sin∠ = sin∠ ，
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1 10
= sin∠ 2
×
故 10
5
sin∠ = 2 = 10．
2
19.解：(1) 3 3由条件可得 = 1， = 2，则 = 3, = 2，所以( ) = 2．
(2)由 = 1 < 0 知， , 两点分属线段 内外分点，
不妨设 = + ， = ，
= 1 + 则 ， = 1 ，
由 = 1 知： = ，
1 1 2
则 + = 2，即 + = ，即 = 2．

(3) 3 3 3 3方法一：由( ) = 2，可得( ) = 2，即 = 2，所以 = 2，

1 又点 为线段 的中点，即 = 2，所以 = 3，
又 = 3，所以 = 1， = 2， = 1，
又已知 = 3 = 3，所以 = 3．
设 = ， = ，由∠ = π ∠ ，得 cos∠ + cos∠ = 0，
22+( 3)2 2 12+( 3)2 2
即 2 22×2× 3 + 2×1× 3 = 0，解得 + 2 = 15，①
在 = sin∠ 中，由正弦定理可得sin∠ sin∠ ，得 = sin∠ ②，
sin∠
在 中，由正弦定理可得sin∠ = sin∠ ，得 = sin∠ ③，
又 sin∠ = sin∠ ，
② ÷ sin∠ 3 2③得 = sin∠ = 2 × 3 = 3，即 = 3 ④，
由①④解得 = 3， = 3(负值舍去)，即 = 3， = 3，
2 2 2 2 2 2
所以 cos = + 3 +2 ( 3) 52 = 2×3×2 = 6．
3 3
方法二：因为( ) = 2，所以( ) = 2，
设 = = ，则 = 3 ，
又 为线段 的中点，所以 = (3 ) = 2 3，
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又已知 = 3， = 3 = 3，所以 = 3，
所以( ) = = 3 3 3 2 = 2，得 = 2，所以 = 2， = = 1，

由 = = 2，
1
2 sin∠ = 3 sin∠ 3 2 2 得1 sin∠
sin∠ = 3 = 3 ，
2
2 所以 3 = 2，
设 = ，则 = 3 ，
由∠ ，∠ 互补得 cos∠ + cos∠ = 0，
22+( 3)2 ( 3 )2 12+( 3)2 2
即 2×2× 3 + 2×1× 3 = 0，
解得 = 3，所以 = 3， = 3，
2 2 2 2 2 2
所以 cos = + 3 +2 ( 3) 52 = 2×3×2 = 6
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