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重庆市巴川中学校2024-2025学年度春期中考一模考试
初2025届数学试题
（总分150分考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回，
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为、的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1. 有理数的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
2. 欹（）器，它是中国最早最神奇的实物座右铭，是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器和它的主视图，其左视图为（ ）
A. B.
C D.
3. 如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
4. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 下面命题正确的是（ ）
A. 矩形对角线互相垂直
B. 在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 六边形内角和为
D. 线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等
6. 已知，则实数取值范围是（ ）
A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间
7. 分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的，如图是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个三角形；第4个图案有16个三角形…第6个图案有（ ）个三角形．
A. 32 B. 64 C. 128 D. 256
8. 如图，在等边中，，分别以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. 9 C. 6 D.
9. 如图，点是线段上一点，，分别以，为边在的同侧作正方形和正方形，连接分别与交于点，连接交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知单项式串：其中为非负整数，均为正整数．规定：，整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为所以．以下说法：①若则；②若，则所有满足条件的整式的和为；③若，则所有满足条件的整式有10个．其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 石墨烯目前是世界上最薄最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅米，则数用科学记数法表示为_______．
12. 渝西腹地，濑溪河畔，2025年“五一”节期间，重庆市荣昌区成为游客的热门旅游目的地．小巴和小川同学也和家人一起来到荣昌旅游，看美景，尝美食．某景区举办了在“卤鹅”“黄凉粉”“鸡汤铺盖面”“猪儿粑”四种美食中评选出“最佳美食”的投票活动．两位同学都投出了自己心目中的美味代表，则两位同学同时投票给“卤鹅”的概率为___________．
13. 某铁路隧道严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通列车．原计划每天修多少米？设原计划每天修x米，所列方程正确的是______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为___________．
15. 已知，点A，B，C，D在上，，过点的切线与的延长线交于点，，，，则的半径为___________；的长为___________．
16. 一个四位自然数满足各个数位上的数字均不为0，且，则称这个四位数为“加减不变数”．例如四位数9135，是“加减不变数”．最小的“加减不变数”是___________；若是一个“加减不变数”，将的各个数位数字之和记为，千位与个位数字之差记作，当为3的倍数时，则满足条件的的最大值是___________．
三、（本大题9个小题，第17，18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17. 计算：
（1）；
（2）解不等式组．
18. 先化简，再求值：，然后从三个数中选择一个合适的数作为的值代入求值．
19. 在学行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形．
（1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）．
（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．
证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴ ① ，在与中，
∴．∴ ② ．又∵，∴，
∴，又∵，∴，∴ ③ ．又∵
∴四边形是平行四边形．
进一步思考，智慧小组发现任取，上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是 ④ ．
20. 随着科技的发展，人工智能已经悄然运用在各行各业．现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分（百分制且得分用表示），然后对数据进行整理和分析，共分为四组：，，，，，下面给出了部分信息．
抽取的对甲款人工智能软件的所有评分数据：64，71，74，75，78，78，84，85，85，85，86，89，90，91，93，96，98，99，99，100．
抽取的对乙款人工智能软件的评分数据中组包含的所有数据：91，90，88，88，87，87，87，86．
抽取的对甲、乙两款人工智能软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 85.5 104.5
乙 86 87 69.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若此次调查用户对甲款人工智能软件进行了评分的有600名，对乙款人工智能软件进行了评分的有800名，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数．
21. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均可以采摘一个苹果，已知采摘工人平均可以采摘一个苹果．
（1）一定范围内的苹果被机器人识别，机器人采摘比工人采摘多用了，求这个范围内的苹果有多少个？
（2）为了提高了工作效率，公司为该智能机器人搭载了个机械手，升级了智能机器人的操作系统，测得每个机械手平均每秒可摘个苹果，据统计，该智能机器人工作采摘的苹果数量与个采摘工人工作小时采摘的苹果数量相等，求的值．
22. 如图，在中，，，，点为上一动点，过点作于点．设的长度为，点的距离为的周长与的周长之比为．
（1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；分别写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
23. 在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点、均在景点的正北方向且米，景点在景点的正西方向，且米，景点在景点的南偏东方向且米，景点在景点的东北方向．
（1）求道路的长度；（结果保留根号）
（2）若甲从景点出发沿的路径去景点，与此同时乙从景点出发，沿的路径去景点，在两人速度相同的情况下谁先到达景点？（参考数据：，）
24. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，B，交轴于点，且．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点为轴上的动点，在的下方，满足，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
（3）将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在（2）当取得最大值的条件下，点为新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的横坐标．
25. 已知如图，在中，，垂足为点，点是的中点．
（1）如图1，连接，若，，求的长；
（2）如图2，点是延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上时，探索并证明线段之间的数量关系；
（3）如图3，点是直线上一点，以为腰作等腰直角，，连接，若，当为直角三角形时，请直接写出的值．
重庆市巴川中学校2024-2025学年度春期中考一模考试
初2025届数学试题
（总分150分考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回，
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为、的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】 ①. 2.5 ②. 1
【16题答案】
【答案】 ①. 3111 ②. 9513
三、（本大题9个小题，第17，18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】，当，原式
【19题答案】
【答案】（1）见解析 （2）；；；进一步思考：四边形是平行四边形
【20题答案】
【答案】（1）87，85，20
（2）乙款人工智能软件更受用户欢迎，见解析
（3）估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数为370人
【21题答案】
【答案】（1）这个范围内的苹果有个；
（2）的值为．
【22题答案】
【答案】（1），
（2）作图见解析，随增大而增大，随 的增大而减小
（3）
【23题答案】
【答案】（1）的长度为米
（2）乙先到达景点
【24题答案】
【答案】（1）
（2）；
（3）或
【25题答案】
【答案】（1）
（2）；证明见解析
（3）或

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