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2024-2025 学年广东省东莞市翰林高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2i+1.已知复数 = 1+i (i 为虚数单位)，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知直线 1， 2，平面 ， 1// 2， 1// ，那么 2与平面 的关系是( )
A. 2// B. 2 ⊥ C. 2// 或 2 D. 2与 相交
3.下列叙述中正确的是( )
A.已知向量 ， ，且 // ，则 与 的方向相同或相反
B.若| | = | |，则 =
C.若 // ， // ，则 //
D. 对任一非零向量 ， 是一个单位向量
4.已知在“斜二测”画法下， 的直观图是一个边长为 4 的正三角形，则 的面积为( )
A. 6 B. 8 6 C. 16 6 D. 4 3
5.下列四个正方体中， ， ， 为所在棱的中点， ， ， 为正方体的三个顶点，则能得出平面 //平面
的是( )
A. B.
C. D.
6.已知 1， 2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( )
A. = 0， = 1 2 B. = 3 1 3 2， = 1 2
C. = 1 2 2， = 1 + 2 2 D. = 1 2 2， = 2 1 4 2
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7 2π.已知某圆锥的侧面积为 4π，其侧面展开图是一个圆心角为 3 的扇形，则该圆锥的底面半径为( )
A. 33 B.
2 3 C. 3 D. 4 33 3
8.已知复数 1 = 2 + i 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，若复平面内满足 1 = +
的点 的集合为图形 ，则 围成的面积为( )
A. π B. 16π C. 25π D. 81π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1, 2), = (1,3)，则下列结论正确的是( )
A. = (0, 5) B. | + | = 5
C.向量 与 的夹角为4 D.若 在
1 3上的投影向量为 2 , 2
10.对于 ，有如下判断，其中正确的判断是( )
A.若sin2 + sin2 < sin2 ， 是钝角三角形
B.若 > ，则 sin > sin
C.若 = 8, = 10, = 60°，则符合条件的 有两个
D.在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积
11.在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1中，下列说法正确的是( )
A. 1 ⊥
B.直线 1与平面 1 1 所成的角为 30°
C. 16 2三棱锥 1 1 的体积为 3
D. 是 1 1的中点，点 是侧面 1 1内的动点．若 //平面 1 ，则 的最大值为 4 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.化简 + =
13.已知复数 在复平面内对应的点在射线 = 2 ( ≥ 0)上，且| | = 5，则复数 的虚部为 ．
14.有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 的铁球，并注入水，使水
面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,2)， = ( 3,2)．
(1)若 + 2 与 + 垂直，求实数 的值；
(2)若 + 2 与 2 4 的夹角为钝角，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
在 3中，角 , , 的对边分别为 , , ，若 sin = 3 cos ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 4, + = 6，求 的面积．
17.(本小题 15 分)
已知复数 = 2 1 + ( 1)i( ∈ )
(1)若复数 为纯虚数，求实数 的值；
(2)已知 3 + 2i 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，其中 ， ∈ R，求 + 的值．
18.(本小题 17 分)
已知四棱锥 中， ⊥底面 ， /\ !/ ， = = 1，∠ = 120°， = 3，∠ = 90°．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
常用测量距离的方式有 3 种．设 1, 1 , 2, 2 ，定义欧几里得距离 ( , ) = 2 21 2 + 1 2 ，
定义曼哈顿距离 ( , ) = 1 2 + 1 2 ，定义余弦距离 ( , ) = 1 cos( , )，其中 cos( , ) =
cos , ( 为坐标原点)．
(1)若 (1,2), (2,1)，求 , 之间的欧几里得距离 ( , )和余弦距离 ( , )；
(2)若点 ( , )在函数 = 3 的图象上且 ∈ ，点 的坐标为(1,27)，求 ( , )的最小值；
(3)若 4 2, 2 , 1, 33 ，求 ( , )的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0
13. 2
14.3 15
15.解：(1)因为 = (1,2)， = ( 3,2)，
所以 + 2 = ( 6,2 + 4)， + = ( 2,4)，
因为 + 2 与 + 垂直，所以 + 2 + = 0，
即 2( 6) + 4(2 + 4) = 0 14，解得 = 3．
(2) + 2 = ( 6,2 + 4)，2 4 = (14, 4)，
因为 + 2 与 2 4 的夹角为钝角，
所以 + 2 2 4 < 0，
即 14( 6) 4(2 + 4) < 0 < 50，解得 3，
当 + 2 与 2 4 平行时，
4( 6) 14(2 + 4) = 0，解得 = 1，此时 + 2 与 2 4 夹角为180 ，
故实数 的取值范围为( ∞, 1) ∪ 1, 503 ．
16.解：(1)由 sin = 3 33 cos 和正弦定理可得，sin sin = 3 sin cos ，
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因 sin ≠ 0 3，故得 sin = 3 cos ，即 tan =
3
3 ，
因 ∈ (0, π) = π，故 6；
(2)由余弦定理， 2 = 2 + 2 2 cos ，代值整理可得，( + )2 (2 + 3) = 16，
又 + = 6，代入解得， = 202+ 3 = 20(2 3)，
= 1 sin = 1于是， 的面积为 2 4 × 20(2 3) = 10 5 3．
2
17.解：(1)若复数 为纯虚数，则 1 = 0，解得 = 1．
1 ≠ 0
(2)已知 3 + 2i 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，
则 3 2i 也是方程的根，
3 + 2i + 3 2i = 6 =
所以 3 + 2i × 3 2i = 13 = ,
所以 = 6, = 13, + = 19．
18.解：(1)因为 ⊥底面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
又因为∠ = 90°，即 ⊥ ，
∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)过 作 ⊥ 于 ，连接 ，
因为 ⊥底面 ， , 平面 ，则 ⊥ , ⊥ ，
∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
所以直线 与平面 所成的角为∠ ，
因为 = = 1， // ，∠ = 120°，
则∠ = 60°， 是等边三角形，可得 = 1，
又因为 = 3，在 Rt 中， = 2，Rt 中求得 = 32 ，
sin∠ = = 3所以 4 ，
3
即直线 与平面 所成的角的正弦值为 4 ．
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19.解：(1)因为 (1,2), (2,1)，则 = (1,2), = (2,1)，
所以 ( , ) = (1 2)2 + (2 1)2 = 2，
又因为 cos( , ) = cos , = ==
4
，
5
所以 ( , ) = 1 cos( , ) = 1 4 15 = 5．
(2)因为点 ( , )在函数 = 3 的图象上且 ∈ ，
即 , 3 ，且点 的坐标为(1,27)，
3 + 28, ≤ 1
故 ( , ) = | 1| + 3 27 = 3 + 26,1 < < 3 ,
3 + 28, ≥ 3
当 ≤ 1 时，则 ( , ) = 3 + 28，
因为函数 = 3 + 28 在( ∞,1]上单调递减，
所以 ( , ) ≥ 3 1 + 28 = 24，当且仅当 = 1 时取等号；
当 1 < < 3 时，则 ( , ) = 3 + 26，
且 ∈ ，则 = 2，代入可得 2 32 + 26 = 19；
当 ≥ 3 时，则 ( , ) = 3 + 28，
因为函数 = 3 + 28 在[3, + ∞)上单调递增，
所以 ( , ) ≥ 33 + 3 28 = 2，当且仅当 = 3 时取等号．
综上可知， ( , )的最小值为 2．
(3) 3因为 = 4 2, 2 , = 1, 3 ，
4 2+ 3( 2)
则 cos( , ) = 3 = 3 4 2 3 + 2 3 ，
2×2 4 3 33 3
令 4 2 33 +
2
3 3 = ，则 4
2 = 33
2 3
3 + ，
即 = 4 2 = 3与 3
2 3
3 + 有交点，
可知半圆( 2)2 + 2 = 4( ≥ 0) 3 2 3与直线 = 3 3 + 有交点，
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如图，先计算直线与半圆相切和经过点(4,0)时的情况．
3 2 3
由圆心(2,0)到直线 3 3 + = 0 =
| | = 2 =± 4 3的距离 2 3 ，解得 3 ，
3
4 3
由图知此时 > 0，即 = 3 ；
= 3又由 3
2 3
3 + ，代入点(4,0)
2 3
，解得， = 3 ．
2 4
由图知，要使两者有交点，需使 3 3 ≤ ≤ 3 3，
此时 cos( , ) = 34 ∈ 1,
1
2 ，
又因为 ( , ) = 1 cos( , )，则 ( , ) ∈ 12 , 2 ；
所以 ( , ) 1的取值范围是 2 , 2 ．
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