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2024-2025 学年江苏省无锡市玉祁高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足(1 ) = (其中 为虚数单位)，则| | =( )
A. 1 B. 22 2 C. 1 D. 2
2.设 与 是两个不共线向量，且向量 + 与 2 共线，则 =( )
A. 0 B. 12 C. 2 D.
1
2
3.如图，在 中，设 = ， = ，若点 在 上，且 = 2 ，则 =( )
A. 2 B. 2 + C. 1 + D. 1 3 3 3 3
4 π.若圆锥的母线长为 1，其侧面展开图的面积为2，则这个圆锥的体积为( )
A. 324 π B.
3
12 π C.
3
6 π D.
3
3 π
5.设有两条不同的直线 ， 和两个不同的平面 ， ，则下列命题正确的是( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 // ， // ，则 // D.若 // ， ，则 //
6.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为 ，测量小组选
取与塔底 在同一水平面内的两个测量点 和 ，现测得∠ = 105°，∠ = 45°， = 45m，在点
处测得塔顶 的仰角为 30°，则塔高 为( )
A. 15 6m B. 15 22 m C. 45 6m D.
45 2
2 m
7.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 2sin = sin( )，则角 的最大值是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
8.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”(汉唐之间出现的十部古算书)中非常重要的一
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部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵” 1 1 1的所有
顶点都在球 的球面上，且 = = 1.若球 的表面积为 4π，则这个三棱柱的表面积是( )
A. 2 + 2 2 B. 2 2 C. 3 + 2 2 D. 3 + 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,2), = ( 2,2), = (4, )，则下列说法正确的是( )
A. 的相反向量是 B.若 + ⊥ ，则 = 2
C. 在 1 1上的投影向量为 , D.若 + 2 2
// ，则 = 1
10.已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，下面四个结论正确的是( )
A.若 cos = cos ，则 为等腰三角形
B.在锐角 中，不等式 sin > cos 恒成立
C. π若 = 3， = 2 3，且 有两解，则 的取值范围是 3,2 3
D.若∠ = 120°，∠ 的平分线交 于点 ， = 1，则 4 + 的最小值为 9
11.如图，在正四棱锥 中， = = 2， ， ， 分别是 ， ， 的中点，则( )
A. //
B.平面 //平面
C. 2三棱锥 的体积为3
D.四棱锥 的外接球的表面积为 8π
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如下图， ′ ′ ′是 用“斜二测画法”画出的直观图，其中 ′ ′ = ′ ′ = 1， ′ ′ = 3，2
那么 的周长是 ．
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13.已知向量 , ，且 = 1, = 2 2, 2 = 2 5，则向量 与 的夹角为 ．
14.已知圆锥底面圆的直径为 2，高为 3，在该圆锥内放置一个棱长为 的正四面体，并且正四面体在该几
何体内可以任意转动，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = + 4i, 2 = 4 + 3i, i 为虚数单位，其中 是实数．
(1) 若 1 是实数，求 的值；2
(2)若复数 1 2在复平面内对应的点在第二象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , .已知 sin2 = 3sin ．
(1)求 ；
(2)若 = 4，且 的面积为 2 3，求 的周长．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为梯形，其中 // ，且 = 2 ，点 为棱 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 为 上的动点， 为线段 的中点，试判断直线 与平面 的位置关系，并给出证明．
18.(本小题 17 分)
已知 的内角 ， 3 sin sin 3 2 ， 的对边为 ， ， ，且 sin = + ．
(1)求 sin ；
(2)若 16的面积为 3 2；已知 为 的中点，求 底边 上中线 长的最小值；
19.(本小题 17 分)
如图，圆 的半径为 3，其中 ， 为圆 上两点．
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(1)若 cos∠ = 1，当 为何值时， + 2 与 3
垂直？
(2) 2若 为 的重心，直线 过点 交边 于点 ，交边 于点 ，且 = , = ，求 + + 3
最小值．
(3)若 + 的最小值为 1，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.3π4
14.2 2/23 3 2
15. (1) 1 = +4i = +4i 4 3i 4 +12+(16 3 )i【详解】 2 4+3i 4+3i 4 3i = 25 ，

因为 1 是实数，则 16 3 = 0, ∴ =
16
3．2
(2) 1 2 = + 4i 4 3i = 4 3 i + 16i + 12 = (4 + 12) + (16 3 )i，
4 + 12 < 0
< 3
因为复数 1 2在复平面内对应的点在第二象限，则 1616 3 > 0 < < 3,3
故 的取值范围为( ∞, 3)．
16.【详解】(1)由 sin2 = 3sin ，得 2sin cos = 3sin ，
在 中，sin ≠ 0, ∴ cos = 32 ，
∈ 0, π , ∴ = π在 中， 6．
(2) 1 1 1 = 2 sin = 2 × × 4 × 2 = 2 3, ∴ = 2 3，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 12 + 16 2 × 2 3 × 4 × 32 = 4，
∴ = 2，∴ + + = 2 3 + 4 + 2 = 6 + 2 3，
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∴△ 的周长为 6 + 2 3．
17.【详解】(1)如图，取 为线段 的中点，连接 ,
因为 为线段 的中点，
所以 = 12 = ．
又 // ，
所以，四边形 为平行四边形， // ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以有 //平面 ．
又点 为棱 的中点，
所以有 // ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以有 //平面 ．
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 //平面 ．
又 平面 ，
所以有 //平面 ．
(2) //平面
由(1)知，当 为线段 的中点时，有平面 //平面 ．
因为 为 上的动点， 平面 ，
所以， 平面 ，
所以， //平面 ．
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18. (1) 3( )【详解】 由正弦定理，可得 =
3 2 2 2 2 2
+ ，即 + = 3 ，
2 2 2
故 cos = + 1 π2 = 3，因为 0 < < π，所以 0 < < 2，
所以 sin = 1 cos2 = 1 19 =
2 2
3 ；
(2) 2 2 16由(1)知 sin = 3 ，因为 的面积为 3 2，
1
所以2 sin =
16 2
3 ，解得 = 16，
1因为 为 的中点，所以 = 2 +
，
2 1 2 2 2
所以 = 4
+ = 1 4 + 2
+ = 1 24 + 2 cos +
2
= 1 24 +
2 + 2 ≥ 1 2 1 8 323 4 2 + 3 = 4 × 3 = 3，
当且仅当 = = 4 时，等号成立，所以 ≥ 4 63 ，
4 6
所以| |的最小值为 3 ．
19.【详解】(1)因为 = = 3, cos∠ = 13，
所以由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 × × cos∠ ，即 2 2 = 0，所以 = 2．
若 + 2 与 垂直，则 + 2 = 0，
所以
2
+ (2 1) 2
2
= 0 1，所以 9 + (2 1) × 2 × 3 × 3 8 = 0，
解得 = 10 1013，即 =

13时， + 2 与
垂直；
(2)因为 为 2 1的重心，所以 = + = 13 2 3
+ 1 3 ，
又因为 = , = ，所以 = 1 + 1 = 1 13 3 3 + 3
，
由于 , , 三点共线，所以存在实数 使得 = ，所以 =
化简为 = (1 ) + 1 1 1 1，所以3 + 3 = 1，所以 + = 3．
显然 > 0, > 0，则 + = 13 ( + )(
1 + 1 1 1 4 ) = 3 (2 + + ) ≥ 3 (2 + 2 × ) = 3，
= = = 2当且仅当 时，即 3时，取最值．
则 + + 23的最小值为 2．
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1
2

(3)设 = , 与 的夹角为 ，在 中，cos =

，
1
所以
| |
= | || |cos = | || | 2 = 1 | |2，
| | 2
又 + = ( + )2 =
2
+ 2 + 2
2 2 = 9+ + 2
2
2 2
= 9 + 2 + 2 2 = 2 + 12 + 9

4 ，
1
所以当 = 时， +
2 2
2 有最小值 9

4 ，所以 9 4 = 1，解得 = 4 2，
即 + 取最小值 1 时， = 4 2．
【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形，向量垂直和数量积的关系，向量的线性运算和共线
的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题
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