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2024-2025 学年河北省承德市第八中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( 2,4)， = (2,1)，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.已知圆台的上下底面半径分别为 1 和 2，侧面积为 3 5π，则该圆台的体积为( )
A. 8π 14π3 B. 3 C. 5π D.
16π
3
3 π 6.已知 cos + 3 = 6 ，则 cos 2 +
2π
3 =( )
A. 35 B.
3
5 C.
2
3 D.
2
3
4.已知函数 ( ) = 4cos 2 + π4 ( > 0)在[0, π]上有且仅有 2 个零点，则 的取值范围为( )
A. 3 , 5 B. 7 , 11 5 9 7 114 4 4 4 C. 8 , 8 D. 8 , 8
5 2.如图，在 中， 是边 的中点， 是 上一点，且 = 3
+ ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 26 3 2 5
6.如图， ′ ′ ′为水平放置的 的直观图， ′ ′ ′的面积为 2，那么 的面积为( )
A. 24
2 B. 2 22 C. 2 2
2 D. 4 2 2
7.已知函数 ( ) = sin( ), 0 < < 9 π，将 = ( )的图象上所有点向左平移6个单位长度得到函数 = ( )
π
的图象，若函数 ( )在区间 0, 6 上单调递增，则 的取值范围为( )
A. (0,4] B. 0, 32 C. (0,2] D. (0,1]
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8.如图，有三个相同的正方形相接，若∠ = ，∠ = ，则 + =( )
A. π π π 5π6 B. 4 C. 3 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = cos( + ) + ( > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如下图所示，则( )
A. ( ) = 3cos 4 + π6 + 1
B. π16 , 1 是 ( )的一个对称中心
C. ( ) 5π π π π的单调递增区间为 16 + 2 , 16 + 2 ( ∈ )
D. 5 π若实数 1， 2满足 1 = 2 = 2，则 1 2 的最小值为6
10.已知向量 = ( 1,2)， = ( , 2)，其中 ∈ ，下列说法正确的是( )
A.若 // ，则 = 23
B.若 + ⊥ ，则 = 5
C.若 与 的夹角为钝角，则 < 4
D.若 = 2，向量 在 方向上的投影为 1
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数
学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，
得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知 = 2，则关于如图半正多面体的下
列说法中，正确的有( )
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A. 与 所成的角为60
B.该半正多面体过 、 、 三点的截面面积为 3 3
C. 16该半正多面体的体积为 3
D.该半正多面体的顶点数 、面数 、棱数 满足关系式 + = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 ， 是平面内不共线的一组基底， = 3 + ， = 2 + 4 ， = 4 2 ，若 ， ， 三点共
线，则实数 = ．
13.从一个底面半径和高都是 的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图
所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为 ，并且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面面积
为 ．
14.如图所示，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 = sin( + ) + ( > 0, > 0)，
则 8 时的温度大约为 ℃. (精确到 1 ℃)
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
3
已知函数 ( ) = 2 sin2 3cos
2 + 3 12 ．
(1)求函数 = ( )的单调递增区间及对称中心；
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(2)将函数 = ( ) π 1的图象向右平移12个单位长度，再向下平移2个单位长度得到函数 = ( )的图象，求函
= ( ) π π数 在区间 3 , 2 上的值域．
16.(本小题 15 分)
已知平面向量 ， ， ，满足 = (1, 3)，| | = 2，| | = 1．
(1)若 与 共线，求向量 的坐标；
(2)若(2 + ) ⊥ ( 3 )，求向量 ， 的夹角．
17.(本小题 15 分)
已知正三棱锥 ，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱
锥的底面上，若正三棱锥的高为 15，底面边长为 12，内接正三棱柱的侧面积为 120．
(1)求三棱柱的高；
(2)求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比．
18.(本小题 17 分)
π
已知函数 ( ) = 2 3sin(2 6 ) + 2
(1)求 ( )的最小正周期和单调递增区间；
(2)求 ( ) π在区间 6 ,
π
4 上的最值，并求出取得最值时 的值；
(3) π π若不等式 2( ) 2 ( ) + 3 ≥ 0 在区间 ∈ 12 , 4 上恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且cos2 + sin2 = 2 cos2 sin sin ．
(1)求角 ；
(2)若∠ 的角平分线交 于点 ， = 3， = 4，求 ；
(3)若 的外接圆的半径为 3，求 2 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.13 13 /4 3
13.π 2 2
14.13
15. 3 3 1【详解】(1)函数 ( ) = 22 sin2 3cos + 2
= 3 sin2 3 1+cos2 + 3 1 = 3 3 sin2 1 cos2 1 = 3sin 2 π2 2 2 2 2 2 6
1
2，
∴ ( ) = 3sin 2 π 16 2．
π π π π π
令 2 + 2 π < 2 6 < 2 + 2 π， ∈ ，得 6 + π < < 3 + π， ∈ ，
π π
即函数的单调递增区间为 6 + π, 3 + π ( ∈ ).
π
令 2 6 = π， ∈ ，得 =
π π
2 + 12， ∈ ，
π π
所以函数的对称中心为 2 + 12 ,
1
2 ( ∈ ).
(2) π将函数 ( )的图象向右平移12个单位长度，
= 3sin 2 π π 1可得 12 6 2 = 3sin 2
π 1
3 2的图象；
1 π
再向下平移2个单位长度得到函数 ( ) = 3sin 2 3 1 的图象．
∈ π , π因为 3 2 ，所以 2
π π 2π 3 π
3 ∈ 3 , 3 ，所以 2 < sin 2 3 ≤ 1，
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1
所以2 < 3sin 2
π
3 1 ≤ 3 1，即 = ( )
1
的值域为 2 , 3 1 ．
16.【详解】(1)设 = ( , )，又 与 共线，则 = 且 ∈ R，而| | = 2，
=
= 1 = 1
所以{ = 3 ，可得{
2 2 = 3
或{ = 3．
+ = 4
故 = (1, 3)或 = ( 1, 3)．
(2)由(2 + ) ( 3 ) = 2 2 5 3 2 = 0，又| | = 12 + ( 3)2 = 2，| | = 1，
所以 cos < , > = 1 2，又< , > ∈ [0, ]，则< , > = 3．
17.【详解】(1)设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，如图所示：
15
则 15 =

12
= 4解得 5 (15 )
又因为正三棱柱的侧面积为 120．
所以 3 = 120
所以 = 40
解得 = 4, = 10 或 = 8, = 5
所以三棱柱的高是 10 或 5．
(2)因为面积之比等于相似比的平方，
15 2 1
所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比： 1 1 1 = 15 = 9或
1 1 1 =

15 2 4
15 = 9．
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18. 2π【详解】(1)最小正周期 = 2 = π，
2 π π π π π π令 2 ≤ 2 6 ≤ 2 π + 2 , ∈ Z，解得 π 6 ≤ ≤ π + 3 , ∈ Z，
π π π所以单调递增区间为 6 , π + 3 , ∈ Z．
(2) π π π π因为 6 , 4 6 , 3 ，所以 ( )在
π
6 ,
π
4 上单调递增，
= π π π π所以当 6时，取得最小值为 6 = 2 3sin 2 × 6 6 + 2 = 2 2 3；
当 = π4时，取得最大值为
π
4 = 2 3sin 2 ×
π π4 6 + 2 = 2 3 ×
3
2 + 2 = 5
(3)当 ∈ π π12 , 4 时， ( )为增函数，
π12 = 2 3sin 2 ×
π π
12 6 + 2 = 1，
所以 ( ) ∈ [ 1,5]，
令 = ( )，则 ∈ [ 1,5]，
不等式 2( ) 2 ( ) + 3 ≥ 0 π π在区间 12 , 4 上恒成立等价于
2 2 + 3 ≥ 0 在[ 1,5]上恒成立，
令 ( ) = 2 2 + 3 ，开口向上，对称轴为 = ，
当 ≤ 1 时， ( )在[ 1,5]上单调递增，则 ( ) 1min = ( 1) = 1 + 5 ≥ 0 ≥ 5，与 ≤ 1 矛盾，
舍去；
当 ≥ 5 时， ( )在[ 1,5]上单调递减，则 ( )min = (5) = 25 7 ≥ 0 ≤
25
7，与 ≥ 5 矛盾，舍去；
当 1 < < 5 时， ( ) 2min = ( ) = + 3 ≥ 0 0 ≤ ≤ 3，
综上 的取值范围是[0,3]．
19.【详解】(1)因为cos2 + sin2 = 2 cos2 sin sin ，
可得sin2 = 1 cos2 + 1 cos2 sin sin = sin2 + sin2 sin sin ，
2 2 2
由正弦定理得 2 = 2 + 2 ，则 cos = + 12 = 2，
且 0 < < π π，所以 = 3．
(2) π由题意可知：∠ = ∠ = 6，
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因为 = + ，
1
则2 sin∠ =
1
2 × × × sin∠ +
1
2 × × × sin∠ ，
1 3 1 1 1 1 12 3
即2 × 3 × 4 × 2 = 2 × 4 × × 2+ 2 × 3 × × 2，可得 = 7 ．
(3) 由正弦定理可得sin = sin = 2 3，
则 = 2 3sin , = 2 3sin = 2 3sin( + ) = 3sin + 3cos ，
可得 2 = 4 3sin 3sin + 3cos = 3 3sin 3cos = 6sin π6 ，
又因为 ∈ 0, 2π π π π3 ，则 6 ∈ 6 , 2 ，
可得 sin π 16 ∈ 2 , 1 ，即 2 ∈ ( 3,6)，
所以 2 的取值范围为( 3,6)．
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