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2024-2025 学年山东省淄博第十一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 2i.若复数 满足 = 2 i (i 为虚数单位)，则 的模| | =( )
A. 1 B. 55 C. 5 D.
5
3
2.cos40°cos20° sin40°sin160° =( )
A. 1 1 32 B. 2 C. 2 D.
3
2
3.已知向量 = (1, 2), = (1, 1), = (3,4).若 ⊥ ( ∈ )，则 =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 113
4.已知在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 cos + cos = 3 tan ，若 = 10，则
外接圆的面积为( )
A. 16π B. 25π C. 36π D. 49π
5.下列说法中正确的是( )
A.向量 1 = (2, 3),
1 3
2 = ( 2 , 4 )能作为平面内所有向量的一组基底
B.若 // , // ，则 //
C.若 = (3, 4) 4 3 4 3，则与 垂直的单位向量坐标为( 5 , 5 )或( 5 , 5 )
D.若 < 0，则 与 的夹角是钝角
6.长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经 900 多年风雨侵蚀，仍巍然屹
立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度 ，选取与塔底 在同一水平面内的两个测量
基点 与 ，现测得∠ = 30 ，∠ = 45 ， = 32m，在 点测得塔顶 的仰角为60 ，则塔的总高度
为( )
A. 96 32 6 m B. 96 32 3 m C. 92 32 2 m D. 92 32 3 m
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7 ∈ π 3π π π.若 4 , 4 ，6tan 4 + + 4cos 4 = 5cos2 ，则 sin2 =( )
A. 2425 B.
12 7 1
25 C. 25 D. 5
8.已知函数 ( ) = sin + cos ∈ ，则正确的是( )
A.对任意正整数 ， ( )为偶函数
B.当 = 1 3π π时， ( )的单调递增区间是 4 + π, 4 + π ∈ Z
C.当 = 4 时， ( ) 1的值域是 2 , 1
D. 5π对任意正整数 ， ( )的图象都关于直线 = 4 对称
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数 1, 2，其共轭复数分别为 1, 2，则下列选项正确的是( )
A. 1 + ∈ R B. 2 2 21 1 1 = 1 C. 1· 2 = 1 2 D. 1 = 1
10.在 中，( )
A.若 sin > sin ，则 >
B.若 sin2 = sin2 ，则 为等腰三角形
C.若 sin + cos = 0，则 为钝角三角形
D.若 , 是锐角，sin > cos ，则 为锐角三角形
11.如图所示，设 ， 是平面内相交成 ( ≠ π2 )角的两条数轴， 1， 2分别是与 ， 轴正方向同向的单位
向量，则称平面坐标系 为 斜坐标系.若 = 1 + 2，则把有序数对( , )叫做向量 的斜坐标，记
为 = ( , ). 5π在 = 6的斜坐标系中， = ( 3, 2)， = ( 2, 3)，则下列结论中正确的是( )
A. 2 = ( 3 + 4,2 2 3)
B. | | = 7
C. ⊥
D. 在 3 3方向上的投影向量为( 13 , 26 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 为复数，若| | = 1，则 + 2i 的最大值为 ．
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13.若非零向量 , 满足| | = 2| | = | + 3 |，则 , 夹角的余弦值为 ．
14.在 中， = ， 边上的中线 = 6，则 面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设函数 ( ) = ，其中向量 = (2cos , 1)， = (cos , 3sin2 )( ∈ )．
(1)求 ( )的最小值；
(2)在△ 中， ， 3 + ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ( ) = 2， = 1，△ 的面积为 2 ，求sin +sin
的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在梯形 中， // ， ⊥ ， = 2 = 4， 、 分别为 、 的中点，且 = 2，
是线段 上的一个动点．
(1)若 = + ，求 的值；
(2)求 的长；
(3)求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0,0 < < π 3 π 32 在一个周期内的图象如图所示， 0, 2 与 3 , 2 为该图象
5π
上两点，且函数 ( )的一个零点为12．
(1)求 ( )的解析式；
(2)将 = ( ) π 1的图象向左平移6个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的3，得到 =
( )的图象.令 ( ) = ( ) ( )，求 ( )的最大值，若 ( )取得最大值时 的值为 0，求 tan4 0．
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18.(本小题 17 分)
π
如图，在平面四边形 中， = 2 = 4 2，∠ = 2，∠ =
π
6．
(1)若 cos∠ = 53 ，求 的面积；
(2)若∠ = ∠ ，求 sin(∠ + 3 )的值．
19.(本小题 17 分)
3
在锐角△ 中，设角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 4，cos = 5．
(1)若 = 4，求△ 的面积；
(2) 5 3 求 cos 的值；
(3)求 + 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13. 34或 0.75
14.24
15. (1) ( ) = 2cos2 + 3sin2 = 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin(2 + 解： 由题设， 6 ) + 1，
sin(2 + 所以，当 6 ) = 1 时 ( )的最小值为 1．
(2) ( ) = 2 2sin(2 + 由 ，得： 6 ) + 1 = 2，则 sin(2 +

6 ) =
1
2，又 ∈ (0, )，
2 + ∈ ( , 13 所以 6 6 6 )，故 2 +
= 5 6 6，则 = 3．
1由 = 2 sin =
1 × 1 × × 3 32 2 = 2 ，可得： = 2．
在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos = 1 + 4 2 × 1 × 2 × 12 = 3，
所以 = 3．
= = = 3 = 2 + = 2sin +2sin 由sin sin sin 3 ，则sin +sin sin +sin = 2．
2
16. (1) , , // = 1解： 由 分别为 的中点，则 ， 2 ，
1 1
由图可得 = = 2 2
= + ，则 = 12 , =
1
2，
1
所以 = 4．
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(2)由(1)可知 = 1 1 ， = 1 2 2 2 +
，
由 ⊥ ，则 = 0，
2 2
= 1 2 +
1 2
1 2
= 1 4
1
2 = 2，
4 1可得
2
2 = 2，解得
= 2．
(3)由图可得 = + + = + + 1 = 1 4 4 +
，
= +
1 1
= (1 ) + 2
= (1 ) + 2 + +

= (1 ) 1 + 1 + 1 = 3 2 2 4 4
+ 1 2
，

1
= +
3 1 1 3 2 1 2
4 4
+ 2 =
+ 4 4 2

3 1 2= 2 216 + × 16 + 2 × 4 = 16 16 + 5 = 16
1
2 + 1，
由 0 ≤ ≤ 1，则 ∈ [1,5]．
17. 3 π 3 π解：(1)由图象过 0, 2 与 3 , 2 知 = 6为函数的对称轴，
= 5π π π所以4 12 6 = 4，即 = π，
所以 = 2π = 2π π = 2，
5π 5π 5π
又函数图象经过 12 , 0 ，所以 sin 2 × 12 + = 0，即 sin 6 + = 0，
又 0 < < π π2，所以 = 6，
3 3 π
因为图象过点 0, 2 ，所以2 = sin 6 ，解得 = 3，
所以函数解析式为 ( ) = 3sin 2 + π6 ．
(2) = ( ) π的图象向左平移6个单位长度可得 = 3sin 2 + 2 = 3cos2 ，
1
得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的3，得到 = ( ) = cos2 ，
所以 ( ) = ( ) ( ) = 3sin 2 + π6 cos2 = 3
3
2 sin2 cos2 +
1
2 cos
22
= 3 34 sin4 +
3
4 cos4 +
3 3
4 = 2 sin 4 +
π 3
6 + 4，
当 4 + π = π6 2 + 2 π, ∈ Z
π
，即 0 = 12 +
π
2 , ∈ Z 时， ( )
9
有最大值4，
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此时 tan4 0 = tan
π
3 + 2 π = tan
π
3 = 3．
18. (1) ∵ cos∠ = 5 > 0 ∴ sin∠ = 1 cos2∠ = 2解： 3 ， 3，
所以 tan∠ = sin∠ 2 2 5cos∠ = 5 = 5 ，
在 Rt ABD 中，tan∠ = = 2 2 2 2 5 = 5 = 5 ，
∴ = 10，
∴△ = 1 = 1的面积 2 2 × 10 × 2 2 = 2 5．
(2) ∵ ∠ = π 5π6，∴ ∠ + ∠ = 6，
∴ ∠ = ∠ = 5π6 ∠ ，
∴ ∠ = ∠ π6 =
2π
3 ∠ ，
在 Rt ABD 中，cos∠ = ∴ = 2 2 ， ，cos(2π3 ∠ )
在 中，由正弦定理有sin∠ = sin∠ ，
2 2 4 2
即
cos(2π
=
∠ )sin(5π ∠ ) sin∠
，
3 6
2π 5π
由积化和差公式有，cos( 3 ∠ )sin( 6 ∠ )
1 3π π
= 2 [sin( 2 2∠ ) sin( 6 )]
1 1
= 2 ( cos2∠ + 2 )
= 1 2 12 (2sin ∠ 2 )，
将此结果代入式中化简可得：4sin2∠ 2sin∠ 1 = 0，
解得 sin∠ = 5+14 (舍负)，
∴ sin(∠ + π3 ) = sin(
2π ∠ + π3 3 ) = sin(π ∠ ) = sin∠ =
5+1
4 ．
2 2 2
19.解：(1)由余弦定理 cos = + 2 = 8 =
3
5 =
24
5
结合 sin = 4 △ = 15可知， 的面积 2 sin =
1 × 242 5 × 4 ×
4 192
5 = 25
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(2) 4 因为 = 4，sin = 5，所以sin = 5，
由正弦定理 = 5sin ， = 5sin
5 3 = 25sin 15sin 所以 cos cos ，①
由于 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 4 cos + 35 5 sin ，
5 3 = 20cos +15sin 15sin 带入①式可知： cos cos = 20
(3)解法 1：
设 中点为 ，则 + = 2 = 2
= + + = +
2 2
= =
2
4
所以 + = | |2 + 2| | + 4
如下图所示，
设△ 的外接圆为圆 ，由于△ 为锐角三角形，故点 的运动轨迹为劣弧 1 2(不含端点)，由正弦定
5 5 3 3
理知圆 的半径 = 2，故 = cos = 2 × 5 = 2
设∠ = ，则π < ≤ π，由余弦定理：
25 9 5 3 17 15
= 2 + 2 2 cos = 4 + 4 2 2 2 cos = 2 2 cos ∈ 13, 4
由于函数 ( ) = 2 + 2 + 4 在 ∈ 13, 4 时单调递减， 13 = 2 13 9， (4) = 4
所以 + = | |2 + 2| | + 4 ∈ 4,2 13 9
解法 2：
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6
由余弦定理 16 = 2 + 2 5
2 + 2 = 16 + 65 ②
由定义 = cos = 35
所以 + = 2 + 2 + 6 35 5 = 16 +
12 3
5 5
设 = 16 + 125 ，
则 + = ( ) = 1 24 + + 4
由正弦定理：
4 3
+ = 5sin + 5sin = 5sin + 5sin( + ) = 5sin + 5 5 cos + 5 sin
= 8sin + 4cos = 4 5sin( + )
π
其中锐角 的终边经过点(2,1)，由锐角三角形可知 ∈ 2 ,
π
2 + ∈
π π
2 + , 2 +
注意到 sin π2 + = sin
π
2 + =
2 5
5 ，
2 5
所以 sin( + ) ∈ 5 , 1
所以 + ∈ 8,4 5 , 5②式变形为 = ( + )216 5，故 ∈ (15,20]
从而 ∈ 2 13, 8 ,
此时函数 ( )单调递减，而 2 13 = 2 13 9， (8) = 4
所以 + = ( ) ∈ 4,2 13 9
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