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2024-2025 学年辽宁省县域重点高中高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = 3 在区间[8,27]上的平均变化率为( )
A. 1 B. 1 C. 1 18 19 D. 27
2.在等比数列 中，若 3 2 = 1， 4 3 = 4，则 7 6 =( )
A. 16 B. 32 C. 64 D. 256
3.某超市购进一批食盐，每袋食盐的质量 (单位：克)服从正态分布 400, 2 ( > 0)，若 ( < 395) = 0.01，
则 | 400| ≤ 5 =( )
A. 0.98 B. 0.985 C. 0.99 D. 0.995
4.已知数列 2，3，2 7， 65，…，则 1001是该数列的( )
A.第 8 项 B.第 9 项 C.第 10 项 D.第 11 项
5.某林业局计划将公园内一块梯形状空地栽种花卉，从梯形的上底边向下底边共栽种 13 排，上底边第一排
栽种花卉 10 株，第 排栽种花卉数目比第 1 排多 + 1 2 ≤ ≤ 13, ∈ N 株，则第 13 排栽种花卉( )
A. 112 株 B. 102 株 C. 92 株 D. 82 株
6.已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为 1: 2: 2，高一、高二年级学生的近视率分别为 25%，
35%.若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为 40%，则高三年级学生的近视率为( )
A. 54.5% B. 52.5% C. 50.5% D. 50.25%
7.已知有 10 名学生参加 知识竞赛的初赛，初赛共设置 3 道试题，且每道试题必须作答，至少答对 2 道
2 2 1
试题，才能进入复赛，每人答对这 3 道试题的概率分别为3，3，2，3 道试题答对与否互不影响．记 人进入
复赛的概率为 ( )，当 ( )取得最大值时， =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8 2
2
.已知函数 ( ) = 33 的导函数为 ( )，按下列操作构造等边三角形

1 ∈ N ：边 1 在 轴
的非负半轴上， 0与原点 重合，点 在 ( )的图象上，则 1 的面积为( )
A. 3 2 B. 3 2 C. 4 3 29 4 9 D. 3
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
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A. e2025
′
= e2025
′
B. ln ln 1 1 = ( 1)2
C. cos 3 π
′
6 = 3sin 3
π
6
D. (2 + 1)2 2 ′ = (2 + 1) 2 4 + (2 + 1)ln2
10.设 2， 是两个随机事件，若 ( ) = 3， ( ) =
1
4， = 2 ，则下列结论正确的是( )
A. = 23 B.事件 ， 互相独立

C. ( ∪ ) = 1112 D. > 1
11 1.已知数列 满足 1 = 2， = 2( + 1) +1 ∈ N ，则( )
A. 是递减数列
B. = 2
C. 1当 2 2 的前 项和取得最小值时， = 6
D. 1 1对任意 ∈ N ，不等式( 1) ≤ +1，则 4 ≤ ≤ 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等差数列 中，若 3 5 = 3 + 7 + 8， 2 = 11，则公差 = ．
13 2 (1 ) (1+ ).已知函数 ( ) = e ，则 lim 4 = ． →0
14.甲、乙二人玩抛掷两枚质地均匀的硬币的游戏，约定如下：甲、乙中先由一人抛掷，直到出现两枚硬币
都正面向上或已经抛掷 10 次，则换另一人抛掷.若甲先抛掷，抛掷 次换为乙抛掷，则 的数学期望
( ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ln ，且
′ e = 2 + 2e2．
(1)求 的值；
(2) 1若曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线与函数 = 25 + 的图象也相切，求 的值．
16.(本小题 15 分)
某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率 %与土壤的湿度 %的相关数据如下表：
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4045505560
5056647283
(1)求 关于 的相关系数 (精确到 0.001)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系？
(2)求 关于 的回归直线方程，并预测当土壤的湿度为 70%时，种子的发芽率 %的值．
参考公式及数据：对于一组数据 1, 1 ， 2, 2 ，…， , ，回归直线方程 = + 的斜率和截距的

最小二乘估计公式分别为 = =1 2 2 ， = ，相关系数 =
=1 5 =1 = =1 2 2 =1 =1 2
2
16660，5 =1
2
5
2 = 250 5 2 2， =1 5 = 680， 170000 ≈ 412．
17.(本小题 15 分)
已知数列 的各项均为正整数，其前 项和为 2 ，且 2 = + ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 1 = · ，数列 的前 项和为 ，证明： <
1
．
+2 2
18.(本小题 17 分)
某医疗机构为了解某种地方性疾病与饮食习惯间的关系(饮食习惯分为良好与不良)，从该地区随机抽取
300 名居民，得到如下 2 × 2 列联表：
饮食习惯
合计
良好不良
患有这种地方性疾病 40
未患有这种地方性疾病200
合计 220
(1)请补充上面 2 × 2 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有
关联？
(2)通过抽血化验的方式进行这种地方性疾病的检验，随机地将 个人的血样混合再化验，如果混管血样呈
阴性，说明这 个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明这 个人中至少一人血样呈阳性，需要对每个人
再分别化验一次．已知 5 人的混管血样呈阳性．
(ⅰ)若这 5 人中有 2 人患有这种地方性疾病，现将这 5 人每个人的血样逐个化验，直到查出患有这种地方性
疾病的 2 人为止，设 表示所需化验次数，求 的分布列与数学期望；
(ⅱ)若这 5 人中有 1 人患有这种地方性疾病，从这 5 人中取出 3 人的血样混合一起化验，若呈阳性，则对这
3 人的血样再逐一化验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止；若呈阴性，则对剩下 2 人的血样逐一化
验，直到查出患有这种地方性疾病的人为止．设 表示所需化验次数，求 ( )．
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2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．

= 2 0.1 0.01 0.001
≥
2.7066.63510.828
19.(本小题 17 分)
在数列 ≥ 3, ∈ N 中，若存在 3 ≤ ≤ , ∈ N 项： 1， 2，…， 1 < 2 < < ，令 =
( = 1,2,3, , )， < ， , ∈ 1,2, , ，都有 > ，则称 为 的“ —子减列”．
(1)在 4 项数列 中， 1 = 3， 2 = 8， 3 = 2， 4 = 1，求出 的所有“3—子减列” ；
(2)已知数列 满足 > 0 = 1
3 ，且 ， +11 = 2． +1
(ⅰ)求数列 的通项公式；
(ⅱ)若数列 只有 11 项，且 为 的“ —子减列”， 中任意 3 项都不构成等比数列，求 的所有
取值构成的集合．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13. e+12
10
14.4 4 × 34
15. 2【详解】(1)因为 ′( ) = ln + 1 + ′ 2，所以 e = 2 + e2 = 2 + e2，
解得 = 2．
(2)由(1) 2可得 ′( ) = ln + 1 + ′ 2，则 (1) = 3，又 (1) = 2，
所以曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 + 2 = 3( 1)，即 = 3 5，
= 3 5 1
联立 = 1 2 ，得5
2 + ( 3) + 5 = 0，
5 +
1
由题意可得 = ( 3)2 4 × 5 × 5 = 0，解得 = 1 或 = 5，
所以 的值为 1 或 5．
16. 1【详解】(1)由题， = 5 × (40 + 45 + 50 + 55 + 60) = 50
1
， = 5 × (50 + 56 + 64 + 72 + 83) = 65，
16660 5×50×65 410
所以 关于 的相关系数 = 250×680 ≈ 412 ≈ 0.995，
所以 与 具有较强的线性相关关系．
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(2)由(1)， = 410 = 41250 25，则 = 65
41
25 × 50 = 17，
41
所以 关于 的回归直线方程为 = 25 17，
当 = 70 41时， = 25 × 70 17 = 97.8，
所以当土壤的湿度为 70%时，种子的发芽率 %的预测值为 97.8％．
17.【详解】(1)由 2 = 2 + ，当 ≥ 2 时，2 = 2 1 1 + 1，
两式相减得 2 = 2 2 2 2 1 + 1，整理得 1 = 1，
又数列 的各项均为正整数，则 1 = 1，即 1 = 1， ≥ 2，
又 2 21 = 1 + 1，解得 1 = 1，
所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
所以 的通项公式为 = ．
(2) (1) = (1+ ) = 2 = 1 1由 可知 2 ，所以 ( +1)( +2) ( +1) ( +1)( +2)，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = 2 6 + 6 12 + 12 20 + + ( +1) ( +1)( +2) = 2 ( +1)( +2) < 2．
18.【详解】(1)
饮食习惯
合计
良好 不良
患有这种地方性疾病 20 40 60
未患有这种地方性疾病 200 40 240
合计 220 80 300
2 = 300×(20×40 40×200)
2 675
60×240×220×80 = 11 ≈ 61.364 > 10.828，
所以有 99.9％的把握认为居民是否患有这种地方性疾病与饮食习惯有关联．
(2)( ) 的可能取值为 2,3,4，
( = 2) = 2 × 15 4 =
1
10，
( = 3) = 2 × 3 3 2 1 3 2 1 35 4+ 5 × 4 × 3 + 5 × 4 × 3 = 10，
( = 4) = 2 × 3 × 2 3 25 4 3 + 5 × 4 ×
2 + 33 5 ×
2 × 24 3 ×
1
2+
1
2 =
3
5，
所以 的分布列为
第 6页，共 8页

2 3 4
1 3 3
10 10 5
所以 ( ) = 2 × 110 + 3 ×
3 3 7
10 + 4 × 5 = 2．
( ) 的可能取值为 2,3，
2 1 3
( = 2) = C4 C1 × 1 + C4 × 1+ 1 = 3，
C3 35 3 C5 2 2 5
2 1
( = 3) = C4 C1 × 2 × 1 1 2
C35 3 2
+ 2 = 5，
所以 ( ) = 2 × 35 + 3 ×
2 12
5 = 5，
12 2 2 ( ) = 2 5 ×
3 12 2 6
5+ 3 5 × 5 = 25．
19.【详解】(1)由新定义知 的“3—子减列” 为 3,2,1 或 8,2,1．
(2)( ) 由 3 +1 = 2，得
2 2 3 2 +1 = 0，
+1
+1
整理得 3 +1 + +1 = 0，又 > 0，则 + +1 > 0，
所以 3
+1 1
+1 = 0，即 = 3，又 1 = 1，
1
所以数列 是首项为 1，公比为3的等比数列，
1
故数列 1 的通项公式为 = 3 ．
( )由( ) 1 1 1可得数列 为 1, 3 , 32 , 33 , ,
1
310，
要求出 的所有可能取值，则只需求出 的最大值即可，
2 3
又 =
1
，若
3
= 3 ，则 1, 2,
1
3成等比数列，不合题意，则
3
≤ 3 ； 1 1
1 2 1 3
若 5 = 3 ，则 3, 4 , 5成等比数列，不合题意，则
5
3
≤
3 3
；
1 4 7
又 5 ≠ 3 5 ，所以 ≤ 3 ，则
5
≤
1
，
3 1 3 1 3
1 3 1 4
同理，可得 7 ≤ 3 ，且
7 5
≠ ，所以
7
≤ 3 3
，
5 5 5
1 11 1 10
则 7 11 ≤ 1 3
，这与已知条件 =1 3
矛盾，所以 ≤ 6，
第 7页，共 8页
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
此时数列 可以为 1, 3 , 33 , 34 , 39 , 310或 1, 32 , 33 , 35 , 39 , 310或 1,
1
32 ,
1 1 1 1
36 , 37 , 39 , 310等等，其任意 3 项都不构成
等比数列，
所以 的所有取值构成的集合为 3,4,5,6 ．
第 8页，共 8页

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