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高三数学学科第五次月考
考试时间：120分钟
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．第I卷1至3页，第II卷3至6页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题纸交回．
祝各位考生考试顺利！
第I卷（共45分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ）
A. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强
B. 当时，
C. ，时，成对样本数据的相关系数满足
D. 必定满足经验回归方程
4. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递增，且曲线存在对称轴
B. 在上单调递增，且曲线存在对称中心
C. 在上单调递减，且曲线存在对称轴
D. 在上单调递减，且曲线存在对称中心
6. 已知函数最小正周期为，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 函数的最大值为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上单调递增
7. 设为双曲线右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为，且满足，则双曲线的焦距为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
8. 瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案如下图，分别记为曲线，，，，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作等边三角形，再去掉底边．记为曲线所围成图形的面积，则（ ）
A. B. C. D.
9. 欧阳南德与上官琐艾即将毕业，为了纪念美好的高中时代，二人来到南开工坊共同制作了属于他们的艺术品：该艺术品包括内外两部分，外部为一个正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“欧”、“阳”、“上”、“官”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“南”、“德”、“琐”、“艾”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒．已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为，为使内部正四面体在外部正四棱锥内（不考虑四棱锥表面厚度）可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10. 是虚数单位，复数，则_____．
11. 在的展开式中，所有项系数的和为64，其展开式中项的系数是_____．（用数字填写答案）
12. 已知抛物线，圆，过轴上一点作直线分别与和相切于，两点，其中点坐标为，则_____．
13. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球是一黑一红”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则_____；_____．
14. 在平面凸四边形中，，分别为边，上的动点，已知，，．
（1）当，分别为边，的中点时，线段的长为_____；
（2）当时，线段长的最小值为_____．
15. 已知方程恰有4个不同实数解，则正实数的取值范围是_____．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若，，求边上高；
（3）若，求的值．
17. 如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是的中点，是与的交点．
（1）证明：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求三棱锥的体积．
18. 设椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为．已知点是椭圆上一点，当直线经过点时，原点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．
19. 已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，
（1）求与的通项公式；
（2）设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求；
（3）设数列满足，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最大值．
20. 已知函数，.设为的导函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：有且仅有一个极值点；
（3）判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由.
高三数学学科第五次月考
考试时间：120分钟
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．第I卷1至3页，第II卷3至6页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题纸交回．
祝各位考生考试顺利！
第I卷（共45分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】ACD
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】D
第II卷（共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ①. ##0.6 ②. ##0.7
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
【15题答案】
【答案】
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【20题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）函数的所有零点之和大于，理由见解析

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