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2025河南省平顶山市鲁山县部分中学九年级4月联考数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1.本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100 分钟。
2.请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.在 ,0,-2,- 这四个数中，最小的数是 ( )
A.0 B. C. -2 D.
2.下列关于天气的图标是轴对称图形的是 ( )
3.下列运算正确的是 ( )
4.如图,在△ACD 和△CBE中,CD =BE,若点 C 是线段AB 的中点,则下列哪个条件不能使△ACD 和△CBE全等 ( )
A.∠ACD=∠ABE B.∠CAD=∠BCE
C. AD=CE D. CD∥BE
5.秋冬换季，妈妈为小圆购买了3套不同颜色的服装挂在衣橱中，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 ( )
C. D.
6.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( )
A. a+2b+2 B.1a-11<1b-11 C. lal1bl D. a+b0
7.把多项式 进行配方，结果为 ( )
8.已知P(x ,y ),Q(x ,y )是函数. 图象上的两点，当 时，y 与y 的大小关系是 ( )
D.无法确定
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD和AE分别为ABC的高和角平分线,CD和AE 相交于点F,已知AB:AC=5:3,则CF:FD= ( )
A.5:3 B.5:4 C.4:3 D.2:1
10.手工课上，小明想借助如图所示的四边形纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，经测量可得这张四边形纸片中AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,∠B为直角,则该圆的半径为 ( )
二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
11.分解因式：
12.甲、乙、丙三名同学进行中考跳绳训练，成绩(单位：分)如表所示：
甲 9.7 9.7 9.6 9.7 9.7
乙 9.9 9.8 10 9.4 9.3
丙 10 9.8 9.6 9.5 9.5
则三名同学中成绩最稳定的是 .
13.如图,在△ABC中,AD⊥BC 于点 D,点 E 是边 BC 的中点,AD =8,S△ABC =48,则 BE 的长为 .
14.如图，点B 是⊙A内一点，以B 点为圆心、BA长为半径作⊙B，两圆相交于C，D 两点，若⊙A的半径为2，∠CAD=90°，则两圆重合部分的面积是 .
15.在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD 沿直线l翻折至AB 所在直线，对应点分别为C',D',若AC':AB:BC=1:3:7,则cos∠ABC= .
三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(10分)(1)计算:
(2)化简:
17.(8分)已知. 点P 为OA 上一点.
(1)用尺规作图的方法找一点M，使得OM平分∠AOB，且
(2)请写出PM与OB 之间的位置关系，并说明理由.
18.(8分)九年级一班随机调查了本学期部分学生每周户外活动时间的情况，收集并整理数据后得到如下统计表和统计图.
时间/小时 4 5 6 7
人数 6 a 9 7
(1)本次调查的学生人数为 人，a= ；
(2)一班的班长在随后又补查了本班另外几人每周户外活动时间的情况，发现这几人每周户外活动时间恰好相同.若将其与之前的数据合并，班长发现活动时间的众数变成了另外一个数，则班长补查的人数最少为 人；
(3)已知该校九年级共有900名学生，请估计九年级本学期每周户外活动是4小时的学生人数.
19.(9分)洛阳电视塔的塔基为钢混凝土结构，塔身为钢结构，塔基分为四层，而塔身在160米至181.30米的高度处设有上下两层塔楼，每层均分为四层.其中，上塔楼呈圆形玻璃透明体，下塔楼则由九个莲花瓣组成.塔基和塔身的可使用面积共有11层，总面积接近1万平方米.洛阳电视塔占地面积为1933.4平方米，是一座集广播电视发射和商务开发为一体的综合性建筑设施.游学小组的同学想利用学过的数学知识测量洛阳电视塔的高度，已知CD为电视塔，和CD 处于同一水平面上有一高楼AB，他们在楼AB 底端B 点测得 C 的仰角为 在顶端A点测得C的仰角为 且 请利用学过的知识帮助这个数学小组求 CD 的高度(结果精确到1m).
20.(9分)九年级一班为了丰富同学们的课余生活，专门购买了羽毛球拍和乒乓球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍的单价贵75 元，该班用700 元购买的羽毛球拍比用700 元购买的乒乓球拍的数量少3副.
(1)两种球拍的单价分别是多少
(2)该班准备再次购买羽毛球拍和乒乓球拍共20副，根据大家的喜好，购买羽毛球拍的数量不超过乒乓球拍数量的2 倍.问购买两种球拍各多少副时费用最低 最低费用是多少
21.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，已知点A(1，4)，点B的横坐标为
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)D为x轴上一点，若 的面积为6，求点D的坐标；
(3)根据函数图象，直接写出不等式 的解集.
22.(10分)已知某抛物线的解析式为 a为实数.
(1)若该抛物线经过点(5，8)，求此抛物线的顶点坐标.
(2)如果当 1时，y的最大值为4，求a的值.
23.(11分)如图, 是以 CD为底边的等腰三角形，其中 点A 是 CD 上一个动点(点A 不与C，D重合)，连接AB，以AB 为腰作等腰三角形ABE，其中， 连接DE.
(1)如图1,当 时，求 的度数；
(2)如图1,当( 时， 的大小是否发生变化 如果不变，求 的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图2,点G在AB上,且. ，以 BG为腰构造等腰三角形GBH，使 连接EH，若 ，直接写出线段EH的取值范围.
数学答案
1. C 【解析】 ∴最小的数是--2.故选 C.
2. D
3. C
4. B
5. B 【解析】令3件上衣分别为A,B,C,对应的裤子分别为a，b，c，画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，所以它们取自同一套的概率为 故选 B.
6. D
7. C
8. B 【解析】函数 的图象开口向上，对称轴为直线 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，故选 B.
9. A 【解析】∵ AB:AC =5:3,∴ 设. AC=3x.
∵∠ACB=90°,∴BC=4x.
∴△ACD∽△ABC,
∠CAF=∠DAF,∴∠AEC=∠AFD.
∵∠AFD=∠CFE,∴∠CEF=∠CFE,
.. CE=CF.
∠ACE=∠ADF=90°,∠CAE=∠DAF,
∴△ACE∽△ADF,
故选 A.
10. A 【解析】连接AC,作∠ABC 的角平分线交AC于点 E,过点 E作EF⊥BC,如图:
∵AB=AD,BC=DC,AC=AC,
..△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,
∴点 E 到四边形ABCD个边的距离相等，在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的圆心为点E，
设半径为r,则 BF =EF =r,CF =8-r,AC =
∵∠ABC=90°=∠EFC,∴△ABC∽△EFC, 即 解得 故选 A.
11. x(x+3)(x-3)
12.甲 【解析】∵甲的成绩在9.6 和9.7 之间波动；乙的成绩在9.3和10之间波动；丙的成绩在9.5和10之间波动，成绩最稳定的是甲.故答案为甲.
13.6 【解析】∵ ∴BC=12.∵AE 是中线, 答案为6.
14.2π-2 【解析】连接BC,BD,∵ ∠CAD =90°,∴ CD 是⊙B的直径，即B，C，D三点共线，∵AC=2,∴BC= 则重叠部分的面积为 故 答 案为2π-2.
15. 或 【解析】当C'在AB之间时，如图1，
根据AC':AB:BC =1:3:7,不妨设AC' =a,AB=3a,BC=7a,则.
由翻折的性质知:∠FCD=∠FC'D',
∵ CD 沿直线l翻折至AB 所在直线，
∴∠BC'F=∠FBA,
过F作EF⊥AB 于E,
当 C'在BA 的延长线上时，如图2，
根据AC':AB:BC=1:3:7,不妨设. AB=3a,BC=7a,
则同理知：
过点 F 作AB 的垂线交于E，
故答案为
16.解:(1)原式
(2)原式
17.解:(1)如图所示,点M 即为所求.
(2)PM∥OB,理由如下:
∵OM平分∠AOB,∴ ∠AOM=∠BOM.
又∵PO=PM,∴∠AOM=∠PMO,
∴∠PMO=∠BOM,∴PM∥OB.
18.解:(1)9÷25%=36(人),参与调查的学生人数为36人,a=36-6-9-7=14.
(2)补查的人数最少为14-9+1=6(人).
(3)九年级本学期每周户外活动时间是4小时的学生人数为 (人).
19.解:过点A作AE⊥CD 于E,
在Rt△ACE中,∠CAE=45°,
∴BD=AE=80m.
在 Rt△BCD中,
解得CD≈267,
答:CD的高度约为267 m.
20.解：(1)设一副羽毛球拍的单价为x元，则一副
乒乓球拍的单价为(x-75)元，
由题意，得
解得x=175,
经检验，x=175 是原分式方程的根，
∴x-75=100,
答：一副羽毛球拍的单价为175 元，一副乒乓球拍的单价为100 元.
(2)设购买羽毛球拍a副，则购买乒乓球拍(20-a)副，总费用为w元，由题意，得w=175a+100(20-a)=75a+2000,
∴w随a的增大而增大.
∵a≤2(20-a),解得
∴当a=13时,w取得最小值,此时w=2975,20-a=7,
答：当购买羽毛球拍13副，乒乓球拍7副时费用最低，最低费用为2 975 元.
21.解:(1)将A(1,4)代入 得a=4,
∴反比例函数的解析式为
将x=-2代入 得
∴点B 坐标为(-2,-2),
将A(1,4),B(-2,-2)代入 得
解得
(2)设直线与x轴交点为C，将y=0代入 2x+2得x=-1,
∴ 直线AB 与x轴交点 C 坐标为( - 1,0),设点 D 坐标为(n,0),
则
2=3|-1-n1=6,
∴ - 1-n=2或-1-n= - 2,解得n=-3或n=1.
∴点D 坐标为( - 3,0)或(1,0).
(3)由图象可得x≤-2或022.解:(1)∵抛物线 经过点(5,8),
∴25-20a+2a+1=8,解得a=1,
∴此抛物线的顶点坐标为(2，-1).
2a+1,
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2a.
∵当2a-3≤x≤2a+1时,y的最大值为4,
∴当x=2a-3时,y=4,
整理得 或a=-1,故a的值为 或-1.
23.解:(1)∵∠BCD=30°,
∴ ∠BAD=∠C+∠CBA=30°+20°=50°.
∵∠BAE=120°,
∴∠DAE=120°-50°=70°.
(2)∠CDE的度数不变，理由如下：
∵∠BAE=120°,AB=AE,
.∠ABE=∠AEB=30°.
: BC=BD,∠BCD=∠BDC=30°,
∠BDC=∠AEB,∴点A,B,D,E共圆,
..∠CDE=∠ABE=30°.
(3)由(2)知,∠ABE=30°,
∵∠GBH=120°,BG=BH,∴∠EBH=90°,
∵BG:AG=3:2,
∴设BG=BH=3a,AG=2a,AB=AE=5a,
∵点A在CD上,

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