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2024-2025 学年广东省深圳市深圳实验学校高中园、惠州市惠东县惠东
高级中学高一下学期第二阶段联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简 + 所得的结果是( )
A. B. C. 0 D.
2.已知向量 = ( 1,2), = ( , 4)，且 ⊥ ，则 = ( )．
A. 8 B. 2 C. 4 D. 12
3.已知复数 满足 (1 + i) = 2( 是虚数单位)，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 5
4.若三角形的三边长分别是 3，4，6，则这个三角形的形状是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定
5.已知圆锥的表面积为 3 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为( )
A. 33 B. 3 C.
2
3 D. 2
6.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1000 多年．在《九章算术》中，将底
面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马， ⊥ 平面 ， = 5， = 3，
= 4.则该阳马的外接球的表面积为( )
A. 125 2 3 B. 50π C. 100π D.
500π
3
7.“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等
原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为 2008 年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大
明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距 104(单位：米)的 ， 两个观测点，在
点测得超然楼在北偏东 60°的点 处( ， ， 在同一水平面上)，在 点测得超然楼在北偏西 30°，楼顶 的
仰角为 45°，则超然楼的高度 (单位：米)为( )
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A. 26 B. 26 3 C. 52 D. 52 3
8.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为 ， ， ，则( )
A. cos2 + cos2 + cos2 = 2 B. cos2 + cos2 + cos2 = 1
C. sin2 + sin2 + sin2 = 2 D. sin2 + sin2 + sin2 = 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = (2,1)， = ( 3,1)， 是与 同向的单位向量，则下列结论错误的是( )
A. | | = 10
B. = ( 1,0)
C. 与 可以作为一组基底
D.向量 在向量 10上的投影向量为 2
10.已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， 为底面圆的直径，∠ = 120°, = 2，点 在底面圆周上，
且二面角 为 45°，则下列选项正确的是( )
A.该圆锥体积为π B.该圆锥的侧面积为 2 3π
C. = 2 2 D. 的面积为 3
11.八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形
，其中 = 2，则下列结论中正确的是( )
A. // B. ∠ = 30°
C. ⊥ D. = 2 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边，且 = 1, = 2, ∠ = π3，则 = ．
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13.已知单位向量 , 满足 = ，则 与 的夹角为 ．
14.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，
如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，
则侧面与底面的夹角的正切值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 , 满足 = (2,1), = (1, 3)．
(1)求向量 , 的数量积 ；
(2)求向量 , 夹角 的余弦值；
(3)求 + 2 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， = 3， = 4， = 5．
(1)求证： ⊥平面 1 1；
(2)若异面直线 1与 1 所成的角为 30°，求三棱柱 1 1 1的体积．
17.(本小题 15 分)
在锐角 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且 的面积 = sin ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2，求 + 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
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如图，四棱锥 的底面 是正方形，侧面 是等边三角形，平面 ⊥平面 ， 为
的中点．
(1)求证： ⊥平面 ．
(2)求侧面 与底面 所成二面角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
法国著名军事家拿破仑 波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边
三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在 中，内角 ， ，
的对边分别为 ， ， ，已知 2 cos cos = cos .以 ， ， 为边向外作三个等边三角形，其外接
圆圆心依次为 1， 2， 3．
(1)求 ；
(2) 2 3若 1 2 3的面积为 3 ，求 的面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.π3/60
°
14. 3
→
15.(1)由题设， = 2 × 1 + 1 × ( 3) = 1．
(2) = 22 + 12 = 5, = 12 + ( 3)2 = 10，
→
cos = == 1 2所以 → 5× 10 = 10．

(3) ∵ + 2 = (2,1) + 2(1, 3) = (4, 5)，
∴ + 2 = 42 + ( 5)2 = 41．
16.(1) 1 ⊥平面 ， 平面 ，有 1 ⊥ ．
= 3， = 4， = 5，有 2 + 2 = 2，由勾股定理得 ⊥ ．
1 ∩ = ， 1, 平面 1 1，∴ ⊥平面 1 1
(2)由 1// 1，异面直线 1与 1 所成的角即为∠ 1 ，∠ 1 = 30 ，
⊥ 又 1 平面 ， 平面 ，∴ 1 ⊥ ，则 tan30 = ，得 1 = 4 3，1
1 1 = 2 = 2 × 3 × 4 = 6，所以三棱柱 1 1 1的体积 = 1 = 6 × 4 3 = 24 3．
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17.(1) ∵ = sin ，∴ 12 sin = cos sin ．
∵ sin ≠ 0 ∴ cos = 1 ∵ 0 < < π ∴ = π， 2，又 2， 3．
(2) ∵ = 2 2 6sin sin = sin = sinπ = ，3 3
2 6 2 6 2 6 2π
∴ + = 3 sin + 3 sin = 3 sin + sin 3
= 2 6 3 3 33 2 sin + 2 cos = 2 2 2 sin +
1
2 cos = 2 2sin +
π
6 ．
π
0 < < π π 2π
∵ 22π π , ∴ < < , ∴
0 < < 6 2 3
< + 6 < 3 ,
3 2
∴ 32 < sin +
π
6 ≤ 1，∴ 6 < + ≤ 2 2，
即 + 的取值范围为 6, 2 2 ．
18.(1)在等边 中，因为 为 的中点，所以 ⊥ ，
在正方形 中， ⊥ ，
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)取 , 的中点 , ，连接 , , ．
则 // ，又正方形 中， ⊥ ，所以 ⊥ ，
在等边 中，因为 为 的中点，所以 ⊥ ．
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ，所以∠ 是平面 与平面 所成二面角的平面角．
设 = ，则 = 3 , = , = 72 2 ，
2 7 + 2 2 2+ 2
3 2 2 7
所以 cos∠ = 2 =
4 4
7 = 7 ．2 2
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19.(1)在 中，因为 2 cos cos = cos ，
所以 2 cos = cos + cos ，
根据正弦定理可得 2sin cos = sin cos + sin cos ，
即 2sin cos = sin( + ) = sin ，
因为 0 < < π，sin ≠ 0，
可得 cos = 1 π2，由 0 < < π，可得 = 3；
(2)如图，连接 1， 3，
则| 3 31| = 3 , | 3| = 3 ，
△ = 1正 1 2 3面积 2 | |
2
1 3 sin60° =
3 | 2 2 34 1 3| = 3 ，
∴ | 1 3|2 =
8
3，而∠ = 60°，则∠ 1 3 = 120°，
∴△ 1 3中，由余弦定理得：| 1 2 23| = | 1| + | 3|2 2| 1| | 3| cos∠ 1 3，
8 2 2
即3 = 3 +

3 2
1 2 2
3 ( 2 )，则 + + = 8，
由基本不等式知， 2 + 2 ≥ 2 ，
所以 8 ≥ 2 ，即 ≤ 8 2 63，当且仅当 = = 3 时取等号，
= 1 3所以 2 sin = 4 ≤
2 3
3 ，
所以 2 3的面积的最大值为 3
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