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小升初典型奥数 最佳对策问题
1．前面有一条河，假设人只能骑牛过河，共有A、B、C、D头牛，A牛过河要2分钟，B牛过河要3分钟，C牛过河要4分钟，D牛过河要7分钟，每次只能赶两头牛过河，人要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？
2．在一堆棋子（22枚）中，两个人轮流取，一次可以取2枚或3枚棋子，不能不取，或多取，取到最后一枚棋子的为胜利者．第一个取的人应采取怎样的策略，才能保证自己胜利？
3．小猿和车甫正在玩一个卡片游戏。桌上一共有21张卡片，上面分别写着1～21，并且按顺序排成了一行。从小猿开始，每人轮流拿走3张卡片，要求拿走的3张卡片上的数必须是连续的3个数，谁先无法按照规则拿走卡片或无卡片可以拿谁输。请你帮小猿想一个必胜的方法。（卡片不能旋转）
4．甲、乙两个人轮流取石子，每人每次可以取1枚、3枚或x枚，规定拿到最后一个石子的获胜．已知石子总数不超过70个，甲发现无论x等于2或4或6，他都没有必胜策略，那么总共有多少个石子？
5．从49名学生中选一名班长，小明、小红、小华为候选人，统计37票后的结果是小红15票、小明10票、小华12票．小红至少还要得多少票才能确保当上班长？
6．小军、小明、小勇三人参加学校跳绳比赛，规定时间是5分钟，结果小军前2分钟共跳128下，小明前3分钟共跳186下，小勇前2分钟共跳126下，如果三人跳的速度保持不变，那么三人中谁能获胜？
7．两人轮流报数，每次只能报1或3，把两人报的数加起来．
（1）谁报数后和是33，谁就获胜．想一想：为了确保获胜，你应该先报还是后报？应该怎样报？
（2）谁报数后和是44，谁就获胜，如果让你先报，你能保证一定获胜吗？为什么？
8．一堆火柴共75根，甲、乙两人轮流每次取1至8根，甲先取，乙后取，规定谁取到最后一根火柴就获胜。甲要想一定能获胜，该怎样取火柴？
9．盘子里放有58块水果糖，笑笑和淘气两人轮流取，每次取1～3块，谁取得最后一块谁获胜。如果笑笑先取，那么怎样取笑笑一定能获胜？
10．数学游戏：两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁先报数后和是12，谁就获胜。如果是你和同桌玩，你要确保获胜，你应该选择先报还是后报？应该怎么报？
11．水果店有苹果90千克，如果大小分开卖，大苹果每千克4元，小苹果每千克的售价是大苹果的，如果混合着卖每千克元．如果你是店主，你打算怎么卖？
12．一个盒子里有24颗大小和材质都相同的扣子，两个人轮流拿扣子，但是每次只能拿1颗或者2颗，谁拿到最后一颗扣子谁就获胜了。如果是你，怎么做才能获胜？
13．小明和小红在为谁先摆硬币而吵起来了，原来他们在玩摆1元硬币的游戏，游戏规则是这样的：1元硬币若干枚和一张圆形桌子，两人依次轮流在圆形的桌面上摆硬币，一次只能摆一枚硬币，硬币之间不能重叠，也不能摆出桌面，摆好后不能移动，谁摆到最后摆不下就算输，是先摆的赢还是后摆的赢？怎样摆才会必胜？你有什么游戏的诀窍吗？把你的想法写下来。
14．有30枚棋子，两人轮流拿，每次最少拿1枚，最多拿3枚，拿到最后1枚的人取胜，如果你先拿，那么你怎样拿能保证必胜？
15．有20粒珠子，甲、乙两人轮流从中拿走1粒或2粒，谁拿到最后一粒珠子谁就获胜。为了确保获胜，甲应该怎样拿珠子？
16．桌上放着69根小棒，甲、乙两个同学轮流取．每次只能取走2根、3根、5根或6根．规定谁取走最后一根获胜．甲先取了2根，乙第一次取几根才能保证必然获胜．
17．小明和小红玩棋子游戏，每人每次只能取1枚、2枚或3枚，不能不取．谁先取得第20枚谁就获胜，如果让小明先取，取了2枚，小红要怎样取才能确保获胜？
18．21个珠子，两人轮流拿，每次能拿1个或2个，谁拿到最后1个谁获胜，如果你想确保获胜，应该怎样拿珠子？
19．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？
20．两人轮流报数，每次只能报1或2．把两人报的数加起来，谁报数后的和是13，谁就获胜．想一想：如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该怎样报？
21．有80粒珠子，甲、乙两人轮流从中取珠子（甲先取），每人至少取1粒，至多取4粒，谁取到最后一粒谁就输．你认为甲有必胜的策略吗？怎样取才能确保获胜？
22．10张卡片，两人轮流拿，每次能拿1张或2张，谁拿到最后1张谁获胜．如果让你先拿，怎样拿能够确保胜利？
23．甲、乙两人轮流依次报数，从1报起，报数的个数之和为5，但不能不报，前一个人报到某数，后一个人就从下一个数接着报下去，谁先报到28谁就获胜，甲为了获胜他应采用何种策略？
最佳对策问题
参考答案与试题解析
1．前面有一条河，假设人只能骑牛过河，共有A、B、C、D头牛，A牛过河要2分钟，B牛过河要3分钟，C牛过河要4分钟，D牛过河要7分钟，每次只能赶两头牛过河，人要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？
【答案】18分钟。
【分析】根据题意，A和B先送到对岸，需3分钟，然后骑A回来2分钟；C和D送过河，需7分钟，骑B回来；A和B再过河，需3分钟，据此解答。
【解答】解：A和B先送到对岸，需3分钟，然后骑A回来2分钟；C和D送过河，需7分钟，骑B回来；A和B再过河，需3分钟，
3+2+7+3+3＝18（分钟）
答：最少要18分钟。
【点评】本题主要考查最佳对策问题，关键找到正确的组合一起过河。
2．在一堆棋子（22枚）中，两个人轮流取，一次可以取2枚或3枚棋子，不能不取，或多取，取到最后一枚棋子的为胜利者．第一个取的人应采取怎样的策略，才能保证自己胜利？
【答案】第一次取的时候直接取2枚，以后对方取2枚我方就取3枚；对方取3枚我方就取2枚，这样就一定能保证自己胜利．
【分析】因为每人每次可取2枚或3枚棋子，所以只要第一个人先拿2枚，另一个人就只能拿3枚，如果先取3枚，剩下的就取2枚，反正第一个人先拿走后和另一个人再拿的枚数和起来是5，则保证甲获胜．
【解答】解：第一次取的时候直接取2枚，以后对方取2枚我方就取3枚；
对方取3枚我方就取2枚，这样就一定能保证自己胜利．
【点评】关键是保证第一个人先拿走后和另一个人再拿的枚数和起来是5．
3．小猿和车甫正在玩一个卡片游戏。桌上一共有21张卡片，上面分别写着1～21，并且按顺序排成了一行。从小猿开始，每人轮流拿走3张卡片，要求拿走的3张卡片上的数必须是连续的3个数，谁先无法按照规则拿走卡片或无卡片可以拿谁输。请你帮小猿想一个必胜的方法。（卡片不能旋转）
【答案】小猿第一次拿6、7、8，第二次拿11、12、13或17、18、19。（答案不唯一）
【分析】让小猿必胜，就是要控制从这21张卡片中只能按规则拿出奇数次，5张连续的卡片只能拿1次，8张连续的卡片必然拿2次，13张连续的卡片最少能拿3次，据此可以设计让小猿必胜的方案。
【解答】解：小猿第一次拿走6、7、8，把卡片分为前面连续的5张，后面连续的13张；第二次轮到小猿拿时，因为13和17之间有3张卡片，在后面连续的13张中小猿必然能拿到11、12、13或17、18、19，这13张中剩下的10张被分为连续的2张和连续的8张，做到以上两点，无论车甫怎么拿，连续的8张必然拿2次，1～5必然拿一次，21张卡片拿出5次连续的3张后就不能再拿出连续的3张，小猿必胜。（答案不唯一）
【点评】解答此题的关键在于如何控制21卡片拿出连续3张的次数必然为奇数次。
4．甲、乙两个人轮流取石子，每人每次可以取1枚、3枚或x枚，规定拿到最后一个石子的获胜．已知石子总数不超过70个，甲发现无论x等于2或4或6，他都没有必胜策略，那么总共有多少个石子？
【答案】56个。
【分析】由于甲没有必胜策略，说明最后的石子被乙拿走了；因为甲先取，乙可以使自己每次取的石子个数与甲取的个数之和为7，即“1+6”“3+4”，且有可能被2整除，同时能被7整除。由此解答即可。
【解答】解：由于甲没有必胜策略，说明最后的石子被乙拿走了；因为甲先取，乙可以使自己每次取的石子个数与甲取的个数之和为7，即“1+6”“3+4”，且有可能被2整除，同时能被7整除。
所以石子的个数为：70÷7＝10
7×9＝63（个），不能被2整除；
7×8＝56（个），能被2整除；
答：那么总共有56个石子。
【点评】此题考查最佳对策问题。学会应用逆向思维解答。
5．从49名学生中选一名班长，小明、小红、小华为候选人，统计37票后的结果是小红15票、小明10票、小华12票．小红至少还要得多少票才能确保当上班长？
【答案】见试题解答内容
【分析】小红至少再得5张票才能保证以票数最多当选．由题可知49 名学生，有 37 张选票，还可以有 49﹣37＝12张选票． 又知小红 15 票，小明10 票，小华 12 票，小红比小华多3张，如果三人再各得 4 张选票，小红当选；若小红得 4 张，小明不得，小华得 8 张，小华选票＞小红选票，小红不当 选；若小红得 5 张，小明不得，小华得 7 张，小红选票＞小华选票，小红必当选．
【解答】解：由题可知还剩选票：49﹣37＝12（张），
如果把这12张平均得，每人得：12÷3＝4（张），
小红15+4＝19（张），小明10+4＝14（张），小华12+4＝16（张），小红当选．
如小红得4张，小明不得，小华得8张，15+4＜12+8，小华当选，小红不当选．
如小红得5张，小明不得，小华得7张，15+5＞12+7，小红当选．
所以至少得 5 张才能保证得票最多当选．
答：小红至少再得5张票才能保证票数最多当选为班长．
故选：B．
【点评】此题关键是看看，还剩几张，现在多的两人差几张，余下的平均几张，就能找到答案．
6．小军、小明、小勇三人参加学校跳绳比赛，规定时间是5分钟，结果小军前2分钟共跳128下，小明前3分钟共跳186下，小勇前2分钟共跳126下，如果三人跳的速度保持不变，那么三人中谁能获胜？
【答案】小军能获胜。
【分析】根据除法的意义可知，小军每分钟跳128÷2＝64（下），小明每分钟跳186÷3＝62（下），小勇每分钟跳126÷2＝63（下），64＞63＞62，所以小军能获胜；据此解答即可。
【解答】解：小军每分钟跳的次数：128÷2＝64（下）
小明每分钟跳的次数：186÷3＝62（下）
小勇每分钟跳的次数：126÷2＝63（下）
64＞63＞62
所以如果三人跳的速度保持不变，那么三人中小军能获胜。
【点评】根据除法的意义用每人跳的次数除以每人跳的时间，得出每人每分钟能跳多少下是完成本题的关键。
7．两人轮流报数，每次只能报1或3，把两人报的数加起来．
（1）谁报数后和是33，谁就获胜．想一想：为了确保获胜，你应该先报还是后报？应该怎样报？
（2）谁报数后和是44，谁就获胜，如果让你先报，你能保证一定获胜吗？为什么？
【答案】（1）我应该先报，先报1，然后每次保证他和我报的数和是4；
（2）不能保证，如果我先报，无论报1或者3，只要对方报的数和我报的数和为4，对方一定会获胜。
【分析】（1）3+1＝4，33÷4＝8……1，所以我应该先报1，然后每次保证他和我报的数和是4即可；
（2）44÷4＝11，没有余数，所以如果我先报，无论报1或者3，只要对方报的数和我报的数和为4，对方一定会获胜。
【解答】解：（1）3+1＝4
33÷4＝8……1
所以我应该先报1，然后每次保证他和我报的数和是4即可；
（2）44÷4＝11，没有余数，
所以如果我先报，无论报1或者3，只要对方报的数和我报的数和为4，对方一定会获胜。
所以，不能保证一定获胜。
【点评】本题主要考查了最佳对策问题，用目标数除以每次报数的和，看是否有余数来判断先报还是后报，是本题解题的关键。
8．一堆火柴共75根，甲、乙两人轮流每次取1至8根，甲先取，乙后取，规定谁取到最后一根火柴就获胜。甲要想一定能获胜，该怎样取火柴？
【答案】甲先取3根，以后每次两人取的数量和为9。
【分析】由甲、乙两人轮流拿，每人每次拿1至8根，75÷（1+8）＝8……3，有余数，先取者可获胜，甲先取3根，以后每次两人取的数量和为9，据此制定策略即可。
【解答】解：75÷（1+8）＝8……3
有余数，为确保获胜，甲先取3根，以后每次两人取的数量和为9；
甲取胜策略：甲先取3根，然后如果乙取m根（m＜9），则甲取（9﹣m）根，甲、乙共取了9根，余下的根数仍为9的倍数。
如此反复，直至余下的数量为9根后，乙再取了若干根，甲就可全部取光，即可获胜。
【点评】本题属于典型的不会输的游戏，这种类型的应用题，一般结合余数分析问题，制定策略。
9．盘子里放有58块水果糖，笑笑和淘气两人轮流取，每次取1～3块，谁取得最后一块谁获胜。如果笑笑先取，那么怎样取笑笑一定能获胜？
【答案】笑笑先取2块，这样无论淘气怎么取，只要笑笑每次取的块数与淘气的和是4，最后总余4块，不论淘气怎么取，最后一次总是笑笑取，笑笑一定获胜。
【分析】58÷4＝14……2，由于有余数2，如果笑笑先取，要使笑笑一定获胜，先把余下的2块取走，这样无论淘气怎么取，只要笑笑每次取的块数与淘气的和是4，最后总余4块，不论淘气怎么取，最后一次总是笑笑取，笑笑一定获胜，据此即可解答问题。
【解答】解：58÷（1+3）＝14……2
由于有余数2，所以笑笑先取2块，这样无论淘气怎么取，只要笑笑每次取的块数与淘气的和是4，最后总余4块，不论淘气怎么取，最后一次总是笑笑取，笑笑一定获胜。
【点评】要解答正确首先要明确获胜策略：最后一次只剩4块，保证每次两人取的块数和是4块。
10．数学游戏：两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人报的所有数加起来，谁先报数后和是12，谁就获胜。如果是你和同桌玩，你要确保获胜，你应该选择先报还是后报？应该怎么报？
【答案】后报；同桌报1我就报2，同桌报2我就报1。
【分析】根据题意可知，12是3的倍数，如果我要想获胜，则我应该后报数。用12除以1与2的和，商是几，则我报的数与同桌报的数和为3即可，依此解答。
【解答】解：12÷（1+2）
＝12÷3
＝4
所以如果是我和同桌玩，我要确保获胜，我应该选择后报；同桌报1我就报2，同桌报2我就报1，这样保证两个每次报数和为3，我就获得胜利。
【点评】熟练掌握优化问题的计算，是解答此题的关键。
11．水果店有苹果90千克，如果大小分开卖，大苹果每千克4元，小苹果每千克的售价是大苹果的，如果混合着卖每千克元．如果你是店主，你打算怎么卖？
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算全部混合卖，一共可以卖多少钱：90315（元），现在考虑当大苹果有多少千克时分开卖的总价等于混合卖的价格．
【解答】解：设大苹果有x千克，小苹果有（90﹣x）千克．
4x+（90﹣x）×490
4x+270﹣3x＝315
x＝315﹣270
x＝45
答：当大苹果有45千克，小苹果有45千克时分开卖与混合卖收入一样，当大苹果超过45千克时分开卖收入更高，当大苹果小于45千克时混合卖收入更高．
【点评】先找到分开卖与混合卖收入相等时两种苹果的各自重量是解题的关键．
12．一个盒子里有24颗大小和材质都相同的扣子，两个人轮流拿扣子，但是每次只能拿1颗或者2颗，谁拿到最后一颗扣子谁就获胜了。如果是你，怎么做才能获胜？
【答案】让对手先拿，对手如果拿1颗，我就拿2颗；对手如果拿2颗，我就拿1颗。确保每次二人拿的个数的和是3，就可获胜。
【分析】因为24是3的倍数，所以让对手先拿，对手如果拿1颗，我就拿2颗；对手如果拿2颗，我就拿1颗。确保每次二人拿的个数的和是3，就可获胜。
【解答】解：24÷3＝8
没有余数，所以后取的能获胜。所以让对手先拿，对手如果拿1颗，我就拿2颗；对手如果拿2颗，我就拿1颗。确保每次二人拿的个数的和是3，就可获胜。
【点评】本题属于典型的不会输的游戏，即如果所给的数除以3，有余数，先拿余数，再与对方拿的个数和是3，即可获胜；如果没有余数，就让对方先拿，自己再拿时与对方拿的个数和是3，自己一定获胜。
13．小明和小红在为谁先摆硬币而吵起来了，原来他们在玩摆1元硬币的游戏，游戏规则是这样的：1元硬币若干枚和一张圆形桌子，两人依次轮流在圆形的桌面上摆硬币，一次只能摆一枚硬币，硬币之间不能重叠，也不能摆出桌面，摆好后不能移动，谁摆到最后摆不下就算输，是先摆的赢还是后摆的赢？怎样摆才会必胜？你有什么游戏的诀窍吗？把你的想法写下来。
【答案】先摆的赢，先摆在桌子中心，然后无论对方摆在哪里，都可以在与之对称的地方摆。
【分析】谁想取胜就争取先摆硬币，第一枚硬币摆在圆形桌面的中心处，然后对方摆一枚硬币，你就摆在与对方关于圆形桌面的中心对称的位置上，这样只要对方能摆下硬币，你就能摆下硬币，并且最后摆放一枚硬币。
【解答】
【点评】本题主要考查最佳方法问题，利用圆既是轴对称图形，又是中心对称图形分析解答是关键。
14．有30枚棋子，两人轮流拿，每次最少拿1枚，最多拿3枚，拿到最后1枚的人取胜，如果你先拿，那么你怎样拿能保证必胜？
【答案】如果让我先拿，则先拿2枚，以后对方拿n（1≤n≤3）枚，我就拿（4﹣n）枚，则最后剩下的4枚，无论对方怎么拿，都由我拿最后一枚，即可取胜．
【分析】由已知要求，先取者只要到最后一次给后取者剩下4枚就能保证赢，因此，不管后取者取多少枚，最后的赢家定是先取者．由此可得到第一次取后要留下的应是4的倍数．
【解答】解：因每人每次取的枚数是最少1枚，最多3枚，所以先取者只要到最后一次给后取者剩下4枚，
因此，不管后取者取多少枚，最后的赢家定是先取者．
为此，先取者取后留下的枚数是4的倍数即28、24、20、16、12、8、4．
所以先取者为战胜对手，第一次应取2枚．
答：如果让我先拿，则先拿2枚，以后对方拿n（1≤n≤3）枚，我就拿（4﹣n）枚，则最后剩下的4枚，无论对方怎么拿，都由我拿最后一枚，即可取胜．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证，关键是先取者取后留下的枚数是4的倍数．
15．有20粒珠子，甲、乙两人轮流从中拿走1粒或2粒，谁拿到最后一粒珠子谁就获胜。为了确保获胜，甲应该怎样拿珠子？
【答案】甲先拿，要想取胜，需要先拿2粒，如果乙拿1粒，甲就拿2粒，若乙拿2粒，甲就拿1粒，即始终保持每一轮两个人拿走的粒数和是3，即可保证甲取胜。
【分析】这个问题可以倒着推：20减去2，还剩下18，正好是3的倍数；所以先拿的那个人要想取胜，需要先拿2粒，如果另一个拿1粒，先拿的就拿2粒，若另一个拿2粒，先拿的那个人就拿1粒，即始终保持每一轮两个人拿走的粒数和是3，即可保证先拿的那个人取胜。
【解答】解：甲先拿，要想取胜，需要先拿2粒，如果乙拿1粒，甲就拿2粒，若乙拿2粒，甲就拿1粒，即始终保持每一轮两个人拿走的粒数和是3，即可保证甲取胜。
【点评】此题考查的知识点是推理与论证，解答此题需要逆向思维，因为是抢20，故应先从20倒推，20，17，14，11，8，5，2的顺序。
16．桌上放着69根小棒，甲、乙两个同学轮流取．每次只能取走2根、3根、5根或6根．规定谁取走最后一根获胜．甲先取了2根，乙第一次取几根才能保证必然获胜．
【答案】见试题解答内容
【分析】（69﹣2）÷（2+6）＝8…3，由于有余数3，如果甲先取，要使乙一定获胜，先把余下的3根取走，这样无论甲怎么取，只要乙每次取的根数与甲的和是8，最后一次总是乙取，乙一定获胜．
【解答】解：（69﹣2）÷（2+6）＝8…3，
由于有余数3，如果甲先取2根，要使乙一定获胜，先把余下的3根取走，
这样无论甲怎么取，只要乙每次取的根数与甲的和是8，最后一次总是乙取，乙一定获胜．
【点评】要解答正确首先要明确获胜策略：最后一次只剩8根，保证每次两人取的根数和是8根．
17．小明和小红玩棋子游戏，每人每次只能取1枚、2枚或3枚，不能不取．谁先取得第20枚谁就获胜，如果让小明先取，取了2枚，小红要怎样取才能确保获胜？
【答案】见试题解答内容
【分析】（20﹣2）÷（1+3）＝4…2，先取者可获胜，如果小明先取2枚，小红要取2枚，然后每次两人取的数量和为4，然后结合余数制定策略即可．
【解答】解：先取者可获胜，如果小明先取2枚，
小红获胜的策略：（20﹣2）÷（1+3）＝4…2，
小明先取2枚，小红要取2枚，则余下的枚数为4的倍数，如果小红取m枚（m＜5），则小明取（4﹣m）枚，小明和小红共取了4枚，余下的枚数仍为4的倍数．
如此反复，直至余下的枚数为4枚后，小明再取了若干枚后，小红就可全部取光，即取得第26枚，小红就可获胜．
答：如果让小明先取，取了2枚，小红要取2枚，然后每次两人取的数量和为4取才能确保获胜．
【点评】本题属于典型的不会输的游戏，即如果所给的数除以4，有余数，先拿余数，再与对方拿的个数和是4，即可获胜，如果没有余数，就让对方先拿，自己再拿时与对方拿的个数和是4，自己一定获胜．
18．21个珠子，两人轮流拿，每次能拿1个或2个，谁拿到最后1个谁获胜，如果你想确保获胜，应该怎样拿珠子？
【答案】让对方先拿，只要保证每次两人所拿的个数和为3，就能获胜．
【分析】21÷（1+2）＝7，没有余数，所以后拿者可获胜，只要保证每次两人所拿的个数和为3；据此制定策略即可．
【解答】解：21÷（1+2）＝7
没有余数，所以让对方先拿，对方拿1个，我拿2个；对方拿2个，我拿1个；所以只要保证每次两人所拿的个数和为3，就能获胜．
答：让对方先拿，只要保证每次两人所拿的个数和为3，就能获胜．
【点评】如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析．一般来说，要结合余数问题来选择制胜策略．
19．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？
【答案】假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）或（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜。
【分析】采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）或（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜。据此解答。
【解答】解：假设甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；也就是假设甲获胜。
因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）或（1，1）；
要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；
再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。
所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），则甲必胜。
【点评】本题主要考查最佳对策的应用，关键是利用逆推法、假设法解答问题。
20．两人轮流报数，每次只能报1或2．把两人报的数加起来，谁报数后的和是13，谁就获胜．想一想：如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该怎样报？
【答案】我第一次应该报1；以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3．
【分析】因为13÷（1+2）＝4…1，所以，先报的一定要报1，然后每次报的数始终都与另一人的和是3，一定会赢．
【解答】解：因为，13÷（1+2）＝4…1，
所以先报数的人第1次一定要报1，和还剩13﹣1＝12，12是3的倍数，
所以，以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3，
最后一次总是先报数的人，
所以只要这样做先报数的人一定会赢．
答：为了确保获胜，我第一次应该报1；以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3．
【点评】本题关键根据余数确定先报的数，以后每次报的数始终都与另一人报的数的和是3，一定会赢．
21．有80粒珠子，甲、乙两人轮流从中取珠子（甲先取），每人至少取1粒，至多取4粒，谁取到最后一粒谁就输．你认为甲有必胜的策略吗？怎样取才能确保获胜？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输，那就让每次取出的和是5，再根据80除以5的余数，确定先取的数，以保证先取的人获胜．
【解答】解：80÷（1+4）＝16，没有余数，所以保证甲一定获胜的对策是：
（1）先取4粒珠子，这时还剩76粒珠子，
（2）下面轮到乙取，如果乙取n粒（1≤n≤4），甲就取“5﹣n”粒，
经过15个轮回后，就取出15×5＝75粒珠子，
还剩1粒珠子，这1粒必定留给乙取．
答：为保证一定获胜，则甲要先取4粒珠子，然后乙取n粒（1≤n≤4），甲就取“5﹣n“粒．
【点评】解答此题的关键是知道先取的数是多少，和每次应该怎么取，即可得出答案．
22．10张卡片，两人轮流拿，每次能拿1张或2张，谁拿到最后1张谁获胜．如果让你先拿，怎样拿能够确保胜利？
【答案】我第一次要拿1张，每次两人取的数量和为3，才能保证获胜．
【分析】10÷（1+2）＝3…1，先取者可获胜，余数是1，如果我先取1张，然后每次使两人取的数量和为3，然后结合余数制定策略即可．
【解答】解：先取者可获胜，如果我先取，
10÷（1+2）＝3…1
我获胜的策略：
我先取1张，则余下的张数为3的3倍，如果另一个人取m张（m＜3），则我就取（3﹣m）张，两个人共取了3张，余下的张数仍为3的2倍．
如此反复，直至余下的张数为3张后，另一个人再取了若干张后，我就可全部取光，我就可获胜．
答：我第一次要拿1张，每次两人取的数量和为3，才能保证获胜．
【点评】如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析．一般来说，要结合余数问题来选择制胜策略．
23．甲、乙两人轮流依次报数，从1报起，报数的个数之和为5，但不能不报，前一个人报到某数，后一个人就从下一个数接着报下去，谁先报到28谁就获胜，甲为了获胜他应采用何种策略？
【答案】见试题解答内容
【分析】28÷5＝5…3，先报数者可获胜，假设甲先报数，每次两人所报的数的个数和为5，即先报的数总是5的倍数；据此制定策略即可．
【解答】解：先报数者可获胜，假设甲先报数，
甲获胜的策略：28÷5＝5…3，
甲先报3个数，则余下的个数为5的倍数，如果乙报m个数（m＜6），则甲报（5﹣m）个数，甲乙共报了5个数，余下的个数仍为5的倍数．
如此反复，直至余下的个数为5个后，乙再取了若干个后，甲就可全部报完，甲就可获胜．
答：先报者必胜．先报3个，以后每次报的个数与对方合起来是5．
【点评】本题属于典型的不会输的游戏，即如果所给的数除以5，有余数，先报余数，再与对方报的个数和是5，即可获胜，如果没有余数，就让对方先报，自己再报时与对方报的数的个数和是5，自己一定获胜．
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