资源简介

小升初典型奥数 逆推还原问题
1．学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍．问：最初乐乐拿了多少棵树苗？
2．某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元．这时他的存折上还剩1250元．他原有存款多少元？
3．小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么正确的结果应该是多少呢？
4．商店里进了一批香蕉，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下部分的，这时还剩下48千克．这批香蕉共有多少千克？
5．老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数。请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
6．有一条铁丝，第一次剪下它的又1米，第二次剪下剩下的又1米，此时还剩15米，这条铁丝原来有多长？
7．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖
8．有一根电线，第一次用去了4m，又用去余下的一半；第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m．问这根电线原来有多少米？
9．三棵树上共有48只鸟．后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多．问：一开始三棵树上各有几只鸟？
10．学学做了这样一道题：某数加上10，乘10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数。小朋友，你知道答案吗？
11．某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水果同样多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？
12．甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是多少？
13．某水果店有一批苹果，第一天卖出，第二天卖出第一天剩下的，第三天补进第二天剩下的，这时还存有698千克，问原来有苹果多少千克？
14．甲、乙、丙、丁四个小组同学按下列方法分配苹果：甲组取了全部的又81个，乙组取了甲组取后所剩下的又81个，丙组取了乙组取后所剩下的又81个，最后丁组取了丙组取后余下的和所剩下的81个。问甲组取了多少个苹果？
15．思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？
16．有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆。现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆。照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个。问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？
17．小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等。小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
18．一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去后，缩小倍，再加上后，扩大倍，恰好是分”。小刚这次竞赛得了多少分？
19．小刚的姥姥今年年龄减去7岁后，缩小到原来的，再加1岁后才10岁．小刚的奶奶今年多少岁？
20．果园里有一棵桃树．有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半．这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？
21．池塘里生长着一种浮萍，这种植物在水面上繁殖，而且每天都能增长一倍，如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么多少天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？
22．某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
23．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？
24．某小贩出售一筐苹果，第一天卖掉了全部的一半多2千克，第二天卖掉了余下的一半少2千克，这时筐内还剩下20千克苹果．问：这筐苹果原有多少千克？
25．将小明奶奶今年的年龄依次减去15并乘，再加上4后除以，恰好是100岁，小明奶奶今年多少岁？
26．有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克．先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶．这时，各桶油都是16千克．问：各桶原有油多少千克？
27．菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的，第二天卖出余下的，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？
28．某工厂有、、、、五个车间，人数各不相等。由于工作需要，把车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间。现在五个车间都是30人。原来每个车间各有多少人？
29．桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个。这时桃园里还只有100个桃了。那么园中原有多少桃？
30．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？
31．有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？
32．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。
33．食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下122千克。这批大米共有多少千克？
34．3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多。求3个笼子里原来各养了多少只兔子？
35．甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？
36．两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得的和的后两位数字是72．问另一个加数原来是多少
37．3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多。求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉？
38．美红商店出售洗衣机，上午出售总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台，美红商店原有多少台洗衣机？
39．学校运来48棵树苗，冬冬、莹莹和丽丽争着去栽。她们三人各自分得树苗若干棵。丽丽看到冬冬拿得太多，就从冬冬手中抢了9棵，莹莹又从丽丽手中抢了6棵，冬冬又从莹莹手中抢了7棵。结果，丽丽和莹莹拿的树苗一样多，而冬冬拿的树苗是丽丽和莹莹的棵数之和。问最初冬冬分得多少棵树苗？
40．甲、乙、丙3人的钱数各不相同．甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加两倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加两倍，结果3人的钱数一样多．如果他们3人共有81元，那么3人原来的钱数分别是多少元
41．学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？
42．某厂有三个车间，一车间人数占全厂人数的，二车间人数比一车间少，三车间人数比二车间人数多30%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？
43．人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的，乙车间加工余下的，丙车间再加工余下的，还剩3600个零件没有加工，这批零件一共有多少个？
44．便民水果店卖芒果，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果．求水果店里原来一共有多少个芒果？
45．修建一条下水道，第一周修了全长的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了30米，最后还剩18米，这条下水道长多少米？
46．兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数．如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同．问：兄弟三人的年龄各多少岁？
47．老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋多少个？
48．一篮苹果，取篮中的一半又一个给第一人，再取余下的一半又一个给第二人，又取第二人余下的一半又3个给第三人，篮中苹果正好分完，问篮中原有苹果多少个？
49．一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一半，还剩下1千米，问：公园马路全长多少千米？
50．A有若干本书，B借走一半加一本；C借走剩下书的一半加两本；D借走再剩下书的一半加3本；最后A还有2本书．问A原有多少本书？
51．某商场春季优惠出售洗衣机，上午售出了总数的一半，下午售出剩下的一半后，还剩10台．这个商场原来有洗衣机多少台？
52．爸爸去银行取款．第一次取了存款的一半还多20元，第二次取了余下的一半还多30元，这时银行里还剩250元，爸爸原来有存款多少元？
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参考答案：
1．28棵
【详解】先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗．学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）．
36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）．
答：乐乐最初拿了28棵树苗．
2．5500元
【分析】由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”．
【详解】[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
答：他原有存款5500元．
3．147
【分析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数（正确答案），由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数（错误结果），我们知道引起这种变化的原因是：①把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了：9 6＝3；②把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了：10×（9 6）＝30；这样原题就变成了“一个数减去3，再加上30，所得结果是174，求这个数。”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果：174＋（9 6） 10×（9 6）＝147。
【详解】174＋（9 6） 10×（9 6）
＝174＋3 30
＝147
答：正确的结果应该是147。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
4．256千克
【分析】这道题目出现了两个分率，它们所对应的单位“1”是不一样的．所对应的“1”是全部香蕉，而对应的“1”是全部香蕉减去第一天卖出的香蕉．48千克这个量同这两个单位1都可以联系上．把全部香蕉减去第一天卖出的香蕉当做“1”，就易求出48千克所对应的分率是，进而，求出全部香蕉减去第二天卖出的香蕉是（千克）．这192千克香蕉占全部香蕉的分率是，则全部香蕉的总重量就是（千克．）
【详解】
答：这批香蕉共有256千克．
5．1
【分析】由于最后黑板上三个数的和为159，又第三个数是前两个数的平均数，所以最后一个数为159÷3＝53，可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138，由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860.
下面说明没有其它答案：如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1
【详解】最后一个数为159÷3＝53，
可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138，
由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，
所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860.
如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1
【点睛】利用倒推法，根据所给条件进行分析完成是完成本题的关键。
6．50米
【分析】此铁丝最后还剩15米，这是第二次剪去第一次剩下的又1米的结果，那么第二次剪之前（即第一次剪后）应该是（15+1）÷（1－ ）= 24（米）；而24米又是第一次剪去全长的又1米的结果，那么那么第一次剪之前（即原来）的长度为（24+1）÷（1－ ）= 50（米）.
【详解】（15+1）÷（1－ ）÷（1－）= 50（米）
答：这条铁丝原来长50米．
7．解：第三次拿走后余下的是：（1+1）÷（1﹣）=4（个）
出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9（个）
第一次余下的是：（9+3）÷（1﹣）=16（个）
这盒珠子原来的个数是：（16+4）÷（1﹣）=25（个）
答：盒内原有珠子25个．
【详解】【分析】从最后剩下的1个珠子入手，向前推，如果加上1个，正好是第三次取出后余下的一半，据此求出第三次拿走后余下的是（1+1）÷（1﹣）=4个珠子，这个结果再加上2个正好是第二次取出后余下的，据此可得出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9个，这个结果再加上3个，就是第一次余下的1﹣=， 据此可得第一次余下的是（9+3）=16个，这个结果再加上4个，就是这盒珠子的1﹣=， 据此解决．
8．38米
【分析】由“第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m”可知6米是第二次用去5米后剩余长度的一半，那么第二次用去了5米后剩下6×2=12米，第二次没用5米之前是12=5=17米；则第一次用去了4米后剩下17×2=34米，因此这根电线原来长34+4=38（米）．
【详解】（6×2+5）×2+4
=（12+5×2）+4
=17×2+4
=34+4
=38（米）
答：这根电线原来有38米．
9．一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟．
【详解】试题分析：应先从最后结果出发，最后三棵树上鸟的只数都是48÷3=16（只）；则第三棵树上没有飞走10只鸟时是16+10=26只，根据“第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上”可知第三棵树上原来有26÷2=13只，从第二棵树上飞到第三棵树上的有13只，根据“第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上”，这时是16只，可知这10只鸟没有飞到第一棵树之前第一颗树上是16﹣10=6只，因为“第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上”，所以第一棵树上原来有6×2=12只，由此用总只数分别减去第一、二棵树上原有的只数就是第二棵树上原有鸟的只数；据此解答．
解：最后三棵树上各有鸟：
48÷3=16（只）；
第三棵树上原有：
（16+10）÷2=13（只）；
第一棵树上原有：
（16﹣10）×2=12（只）；
第二棵树上原有：
48﹣12﹣13=23（只）；
答：一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟．
点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．
10．
【分析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算。
倒推如下：；即：10×10＝100，100＋10＝110，110÷10＝11，11 10＝1；综合算式为：（10×10＋10）÷10 10＝1。
【详解】（10×10＋10）÷10 10
＝（100＋10）÷10 10
＝110÷10 10
＝11 10
＝1
答：这个数为1。
【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。
11．2400千克
【分析】由原有水果880千克出发逐步倒推：运进水果：800÷2＝400（千克），现有水果：800＋400＝1200（千克），原有蔬菜：1200×2＝2400（千克）。
【详解】（800÷2＋800）×2
＝1200×2
＝2400（千克）
答：原有的蔬菜是2400千克。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
12．甲原来有7块糖，乙原来有10块糖．
【详解】试题分析：第三次操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，那么这次操作是甲把糖给了乙，那么这之前，乙有12÷2=6块糖，甲有：5+6=11块糖；第二次操作如果是把乙的糖给甲，那么11不是2的倍数，所以不会增加1倍，所以仍是有甲给乙，那么第二次操作前，乙就有6÷2=3块糖，甲有11+3=14块糖；由于14是2的倍数，所以第一次操作是把乙的糖给甲，那么甲原来有14÷2=7（块），乙有3+7=10（块）．
解：第三次操作前，乙有：12÷2=6（块）
甲有5+6=11（块）；
6是2的倍数，而11不是2的倍数，所以第二次操作仍是甲给乙，
第二次操作前，乙有：6÷2=3（块），
甲有：11+3=14（块）；
14是2的倍数，所以第一次操作是乙给甲，
那么原来甲有：14÷2=7（块）
乙有：3+7=10（块）
答：甲原来有7块糖，乙原来有10块糖．
点评：解决本题运用逆推的方法求解，关键是判断每一次操作都是谁给谁．
13．698千克
【详解】698÷[1--（1-）×+（1-）×（1-）×]
=698÷（1--+）
=698÷1
=698（千克）
答：原来有苹果698千克．
14．256个
【分析】丙组取后余下的和所剩下的81个，是将余下的苹果是单位“1”，取了后，剩下的是81个，已知一个数的几分之几，求这个数，用除法得出丙取完剩下108个。
同理丙组取了乙组取后所剩下的又81个，也就是将乙组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下108个，也就是乙组取后所剩的苹果个数的是189个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是252个。
同理乙组取了甲组取后所剩下的又81个，也就是将甲组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下252个，也就是甲组取后所剩的苹果个数的是333个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是444个。
同理甲组取了全部的又81个，也就是将全部苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下444个，也就是全部苹果个数的是525个，则用除法得出全部苹果个数是700个。
甲组取的苹果个数＝全部的苹果个数×＋81。
【详解】81÷（1－）
＝81÷
（个）
（108＋81）÷（1－）
＝189÷
＝
＝252（个）
（252＋81）÷（1－）
＝333÷
＝
＝444（个）
（444＋81）÷（1－）
＝525÷
＝
＝700（个）
700×＋81
＝175＋81
＝256（个）
答：甲组取了256个苹果。
【点睛】解决复杂的还原问题，已知多个对象的变化过程和结果，求开始时各自的量，这类问题是较复杂的还原问题，常涉及倍数变化。一般情况下可以结合列表法来解决。
15．32米
【分析】由“第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米；可知第二次剪钱是（8×2）米，那么第一次剪前是（8×2×2）米。
画图分析如下：
即：（米）；
即：（米）。
【详解】8×2×2＝32（米）
答：这段五彩布原来长米。
【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。
16．个；个
【分析】我们从最后一步倒着分析。因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有（个）棋子，而甲堆的棋子数是（个），这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向。所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子。
【详解】32÷2＝16（个）
32＋16＝＝48（个）
48÷2＝24（个）
24＋16＝40（个）
40÷2＝20（个）
20＋24＝＝44（个）
根据题意列表法解答：（单位：个）
甲 乙
结果 32 32
第三次交换前 48 16
第二次交换前 24 40
第一次交换前 44 20
答：甲堆棋子原来各有44个，乙堆棋子原来各有20。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题一般是从最后一步结果出发向前倒推，也可以根据已知条件列表逐步分析，直到解决问题。
17．28个；29个；33个
【分析】由已知条件可知，小巧比原来多了个，小亚比原来多了个，小红少了个，三人一样多时，都是（90÷3）个，即30个；所以小巧原来有（30＋6－8）个，小亚原来有（30＋5－6）个，小红原来有（30＋8－5）个。
【详解】90÷3＝30（个）
30＋6－8＝28（个）
30＋5－6＝29（个）
30＋8－5＝33（个）
答：小巧、小亚、小红原来分别有28、29、33个玻璃球。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
18．86分
【分析】从最后一个条件“恰好是分”向前推算。扩大倍是分，没有扩大倍之前应是： （分），加上后是分，没有加上前应是：（分），缩小倍是分，那么没有缩小倍前应是：（分），减去后是分，没有减去前应是：（分）。综合列式为：（分），所以，小刚这次竞赛得了分。
【详解】（100÷2－10）×2＋6
＝（50－10）×2＋6
＝40×2＋6
＝80＋6
＝86（分）
答：小刚这次竞赛得了86分。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
19．88
【分析】我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法．
从最后一个条件恰好是100岁向前推算，加上1岁之后是10岁，没有加1岁之前应是10－1＝9岁；没有缩小到原来的之前应是9×9＝81岁；减去7之后是81岁，没有减去岁7前应是81＋7＝88岁．
【详解】10－1＝9岁
9×9＝81岁
81＋7＝88岁
答：小刚的奶奶今年88岁．
20．24.
【详解】试题分析：从最后剩下的4个桃子入手进行逆推，“最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半．这时树上刚好还有四个桃子”，这时第三只猴子没吃之前有桃子4×2+3=11个桃子，这些11个桃子是“三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半”后剩下的，所以原来的桃子数是11×2+3=24个．据此解答．
解：（4×2+3）×2+2
=（8+3）×2+2
=11×2+2
=22+2
=24（个）
答：原来树上一共有24个桃子．
点评：本题属于逆推问题，解答的关键是从最后的结果进行逆推，先求出最后第三只猴子没吃前的桃子数，进而求出总桃子数．
21．9天后．
【分析】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量，从后向前进行推理，得出结果．
【详解】每天增长1倍，就是前一天的2倍，如果10天后，池塘里刚好长满这种浮萍，那么它的前一天正好是一半，即9后池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面．
10﹣1=9（天），
答：9天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面．
22．身上有44元；箱子里有84元
【分析】由题意，这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，即第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元，由此一步步向前逆推，则第二次回来前，他身上有64＋32＝96元，箱子里有64÷2＝32元；第二次过去前，他身上有96÷2＝48元，箱子里有32＋48＝80元；第一次回来前，他身上有48＋40＝88元，箱子里有80÷2＝40元；第一次过去前，他身上有88÷2＝44元，箱子里有40＋44＝84元；据此解答。
【详解】第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元；
第二次回来前，他身上有64＋32＝96（元），箱子里有64÷2＝32（元）；
第二次过去前，他身上有96÷2＝48（元），箱子里有32＋48＝80（元）；
第一次回来前，他身上有48＋40＝88（元），箱子里有80÷2＝40（元）；
第一次过去前，他身上有88÷2＝44（元），箱子里有40＋44＝84（元）；
答：原来这人身上有44元，箱子里有84元。
【点睛】本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解。
23．18只
【详解】6÷（1-）=8（只）
8÷（1-）=12（只）
12÷（1-）=18（只）
答：篮里原有桃子18只．
24．76千克
【详解】〔（20-2）×2+2〕×2=38×2=76（千克）　答：这筐苹果原有76千克.
解决这类一半多几，一半少几的还原法应用题，我们往往借助线段图来帮助我们解题．根据题意此题可以画图,图略
25．79岁
【分析】从最后的结果出发，如果小明奶奶的年龄不除以，那就是100× = 20（岁）；不加上4，就是20 – 4 = 16（岁）；不乘，就是16÷ = 64（岁）；最后再加上15就是奶奶今年的年龄．
【详解】（100×－4）÷+ 15 = 79（岁）
答：小明奶奶今年79岁．
26．甲：26千克 乙：14千克 丙桶：8千克
【详解】列表逆推如下：
甲桶 乙桶 丙桶
初始状态 4+14+8＝26 28÷2＝14 16÷2＝8
第一次变化 8÷2＝4 8+4+16＝28 32÷2＝16
第二次变化 16÷2＝8 16÷2＝8 16+8+8＝32
第三次变化 16 16 16
原来甲、乙、丙桶分别有油26千克，14千克，8千克．
27．600千克
【分析】
从线段图上可以清楚地看出240千克的对应分率是第一天卖出后余下的（1－）．则第一天卖出后余下的大白菜千克数为：240÷（1－）=400（千克）
同理400千克的对应分率为这批大白菜的（1－），则这批大白菜的千克数为：400÷（1－）=600（千克）
【详解】240÷（1－）=400（千克）
400÷（1－）=600（千克）
答：这批大白菜有600千克．
28．11人；38人；33人；32人；36人。
【分析】最后每个车间都是30人，逆着调入的顺序，列表倒推，逐步求出原来的状态。
【详解】采用倒推法，列表如下
单位：人 A车间 B车间 C车间 D车间 E车间
调整结束后 30 30 30 30 30
E往D调前 30 30 30 24 36
D往C调前 30 30 22 32 36
C往B调前 30 19 33 32 36
B往A调前 11 38 33 32 36
所以原来、、、、车间分别有11、38、33、32、36个工人。
答：原来A车间有11人，B车间有38人，C车间有33人，D车间有32人，E车间有36人。
【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。
29．807个
【分析】根据题意，从最后只有100个向前倒推如下：第三群猴没吃，相应有桃：（100＋0.5）×2＝201（个）,第二群猴没吃，相应有桃：（201＋0.5）×2＝403（个）,第一群猴没吃，相应有桃（即桃园中原有桃）：（403＋0.5）×2＝807（个）。所以园中原有807的桃子。
【详解】（100＋0.5）×2＝201（个）
（201＋0.5）×2＝403（个）
（403＋0.5）×2＝807（个）
答：园中原有807个桃子。
【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。
30．31个
【分析】第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个；
第4次过桥后给了老人32个，所以第四层结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个；
第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个；
第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个；
第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个．
【详解】第五次后有：32÷2=16（个）
第四次后有：（32+16）÷2=24（个）
第三次后有：（32+24）÷2=28（个）
第二次后有：（32+28）÷2=30（个）
第一次原有：（32+30）÷2=31（个）
答：财迷身上原有31个铜板．
31．85枚
【分析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚，由此逆推出第一次四等分之前有多少枚棋子即可。
【详解】第三次分之前有：
1×4＋1
＝4＋1
＝5（枚），
第二次分之前有：
5×4＋1
＝20＋1
＝21（枚），
第一次分之前有：
21×4＋1
＝84＋1
＝85（枚）
答：原来至少有85枚棋子。
【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。
32．甲:50 乙:70 丙:30 丁:120
【详解】解：设恰好相等的数量为x，
（x-10）+（x+10）+2x+x÷2＝270
解得x＝60
可得，甲:50，乙:70，丙:30，丁:120。
33．400千克
【分析】需要从最后剩下122千克出发，一步步向前推。最后剩下了122千克，它是吃了余下的一半少8千克后剩下的，那么余下的一半就是（122－8）千克，再乘2就是第一次吃完剩下的，同样的方法，结合第一天吃了全部的一半少28千克，就可以求出原来大米的重量。
【详解】[（122－8）×2－28]×2
＝[114×2－28]×2
＝200×2
＝400（千克）
答：这批大米共有400千克。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
34．20只；10只；6只
【分析】3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变。变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出现在每个笼里的兔子是（36÷3）只。根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（12＋8）只；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：（12－6）只，第2个笼子里原有：（12＋6－8）只。
【详解】12＋8＝20（只）
12－6＝6（只）
12＋6－8＝10（只）
答：第1个笼子里原来养了20只，第个笼子里原有10只，第3个笼子里原有6只。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
35．35棵；21棵
【分析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（28÷2）棵，即14棵；乙班有（28＋14）棵，即42棵；如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（42÷2）棵，甲班原有树（14＋21）棵。
【详解】列表倒推如下：
甲班 乙班
35 21
14 42
28 28
（28＋28÷2）÷2
＝（28＋14）÷2
＝42÷2
＝21（棵）
28÷2＋21
＝14＋21
＝35（棵）
答：甲班原有树棵；乙班原有树棵。
【点睛】解决此类题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果。
36．48
【详解】另外一个加数的十位数字增加5，个位数字增加1后，其与73的和只能是172，不然和为272、372、472、…，则原来的另一个加数的位数超过2位．
所以，原来的另一个加数为172－73－5×10－1＝48．
37．34只；24只；20只
【分析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变。变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是（78÷3）只，即26只。根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了（26＋8）只；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第个笼子里有：（26＋6－8）只，第3个笼子里原有（26－6）只。
【详解】78÷3＝26（只）
26＋6－8＝24（只）
26－6＝20（只）
答：第1个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第3个笼子里原有20只。
【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。
38．380台
【分析】此题抓住剩下的105台，往前推算，105台再减去20台就是上午卖完剩下的一半，据此乘2，即可得出上午卖完剩下的是85×2=170台，170台，再加上20台，就是这批洗衣机的一半，据此乘2，就是洗衣机的总台数．
【详解】[（105-20）×2+20]×2
=[85×2+20]×2
=190×2
=380（台）
答：美红商店原有380台洗衣机．
39．26棵
【分析】丽丽和莹莹拿的树苗一样多，而冬冬拿的树苗是丽丽和莹莹的棵数之和，因此可以把丽丽和莹莹的树苗数目都看作1份，则冬冬的树苗数目就是2份，由此可以先求出此时冬冬的树苗数。再根据“丽丽看到冬冬拿得太多，就从冬冬手中抢了9棵，莹莹又从丽丽手中抢了6棵，冬冬又从莹莹手中抢了7棵”，可以用倒推的方法，用此时冬冬的树苗数减去7，再加上9，即可求出冬冬最初拿的树苗棵数。
【详解】冬冬最后分得树苗：48÷（2＋1＋1）×2
＝48÷4×2
＝12×2
＝24（棵）
冬冬最初分得树苗：24－7＋9
＝17＋9
＝26（棵）
答：最初冬冬分得26棵树苗。
40．55,19，7
【详解】我们逐步还原：
甲 乙 丙
丙分后 27 27 27
乙分后 27÷(2+1)＝9 9 81－9－9＝63
甲分后 9÷(2+1)＝3 81－3－21＝57 63÷(2+1)＝21
甲分前 81－19－7＝55 57÷(2+1)＝19 21÷(2+1)＝7
即甲、乙、丙三人原来的钱数分别55、19、7元．
41．米
【分析】根据题意，画图倒推分析如下：
即：（米）；
即：（米）；
即：（米）；
【详解】[（15＋9－10）×2＋2]×2
＝[14×2＋2]×2
＝30×2
＝60（米）
答：这根绳子全长60米。
【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。
42．600人
【详解】×（1-）×（1+30%）
=××130%
=
156÷=600（人）
答：这个厂全厂共有600人．
43．10000个
【详解】3600÷(1-)÷(1-)÷(1-)=10000(个)
答：这批零件一共有10000个．
44．88个
【分析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半少1个，这时只剩下11个芒果，那么第二次卖后剩下：（11-1）×2=20（个）；第二次卖掉剩下的一半多1个，这是剩下20个，那么第一次卖后剩下：（20+1）×2=42（个）；第一次卖掉总数的一半多2个，剩下42个，则总数为（42+2）×2=88（个）．
【详解】{[(11－1)×2+1]×2+2}×2
=[（10×2+1）×2+2]×2
=（21×2+2）×2
=44×2
=88（个）
答：水果店里原来一共有88个芒果．
45．168米
【分析】画倒推示意图如下：
；
从图中可知（30＋18 12）米，即36米是第一周修后余下的一半，（36×2 12）米，即84米是下水道全长的一半。
【详解】[（30＋18 12）×2＋12]×2
＝[36×2＋12]×2
＝84×2
＝168（米）
答：这条下水道长168米。
【点睛】画图法的关键：标好有倍数关系的位置。
46．16，10，7
【详解】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子．由此列表逆推如下表：
老大 老二 老三
初始状态 14-（2÷2）＝13 8-（2÷2）＝7 2×2＝4
老三分过后 16-（4÷2）＝14 4×2＝8 4-（4÷2）＝2
老二分过后 8×2＝16 8-（8÷2）＝4 8-（8÷2）＝4
老大分过后 8 8 8
由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁．
47．15
【详解】第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（0+）=1（个）
第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+）=2×1=3（个）
第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+）=2×3 =7（个）
原有鸡蛋的个数是：2×（7+）=2×7=15（个）
答：篮中原有鸡蛋15个．
故答案为15．
48．30个
【分析】最后的一半又3个给第三人，说明最后的一半就是3个，第三人得到6个苹果；取余下一半又1个给第二人，说明第二人所取的余下一半比最后的6个多1个，所以第二人得到8个；第一人取后还剩下14个苹果；若干苹果，取一半又1个给第一人，剩下14个，说明这一半是15个，所以这个篮子里原来有30个苹果．
【详解】[(3×2+1)×2+1]×2
=[7×2+1]×2
=15×2
=30（个）
答：篮中原有苹果30个．
49．4千米
【分析】采取倒推的方法，1千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是：1×2＝2（千米）。而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半，所以全程长为：2×2＝4（千米）。
【详解】如图：
1×2×2＝4（千米）
答：公园马路全长为4千米。
【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。
50．50本
【详解】方法一：
解：设A原有x本书
B借走了；C借走了；D借走了；最后A剩下了，即，x=50
答：A原有50本书．
方法二：用倒退还原法解题．
D借前，A还有书：（2+3）×2=10（本）
C借前，A还有书：（10+2）×2=24（本）
B借前，A有书：（24+1）×2=50（本），这就是A原来有的书的本数．
答：A原有50本书．
51．40
【分析】我们可以根据题意，画出线段图进行分析思考．
结合上图，从“下午售出剩下的一半后还剩10台”向前倒推，上午售后剩下的一半，那么上午售出后剩下的台数就是10×2＝20台；而20台又正好是总数的一半，那么原有洗衣机的台数就是20×2＝40台．
【详解】10×2＝20台
原有洗衣机的台数：20×2＝40台．
答：这个商场原来有洗衣机40台．
52．1160元
【分析】250加上30就是第一次取款后的一半，相加后再加上20元就是总数的一半，这样就能计算出总存款数.
【详解】250＋30=280（元），
280＋280＋20=580（元），
580＋580=1160（元）
答：爸爸原来有存款1160元.
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