资源简介 登陆21世纪教育 助您教考全无忧2010年高考数学热点：攻略探索性问题一、考情分析探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西。问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手。近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：(1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；(3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；(4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化。二、高考预测预测2010年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也会有所突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，这必将促进教学的创新。三、突破策略问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高，探索性问题的解题策略有：1攻略之一——特殊值探路，一般化证明从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明。【例1】已知试判断与的大小关系。解析：由＜， ＞，＞，＞，，＜，＜……猜想出结论：当时， ；当、3、4时＞，当或时＜，然后用数学归纳法证明猜想的正确性。2攻略之二——假设存在，推理检验此类题型需从题目所给出的条件及所探求的结论两方面入手，充分挖掘题设条件的内涵与外延，积极向所探究的结论靠拢。解答这类问题的一般思路是：先假定对象存在，运用条件进行推理。若得到相应的合理结论，断言这个对象是存在的；若出现矛盾，则否定先前假设，断言对象是不存在的。【例2】抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线。（1）求抛物线的顶点M的轨迹C。（2）问过定点B，1是否存在一对互相垂直的直线同时都与轨迹C有公共点？证明你的结论。解析：（1）利用数形结合法，根据抛物线定义可求得动点M的轨迹方程为：x +4（y－1）= 4（y≠0）（2）过点B的直线与曲线C有交点需满足什么条件？两直线垂直的条件又是什么？这两者中有何关系？从而推出合理的结论。设过点B，1的直线L为：y－1=k（x+），L与C有交点的条件为方程组 有解现假设存在一对过B且与轨迹C有公共点的互相垂直的直线L和L，则有,但由上述结果知这就产生矛盾，故这样的直线不存在。【例3】（2008年湖北高考试题）已知数列和满足：,其中为实数，为正整数。（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3，即矛盾。所以｛an｝不是等比数列。(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1=-(λ+18),所以当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得Sn=-要使a即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)①当n为正奇数时，1∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由①式得a<-(λ+18),<当a当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a点评：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力。对于参数存在型探索性命题，其求解关键是对参数进行合理全面地分类讨论。这类探索性命题结论的成立与否取决于参数的范围的取舍。3攻略之三——等价转化,探求条件使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件。【例4】（2009年广东）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．W.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析：本题是探索使结论成立的条件，可根据题意步步等价转化，寻找成立的充要条件。如函数有零点于方程有根函数图像与轴有交点。解：（1）依题可设 ()，则；又的图像与直线平行， ，设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得当时， 解得（2）由()，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，，函数有两个零点，即；若，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, ,函数有一零点综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.4攻略之四——类比联想类比是根据两事物的一些属性相同或相似推测另一些属性也可能相同或相似的认识方法，也是人类认识事物的普遍规律之一。所谓类比猜想的策略就是由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并以严格论证。【例5】将图表填完整平面 空间三角形两边之和大于第三边 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半 三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半解析：本题是平面与空间的类比，由已知前几组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象。由上分析不难知道空格处应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一。对于这一结论的正确性，可以通过等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明。点评：平面到空间的类比是常见的类比形式，要掌握这些常见的类比方向，题目也就不难解决了。四、考点精炼1.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( )①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥βA.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④2.某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票。现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( )A.7张 B.8张 C.9张 D.10张3. 如图，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长别为3a,4a,5a(a>0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是（ ）。 4. （2009安徽卷理）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是A. B. C. D.5.观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°·cos45°=，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 .6. （2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列。类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列。7. （2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。8.（2009北京卷理）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.参考答案1.解析：①l⊥α且α∥βl⊥β,mβl⊥m.②α⊥β且l⊥αl∥β,但不能推出l∥m.③l∥m,l⊥αm⊥α,由mβα⊥β.④l⊥m,不能推出α∥β.答案：B2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张.答案：B3. 答案：C解析：先考查拼成三棱柱(如图1)全面积：S1=,再考查拼成四棱柱(如图2)全面积.(1)若AC=5a,AB=4a,BC=3a则该四棱柱的全面积为S2=(2)若AC=4a,AB=3a,BC=5a则该四棱柱的全面积为S2=(3)若AC=3a,AB=5a,BC=4a则该四棱柱的全面积为S2=又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知即a的取值范围是 。4. 解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）∴△ABC=，设与的交点为D，则由知，∴∴选A。5.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=6. 答案：解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列。点评：此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力7. 解：（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为故 ，由得 ，=（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （Ⅰ）知C的方程为+=6. 设(ⅰ) C 成立的充要条件是， 且整理得故 ①将于是 , =,代入①解得，，此时于是=， 即因此， 当时，， ；当时，， 。（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为。点评：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。8.解法1（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.解法2：以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得.（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴，∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵，∴.∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）同解法1.点评：本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。www.y=kx+OCyDxA两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、BPAGE- 1 -21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 - 1 - 页 （共 11 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧2010年高考数学热点：攻略应用性问题一、考情分析数学应用性问题是指能用数学知识来解决的社会生活中有实际背景的实际问题。这类题目的立意、实际背景、创设的情景、设问的角度和方式新颖灵活，对考生的能力和数学素质要求较高，处于考查能力和素质的要求，数学应用题成为近几年高考的热点之一。近几年全国各地的高考题中，应用性问题的题型有以下几个特点：（1）数学高考应用题以概率及其分布列为主流，多以药物检验、设计、课程考核、数学竞赛、生产经营等为背景，围绕五个基本概率模型命制，并呈现与函数、方程、不等式相结合的趋势。（2）三角应用题异军突起，成为应用性题目的一个新的命题热点，主要考查航行、测量、等实际生活问题，主要体现数学在实际生活中的应用，考查知识点主要是正余弦定理、平面几何与三角函数等知识，难度较低，一般出现在前三个题。（3）函数问题老生常谈，在解决实际问题中的优化问题息息相关，解题过程一般体现导数的应用。（4）线性规划在处理最优化问题中的应用。应用题目的命制突出解决实际问题能力的考察，体现“贴近生活、背景公平、控制难度”的命题原则，小题鲜活，大题不难。二、高考预测随着新课标的实施和高考改革的不断深入，对应用型题目的考察越来越重视，预计在今后的考察中，不但会加大题量，而且还会从广度和一定的深度上全方位考察，考察学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。三、攻破策略1攻略之一——学会数学建模分析的步骤应用型问题解决的关键是把实际问题抽象为数学问题来解决，完成整个解题过程大体可以分为四个步骤：（1）读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；（2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；（3）求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；（4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。【例1】(2009山东卷理)（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065。（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由。解析：（1）如图，由题意知AC⊥BC,，其中当时，y=0.065，所以k=9所以y表示成x的函数为（2），,令得，所以,即,当时, ，即所以函数为单调减函数，当时, ,即所以函数为单调增函数，所以当时，即当C点到城A的距离为时，函数有最小值。【点评】本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.2攻略之二——掌握数学建模分析的具体方法注意总结解高中数学应用题的基本模式,以便在解题过程中能尽快找到解题方法，达到“生中见熟”的效果。如行程、工程、浓度等问题可转化为方程(组)或不等式(组)的求解问题；平均增长率问题可转化为求解数列和指数方程(不等式)问题；用料最省、造价最低、容积(面积)最值问题可转化为函数、线性规划最值问题；应用题与平面图形有关时，如拱桥设计可转化为二次曲线，航海、测量问题转化为三角函数问题等；一般可采用关系分析法、列表分析法、图像分析法等方法、分析题目的层次、领会关键词语，弄清题图关系、重视条件转译，准确建模。【例2】（2001年高考试题）（旅游业的投入产出问题）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。（1）设年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出它们的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解析：在研究旅游业的投入产出问题时，根据“本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少”和“旅游业收入每年会比上年增加”，其投入资金数列和收入（产出）数列均为等比数列，注意题目“设年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业总收入为万元”中的“年内”说明“ ”、“ ”表示等比数列的前项和。 建立数学模型：（1）第n年的投入与收入资金数列列表如下第n年 第n年投入资金（万元） 第n年旅游收入（万元）1 800 400234………… ……… ……….（2）略【点评】通过列表分析，数学模型一目了然，不同的问题要灵活选用不同的分析方法。3攻略之二——注重数形结合逐步翻译条件应用性问题往往有大段的文字描述，在解答过程中要真读题、审题，通过审题领会其中的数的本质，并且要养成边读题边画图的习惯，树立数形结合意识,把抽象繁琐的文字叙述，逐步翻译为具体直观的图形关系。【例3】（2009辽宁卷）如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面处测得点和点的仰角分别为，，于水面处测得点和点的仰角均为，。试探究图中间距离与另外哪两点距离相等，然后求的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）解析：在中，，＝60°－＝30°，所以又＝180°－60°－60°＝60°，故是底边的中垂线，所以，在中，，即AB＝因此，故的距离约为0.33km。【点评】对于这类问题在解题过程中,要明确相关的术语概念,如方位角\仰角\俯角等概念,这时顺利解出题目的前提.4攻略之四——注意语言表达的完整性数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。四、考点精炼1.落在平静湖面上的雨滴,使水面产生一圈一圈的同心圆形水波,在此后的一段时间内,若最外一圈水波的半径(单位:米)与时间(单位:秒)满足函数关系式,则在2秒末扰动水面面积的变化率为 ( )A. B. C. D.2.我国股市中对股票的股价实行涨跌停制度,即每天的股价最大涨幅或跌幅均为,某股票连续四个交易日中的前两天每天涨停,后两天每天跌停,则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是( )A.下跌1.99% B.上涨1.99% C. 保持不变 D.无法确定3.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测，图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A.90 B.75 C. 60 D.454.（2009四川卷文）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元5．(2007年湖北文理)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为 ．（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．6.(2009年湖北)如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域，为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km。已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km。(结果中保留反余弦的符号)7.（2007年湖北）（本小题满分12分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（I）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？8.（2007年山东）（本小题满分12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？9.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是。在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值（即数学期望）。参考答案1. A2.A3. A【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为，则,所以,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.4. D【解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：高考资源网A原料 B原料甲产品吨 3 2乙产品吨 3则有：目标函数作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当＝3，＝5时可获得最大利润为27万元，故选D5. ；0.66.【答案】12800arccos【解析】如图所示，过做圆的两条切线,切点为,可得AO=36000+6400=42400，则在Rt△ABO中可得cos∠AOB=所以两点间的球面距离7.解析：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有，又由已知条件，，于是有，所以．（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有．2 120 0极小 极大故时，达到极大值．因为，，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大。8. 解析：如图，连结，，，是等边三角形，，在中，由余弦定理得，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里.9. 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。解：随机变量X的分布列是X 1 2 3PX的均值为附：X的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：① ② ③ ④ ⑤ ⑥A—B—C—D A—B—C└D A—B—C└D A—B—D└C A—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。www.PAGE- 1 -21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 - 1 - 页 （共 9 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧2010年高考数学热点：攻略函数一、考情分析函数是高中数学中重要的基础知识，也是高中数学的主体知识。函数是高中数学的核心内容，是学习高等数学的基础，函数的思想方法贯穿中学数学的始终，利用函数思想可以解决很多数学问题，最能体现学生能力和水平的学习内容，为历年高考考查的重点。在高考中函数问题具有以下几个特点：1.以函数概念的深化理解与函数图象及性质的灵活运用构成命题的核心近年来，求函数的值域（或最值）及活用奇偶性、单调性、周期性、对称性成为高考的热点问题。重点考查二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数及抽象函数的有关性质，并且利用函数性质灵活解题。函数的单调性常用来判断、证明、比较大小，求单调区间及有关参数的范围，奇偶性则经常扩展到图象的对称性，且与单调性和周期性联系在一起，解决较复杂的问题。尤其值得注意的是，凡涉及到函数、方程和不等式的问题，必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方。2. 创设新情景，考查学生阅读理解领悟新信息的能力近年来，新信息题成为新课标函数改革的一个新的亮点，和应用题一样，它考查了学生阅读、理解能力，提炼数学问题的能力，以及用数学语言表达的能力，要求学生仔细阅读，抓住信息，透彻理解，准确解题。有许多新定义或抽象函数是建立在一定特殊函数的基础上，解决这样的问题可以将熟知的函数作为依托去构思，但解答时不能写特殊函数，应遵循新定义或抽象函数所满足的规律。3. 在函数与其他知识的网络交汇点设计试题，培养解决综合问题的能力4．引进探索题与开放题，培养学生研究与创新的能力，拓展考查功能新课标的问世，增添了许多研究性的课题，提供了拓展学生思维的视野，高考命题体现了在这方面的要求，常见的“猜想规律”，“是否存在”等等均属于探索类型的问题。二、高考预测函数是中学数学的重要内容，函数方程思想贯穿中学数学的始终，利用函数方程思想可以解决很多数学问题，因此历年的高考试题多贯穿着函数及其性质这条主线，结合最新的考试说明及近两年的高考命题趋势，我认为2010年将继续贯穿这条主线，主要考察为：（1） 考察重点仍是函数概念、性质及应用。（2） 考察热点是函数模型的应用，函数的图象和性质。（3） 仍可能以函数为背景，以导数为工具，与不等式、解析几何知识交汇点命题。（4） 重视分段函数和一元二次方程根的分布问题。三、突破策略函数部分是高中的重要知识内容，同时也是高考的重点，很多同学提到函数就感觉心里没底，其实，在高考中遇到函数题时，想要做到心里踏实、坦然并不难，只需复习时更有针对性和时效性，了解高考命题的常见题型和考查要点，重点复习，即可做到心中有数。1攻略之一——扎实打好基础，突出知识结构深刻理解函数的概念，熟练掌握函数的图象及其性质；抓住知识主干，构建知识网络。以函数的三要素、性质为主干知识形成知识体系，同时注意各部分知识的横向联系，尤其与不等式、数列、解析立几何的联系；养成规范书写习惯，因为好的书写习惯，严密的思维推理，认真的学习态度对高考来说至关重要。【例1】(2009·辽宁文理9)已知偶函数在区间上单调增加，则的x取值范围是答案： A分析：此题考察函数的基本性质，没有解析式，只需要弄清楚偶函数的作用以及函数单调性在解不等式中处理就可以了。解：由已知有，即，∴。【例2】( 2009·山东文理16)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则分析：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．解：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案：-82攻略之二——加强思想渗透，强化数学意识函数这一章重要的数学思想方法有函数与方程的思想、数形结合的思想，分类与整合的思想、转化与化归的思想、有限与无限的思想等；数学方法有配方法、换元法、待定系数法、二分法、比较法等。【例3】（2009天津卷文）设，则A a答案：B解析：由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到，而，因此选B。点评：本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力和数形结合思想。【例4】（08北京卷18）已知函数，求导函数，并确定的单调区间．解：．令，得．当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．点评：本题考察了函数的单调性以及分类讨论的数学思想方法。3攻略之三——加强阅读理解，提高表达能力高考数学试题语言简洁、科学性强、信息量大，熟悉数学语言，包括文字语言、符号语言、逻辑语言、图形语言和数表语言是阅读、理解和表达数学问题的基础，也是高考审题、解题的关键，应用题的出现，尤其是信息题的出现，对学生的阅读能力有了更高的要求。在复习中应加强数学语言的培养和训练，要既能正确理解数学的各种语言（文字语言、符号语言、图形语言）并能相互转化，又能条理清晰，准确流畅地表达解题过程；从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化成数学语言，用数学知识和数学思想方法去解决。【例5】(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数取函数=。若对任意的，恒有=，则A．K的最大值为2 B. K的最小值为2C．K的最大值为1 D. K的最小值为1答案：D解析：由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。【例6】（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：①设是平面上的线性变换，，则②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；③对，则是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案：①③④解析：①：令，则故①是真命题同理，④：令，则故④是真命题③：∵，则有是线性变换，故③是真命题②：由，则有∵是单位向量，≠0，故②是假命题点评：本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。4攻略之四——注意平时积累和储存问题模型复杂的问题往往是一些简单问题的演变和拼接组合，而我们解题的过程则是一个不断分解、转化的过程，注重平时基本题型的积累，就可以敏感地抓住解题过程的结构特征，联想起头脑中积累的解题方法,如恒成立问题是高考中的热点题型,这就要求我们能熟练掌握其解题规律,真正弄懂其解法：一般转化类型有：（1）恒成立或恒成立；（2）恒成立或恒成立；（3）恒成立；常用的解题技巧有分离参数,分类讨论,整体代换等【例7】（08天津卷21）已知函数（），其中．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）解：．当时，．令，解得，，．当变化时，，的变化情况如下表：0 2－ 0 ＋ 0 － 0 ＋↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅱ）解：，显然不是方程的根．为使仅在处有极值，必须成立，即有．解些不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．（Ⅲ）解：由条件，可知，从而恒成立．当时，；当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立．所以，因此满足条件的的取值范围是．点评：解题能力的提升不是一蹴而就的,这需要一个过程,从某种程度上可以说是一个由量变到质变的过程,这就要求同学们平时要注意练习和积累,重点题型,基本解法要搞懂练熟,这样才能在解题能力上有大的提升.四、考点精炼1.（08全国一1）函数的定义域为（ ）A． B．C． D．2. （2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )(A) 是偶函数 (B) 是奇函数(C) (D) 是奇函数3. （08全国二3）函数的图像关于（ ）A．轴对称 B． 直线对称C． 坐标原点对称 D． 直线对称4. （2009北京理）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5. (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).6. （07全国Ⅰ）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）A． B．2 C． D．47. （2009重庆卷理）若是奇函数，则 ．8.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .9. （2009北京文）已知函数若，则 .10. （2009江苏卷）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 .11. （2009四川卷文）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.12.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？参考答案1. C2.D。解: 与都是奇函数，，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D3. C4. 【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．，B．，C．，D．.故应选C.5. 【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.答案:A.6. A7. 【答案】【解析】解法18.解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。9. 【答案】【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.由，无解，故应填.10. 【解析】考查指数函数的单调性。，函数在R上递减。由得：m11. 【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有,即……①又，由已知得……②联立①②，解得.所以函数的解析式为（II）因为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m令当函数有极值时，则，方程有实数解，由，得.①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值②当时，有两个实数根情况如下表：+ 0 - 0 +↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；12. 解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，所以（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，令，得，所以=64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。www.PAGE- 1 -21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 - 1 - 页 （共 11 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧2010年高考数学热点：攻略三角函数一、考情分析三角函数是基本初等函数之一，三角函数与三角恒等变换结合是高考考查的重点内容之一，也是高考的热点之一。在高考中，客观题、主观题均有所体现，近几年高考试题中，与三角函数有关的题目占到25分左右。有考查基础知识的选择、填空题，也有考查基本能力的解答题。由于高考考查时，主要以容易题和中档题为主，所以对学生来说是一个很重要的得分点，我们在复习中应该予以足够的重视。从近几年全国各地的高考试题来看,三角函数这部分的试题有以下特点:1.考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。2.考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。3.考应用，融入三角图形之中这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来倍受命题者的青睐，主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解。4.考综合，体现三角函数的工具性由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处命题。因而对三角知识的考查总是与平面向量、数列、立体几何、解析几何、导数等综合在一起来考查，突出三角的工具性作用。二、高考预测预计2010年的高考对本单元内容及题型的考查上会保持稳定，还是以低中档题为考查重点。1. 一般有2至3个选择、填空题主要考查三角函数的概念、图象和性质的问题，有一个解答题考查三角函数的图象和性质及三角变换，或者是以平面向量为背景考查三角，或者是三角形中正余弦定理及其应用；2.三角函数的定义以及直接考查三角函数图象的问题（做出一个周期的图像、根据图像特征写出解析式）虽然近三年没出现，估计在2010年的高考中就会成为考点。三、突破策略1攻略之一——抓牢三角函数的概念、图象和性质三角函数的图像和性质是处理三角函数问题的基础,也是高考试题命制的重要来源, 高考加强了对三角函数的图像和性质的考查，三角函数的图像和性质是本单元复习的重点，在复习时，要充分运用数形结合的思想，把图像与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上三角函数线来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既能有利于掌握三角函数的图象和性质，又能熟练的运用数形结合的思想、方法。会用“五点法”作给定周期内的函数的图像。例1（2009全国卷Ⅰ理）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）A. B. C. D.解: 函数的图像关于点中心对称由此易得.故选C例2(2009山东卷理)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D.【解析】将函数的图象向左平移个单位,得到函数即的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选B.答案:B【点评】本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形。2.攻略之二---熟练掌握三角函数的基本变换方法近几年的高考试题,降低了对三角变换的要求,但基本的三角变换应是处理三角函数问题,研究三角函数的图像和性质的基础,所以在复习中要熟练掌握三角变换的基本公式，弄清公式的推导关系和互相联系，把基本公式记准用熟。在三角变换中经常出现公式的逆用或变形，尤其是二倍角余弦公式、两角和差的正切的变形应用较为广泛。另外，辅助角公式应用也较多，也是考生常出错的地方，应引起注意。例3（2009北京文）（本小题共12分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.解:（Ⅰ）∵，∴函数的最小正周期为.（Ⅱ）由，∴，∴在区间上的最大值为1，最小值为.【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．例4(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值.(1) 求的值；(2) 在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C.解: （1）因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以（2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,因为,所以或.当时,;当时,.【点评】本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.3.攻略之三---注重培养三角函数的应用意识最近几年,随着新课标的普及及高考改革的不断深入,高考试题注重考察学生应用数学知识解决实际问题的能力,在这个背景下,三角应用题异军突起,成为高考中的一个热点,一些航海,测量等问题频繁出现在高考题中. 所以在复习中既要注意在有些实际问题中建立三角函数模型，利用三角函数知识来解决问题；更要注意在代数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等问题中建立三角函数模型，使问题获得简捷的解法.例5（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）解：在中，＝30°，＝60°－＝30°，所以CD＝AC＝0.1又＝180°－60°－60°＝60°，故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA在中，，即AB＝因此，故B、D的距离约为0.33km。四、考点精炼1. (2009年广东卷文)函数是A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数2. （2009浙江理）已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )3. （2008湖南卷6）函数在区间上的最大值是( )A.1 B. C. D.1+4. （2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则A. B. C. D.5. （2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是A.0 B.1 C.2 D.46. （2007海南、宁夏理3）函数在区间的简图是（ ）7. （2009北京文）若，则 .8. （2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 。9. （2007江西理18）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为。（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．10. （2009宁夏海南卷理）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。( http: / / www. / )参考答案1.【答案】A【解析】因为为奇函数,,所以选A.2. 答案：D【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．3. C4. 答案：D解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由选D5. C6. A7. 【答案】【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查。由已知，在第三象限，∴，∴应填.8. 解析: 设由正弦定理得由锐角得，又，故，9. 解析:（1）将，代入函数得，因为，所以．又因为，，，所以，因此．（2）因为点，是的中点，，所以点的坐标为．又因为点在的图象上，所以．因为，所以，从而得或．即或．10. 解析:方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的距离 d （如图所示）②第一步：计算AM，由正弦定理第二步：计算AN，由正弦定理第三步：计算MN，由余弦定理 .方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）。②第一步：计算BM，由正弦定理 ；第二步：计算BN，由正弦定理 ；第三步：计算MN，由余弦定理www.PAGE- 1 -21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 - 1 - 页 （共 9 页） 版权所有@21世纪教育网 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2010年高考数学热点：攻略三角函数.doc 2010年高考数学热点：攻略函数.doc 2010年高考数学热点：攻略应用性问题.doc 2010年高考数学热点：攻略探索性问题.doc
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