资源简介

小升初典型奥数 环形路线
1．甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛，两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米。当甲每次从后面追上乙时，甲的速度就减少1米/秒，而乙的速度增加0.5米/秒，直到乙比甲快。请问：领先者到达终点时，另一人距终点多少米？
2．运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘带了记时表，立刻骑上自行车送表给小明，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练骑自行车的速度是每小时25千米，那么教练送表给小明至少需要多少小时？
3．在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？
4．小明和小军在学校环形跑道上跑步，两人从同一点出发，反向而行，小明每秒跑4米，小军每秒跑6米，经过60秒两人相遇，跑道的周长是多少米？
5．圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？
6．甲用45秒可绕一环行跑道跑一圈，乙与甲同时从同地反向跑，每隔15秒，与甲相遇一次，乙跑完一圈用多少秒？
7．一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇
8．小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。小张速度是每小时5.4千米，小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周的行程是多少千米？
9．甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米， 乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇．那么绕湖一周的行程是多少？
10．幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？
11．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？
12．一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，它们又调头爬行，依次按照1、3、5、7、…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬5.5厘米和3.5厘米，那么经过多长的时间它们初次相遇？
13．甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后8分钟甲、乙第一次相遇，出发后的24分钟时甲、乙第二次相遇．假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在甲前多少米吗？
14．小张和小王各以一定速度，在周长为米的环形跑道上跑步．小王的速度是米/分．⑴小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？⑵小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
15．有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇．问：这个花圃的周长是多少米？
16．在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟？
17．绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行．小王以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟．两人出发后经过多长时间第一次相遇？
18．丁丁和丽丽从圆形街心花园的同一地点出发，同向而行，20分钟后两人再一次相遇。丽丽每分钟走70米，丁丁每分钟走85.7米。这个圆形街心花园的占地面积是多少？
19．两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇。
20．小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？
21．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停的爬行，乙爬行了15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？
22．甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长米，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米。
（1）如果甲、乙两人在跑道上相距米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
（2）如果甲在乙前面米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
23．甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
24．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分．
（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？
（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
25．上海小学有一长米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑米，小胖每秒钟跑米．
小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？
小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？
26．环形跑道一圈长为400米，甲、乙两人同时从同一起跑线沿跑道同向而行，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米．问（l）甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？（2）甲第二次追上乙时，在起跑线前多少米？（3）甲第二次追上乙时，两人各走了多少圈？
27．在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？
28．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？
29．一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行。黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米。经过几分钟才能相遇
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参考答案：
1．36米。
【分析】要求领先者到达终点时，另一人距终点多少米，应先求得另一人已经跑了多少米，再求领先者到达终点时的时间和另一人此时的速度，要求领先者到到终点的时间，应求出他距终点的路程和此时的速度，再依据数量关系即可列式计算。
【详解】甲追乙1圈时，甲跑了
8×[400÷（8﹣6）]
＝8×200
＝1600（米），
此时甲、乙的速度分别变为6米/秒和5.5米/秒。甲追上乙2圈时，甲跑了
1600＋6×[400÷（6﹣5.5）]
＝1600＋6×800
＝6400（米），
此时甲、乙的速度分别变为4米/秒和5米/秒。乙第一次追上甲时，甲跑了
6400＋4×[400÷（5﹣4）]
＝6400＋1600
＝8000（米），
乙跑了8000﹣400＝7600（米）。此时，甲、乙的速度分别变为4.5米/秒和5.5米/秒。乙跑到终点还需
（10000﹣7600）÷5.5
＝2400÷5.5
＝（秒），
乙到达终点时，甲距终点
（10000﹣8000）﹣4.5×
＝2000﹣1963
＝36（米）。
答：领先者到达终点时，另一人距终点36米。
【点睛】此题主要考查环形跑道的追及问题，关键是弄明白随着速度的变化，快到终点时乙的速度要快一些。
2．0.5小时
【详解】同向而行时，需要：15×1÷（25-15）
=15×1÷10
=1.5（小时）
相向而行时，需要：（35-15×1）÷（15+25）
=（35-15）÷40
=20÷40
=0.5（小时）
0.5＜1.5
答：教练送表给小明至少需要0.5小时．
【点睛】解题关键是环形跑道上，教练追上小明有两种走法：一是同向而行；二是相向而行；分别算出所用时间对比即可得解．
3．6 4
【详解】甲乙的速度和为：(米/秒)，甲乙的速度差为：(米/秒)，甲的速度为：(米/秒)，乙的速度为：(米/秒)．
4．600米；600
【分析】根据数量关系式：路程＝速度和×相遇时间，用小明每秒跑的米数加上小军每秒跑的米数，即为两人每秒跑的米数和，再用两人每秒跑的米数和乘相遇的时间，即为跑道的周长。
【详解】（4＋6）×60
＝10×60
＝600（米）
答：跑道的周长是600米。
5．5次
【详解】设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为．因为，设，，甲要追上乙则需比乙多跑圈，，，即甲追上乙时所花时间，则甲追上乙时，所走路程为；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即为偶数，所以（最多多跑10圈）；综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次．
6．22.5秒
【分析】由于乙与甲同时从同地反向跑，甲用45秒可绕环行跑道跑一圈，15秒相遇时，二人共同跑完一圈．乙15秒所跑的路程就相当于甲45－15=30（秒）所跑的路程，因此，二人的速度关系就比较容易确定了．
【详解】解：由于同一段路程所用时间越少，速度越快，因此，乙的速度是甲的速度的：（45－15）÷15=2（倍），由此，可以判断出乙跑一圈所用的时间是甲的一半．所以，乙跑完一圈用：45÷2=22.5（秒）．
【点睛】合理的转化问题，抓住甲、乙运动中的关系，是这道题目的“突破口”．
7．8分钟
【详解】小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟
8．4.2千米
【分析】由题意知：要先把时间单位统一，小张的速度是每分钟0.09千米；小王的速度是每分钟0.07千米，由题意“半小时后小李和小张相遇”知小张行走的路程是他的速度×30；由“再经过5分钟，小李与小王相遇”，知小王行走的路程是他的速度×（30＋5），小张和小王的路程差即是小李5分钟走的路程，可求出小李的速度，由“半小时后小李和小张相遇”得出小张走的路程＋小李走的路程＝全程。
【详解】1小时＝60分
小张的速度每分钟是：5.4÷60＝0.09（千米）
小张半小时走的路程是：0.09×30＝2.7（千米）
小王的速度每分钟是：4.2÷60＝0.07（千米）
小王35分钟走的路程是；0.07×35＝2.45（千米）
小李的速度每分钟是：
（2.7－2.45）÷5
＝0.25÷5
＝0.05（千米）
绕湖一周的行程是：
（0.05＋0.09）×30
＝0.14×30
＝4.2（千米）
答：绕湖一周的行程是4.2千米。
【点睛】解决此题的关键是小张与小王的路程差是小李5分钟所走的路程，算出小李的速度。
9．4.2
【详解】30分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙和丙从出发到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）．
10．600 400,6 4
【详解】这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致．因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程．
①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：(秒)
②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：(米)
③晶晶第一次被追上时所跑的路程：(米)
④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：(圈)
⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：(圈)
11．30分钟
【分析】由题意可知，相遇时走的路程差是圆形跑道的整数倍，甲、乙、丙三人两两相遇时的路程差都是300米，根据“路程差÷速度差”计算甲乙、甲丙、乙丙分别经过多少分钟相遇，再求出它们的最小公倍数即可。
【详解】甲乙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－100）
＝300÷20
＝15（分钟）
甲丙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－70）
＝300÷50
＝6（分钟）
乙丙第二次相遇时经过的时间：300÷（100－70）
＝300÷30
＝10（分钟）
2×3×5＝30（分钟）
答：30分钟之后3人又可以相聚。
【点睛】本题主要考查环形路线中的追及问题和最小公倍数的应用，灵活运用追及问题的计算公式是解答题目的关键。
12．64分
【详解】解：因为圆的半周长是：1.44÷2=0.72（米）=72（厘米）．如果不考虑往返的情况，两只蚂蚁所需的相遇时间是：72÷（5.5＋3.5）=8（分）．然后再考虑往返的情况，如下表：
经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16
向上半圆爬行的时间 1 2 2 2 1
向下半圆爬行的时间 2 2 2 2
不难看出，第15分钟后，两只蚂蚁向下半圆爬行刚好都需要8分钟．
根据表格分析，它们初次相遇的时间是：1+3+5+7+9+11+13+15=64（分）．
【点睛】利用列表法进行分析，也是解决行程问题常用的手段．
13．200米
【分析】题目中包含有两个追及问题．第一个追及问题发生在从出发到甲追上乙，即两人第一次相遇，在这个过程中追及时间为8分钟，其他两个量都没有给出．在第二个追及问题中应注意到环形跑道的特殊性，即当两人同时出发到再次相遇，速度快的人比速度慢的人多走了一圈，因此路程差为400米，追及时间为（24-8）分钟．则速度差可求，再把这个速度差代回到第一个问题中，则可求出第一个追及问题中的路程差．
【详解】甲、乙的速度差：400÷（24-8）=25（米／分钟）
甲、乙开始时相距：25×8=200（米）
答：出发时乙在甲前200米．
【点睛】在环形跑道中的追及问题，路程差的计算不同于在直道上的追及问题，它是与跑道周长的倍数相关的，同一地点出发后的第一次相遇路程差是1倍的跑道周长，第二次相遇则为2倍的跑道周长．
14．300 3
【详解】⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．小张的速度是（米/分）．
⑵在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：（分）．（圈）．
15．8892米
【详解】第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）第一个追及：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追及过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷ （38-36）=114（分钟）
第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）
【点睛】这个三人行程的问题由两个相遇、一个追及，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间．把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰．
16．6分钟 12分钟
【详解】把这个跑道的长度看做整体“1”，
则较快的速度为：（＋）÷2
＝÷2
＝
较慢的速度是：
所以跑完一圈较快的需要时间：1÷＝6（分钟）
较慢的跑完一圈需要时间：1÷＝12（分钟）
答：各跑一圈时，较快的需要6分钟，较慢的需要12分钟。
17．2小时40分
【分析】根据题意，可以发现，每1小时5分，小王走4千米，休息5分钟，每1小时小张走6×=5（千米），休息10分钟，而湖一周的长度是24千米，很容易估算出两人相遇的时间应该在2个多小时．这样在两轮休息后不用休息两人就可以相遇．因此只要求出两轮休息后到相遇所用的时间，就可以使问题得以解决．
【详解】解：到第二轮休息时，也就是2小时10分，小王共走了4×2=8（千米），而小张走了5×2+6×=11（千米）．这时两人还相距24－（8＋11）=5（千米）．由于从此时到相遇已经不需要休息，因此，共同走完这5千米两人共需的时间是：5÷（4＋6）=0.5（时）=30（分）．所以，他们第一次相遇共需2小时10分＋30分=2小时40分．
18．7850平方米
【分析】同向而行，20分钟后两人再一次相遇可知：第一次相遇丁丁比丽丽多走了一圈，这一圈刚好是一个圆形，利用路程＝速度差×时间求出周长，再通过半径＝圆的周长÷π÷2求出半径，最后通过圆的面积＝π×半径×半径来求出圆形街心花园的占地面积。
【详解】（85.7－70）×20
＝15.7×20
＝314（米）
圆的半径：314÷3.14÷2
＝100÷2
＝50（米）
圆形街心花园的占地面积：3.14×50×50
＝3.14×2500
＝7850（平方米）
答：这个圆形街心花园的占地面积是7850平方米。
【点睛】此题考查的追赶问题，熟练掌握速度差×时间＝路程以及圆的周长和面积公式是解题的关键。
19．315秒
【详解】（4＋3）×45
＝7×45
＝315（米）
315÷（4－3）
＝315÷1
＝315（秒）
答：315秒后两人再次相遇。
20．60
【详解】小新第一次超过正南时比正南多跑了一圈，根据，可知小新第一次超过正南需要：(分钟)，第三次超过正南时比正南多跑了三圈，需要(分钟)．
21．3.75厘米/秒
【详解】根据题意，甲共行了70－30=40（厘米），所需的时间是40÷4=10（秒）．在10秒内乙按原速爬了15厘米，按2倍的速度爬行了15+30=45（厘米），因此，不难求出乙原有的速度．
解：因为，甲共行了70－30=40（厘米），所需的时间是40÷4=10（秒）．10秒内乙爬行：15+30=45（厘米），假设10秒乙全是按原速爬行，可爬行：15+45÷2=37.5（厘米），所以，乙原有的速度是：37.5÷10=3.75（厘米/秒）．
22．（1）28秒；
（2）196秒
【分析】（1）相遇时间＝（跑道一圈的长度－8米）÷（甲的速度＋乙的速度）；
（2）求两人首次相遇就是求甲追上乙的时间，从开始到相遇甲比乙多跑了（400－8）米，追及时间＝路程差÷（甲的速度－乙的速度）；据此解答。
【详解】（1）（400－8）÷（6＋8）
＝392÷14
＝28（秒）
答：经过28秒两人首次相遇。
（2）（400－8）÷（8－6）
＝392÷2
＝196（秒）
答：经过196秒两人首次相遇。
【点睛】掌握环形中相遇和追及问题的解题方法是解答题目的关键。
23．100
【详解】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为米，因为甲的速度为每秒钟跑米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行米才能回到出发点．
24．（1）220米/分（2）5.5圈
【详解】（1）75秒-1.25分
两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.
小张的速度是500÷1.25-180=220（米/分）
（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长）.
因此需要的时间是500÷（220-180）＝12.5（分）
220×12.5÷500＝5.5（圈）
答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王.
25．900 600,4 6
【详解】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要秒，小亚跑了（米）．小胖跑了（米）；第一次追上时，小胖跑了圈，小亚跑了圈，所以第二次追上时，小胖跑圈，小亚跑圈．
26．（1）甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米．
（2）甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上．
（3）甲第二次追上乙时，甲走了12圈，乙走了10圈．
【详解】（1）甲第一次追上乙时所用时间：400÷（120-100）=20分钟）
这时：甲走了120×20=2400（米） 乙走了100×20=2000（米）
（2）第二次追上乙时所用时间为第1次的2倍，即40分钟，这时甲走了120×40=4800（米）
4800÷400=12（圈），说明甲此时在起跑线上．
（3）甲第二次追上乙时，甲走了120×40÷400=12（圈）
乙走了100×40÷400=10（圈）
答：甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米．甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上．这时甲走了12圈，乙走了10圈．
27．4米/秒 6米/秒
【详解】同向而跑，这实质是快追慢．起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大．接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈．背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和速度和相遇时间．同向而行2分30秒相遇，2分30秒＝150秒，两个人的速度和为：（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：（米/秒）.两人的速度分别为：(米/秒)，(米/秒)
28．猫跑8437.5米，狗跑23437.5米，兔跑16537.5米
【分析】由题意，根据路程、时间之间的关系，可以求得猫与狗的速度之比为9∶25，猫与兔的速度之比为25∶49。设单位时间内猫跑1米，则狗跑米，兔跑米；据此可求狗追上猫一圈需要的时间以及兔追上猫一圈需要的时间；进而求出猫、狗、兔再次相遇的时间，则各自跑的路程可求。
【详解】由题意可知，猫与狗的速度之比为9∶25，猫与兔的速度之比为25∶49。
设单位时间内猫跑1米，则狗跑米，兔跑米；
狗追上猫一圈需300÷（－1）＝（单位时间）
兔追上猫一圈需300÷（－1）＝（单位时间）
猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍。
与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即
[，]＝＝8437.5
上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第1次相遇。此时，猫跑了8437.5米，狗跑了：8437.5×＝23437.5（米），
兔跑了8437.5×＝16537.5（米）。
答：当它们出发后第一次相遇时，猫跑了8437.5米，狗跑了23437.5米，兔跑了16537.5米。
【点睛】首先根据它们的速度比求出狗追上猫一圈、兔追上猫一圈所需的时间单位是完成本题的关键。
29．4分钟
【分析】两人相遇时，两人走的路程和恰好等于跑道的周长。黄莺和麻雀每分钟共行125米，那么跑道的周长有几个125米，就需要几分钟。据此利用除法求解即可。
【详解】500÷（66＋59）
＝500÷125
＝4（分钟）
答：经过4分钟才能相遇。
【点睛】本题考查了相遇问题，相遇时两人的路程和恰好等于跑道的周长。
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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