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2024-2025学年华东师大版（2024）七年级数学下册期末真题
专项练习 04 解答题
一、解答题
1．（2024七下·长春期末）在中，，，，，是线段的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点的运动时间为秒．
（1）___________(用的代数式表示)；
（2）点出发 ___________秒后，；
（3）当时，求的值；
（4）在点运动的同时，有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿作往返运动，当点运动到终点时，点也随之停止运动，在两点运动的过程中，若为等腰三角形，直接写出的值．
2．（2024七下·乾安期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点P、点Q同时出发，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点A、点B、点C的坐标，AO和BC位置关系是________；
（2）如图（1）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，设此时点P、点Q的运动时间为t，
①请分别用含t的式子表示和的面积
②若，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系．
3．（2024七下·和平期末）如图，分别过的顶点A，作．若，，求的度数．
4．（2024七下·西安期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，是的中点，，求的度数．
5．（2024七下·宁远期末）解方程组：
（1）
（2）
6．（2024七下·新安期末）(1)如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；
(2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
(3)用你发现的结论解决下列问题：
如图，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数.
7．（2024七下·富锦期末）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与．
（1）求点的一对“相伴点”的坐标；
（2）若点的一对“相伴点”重合，求的值；
（3）若点的一对“相伴点”之一为，求点的坐标．
8．（2024七下·山阳期末）为了丰富学生课后服务活动，某中学准备购买足球、排球两种体育用品，已知购买1个足球和4个排球的费用为190元，购买3个足球和2个排球的费用为220元．
（1）求每个足球和每个排球各多少元？
（2）该学校若购买足球和排球共60个，且支出不超过2600元，那么足球最多能买多少个？
9．（2024七下·山阳期末）已知点在平面直角坐标系内．
（1）若点在第四象限，求的取值范围；
（2）若点在坐标轴上，求的值．
10．（2024七下·玉州期末）【提出问题】已知，且，，试确定的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵，∴．
又∵，∴，∴．
又∵，∴，①
同理得②
由得．
∴的取值范围是．
【尝试应用】已知，且，，求的取值范围．
11．（2024七下·宁远期末）某船顺流航行48km用了4h，逆流航行32km也用了4h，船在静水中的速度、水流的速度各是多少？
12．（2024七下·山阳期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值．
13．（2024七下·邵东期末）解方程组：
（1）
（2）
14．（2024七下·耒阳期末）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积．
15．（2024七下·西安期末）某天中午，小明从文具店步行返回学校，与此同时，小亮从学校骑自行车去文具店购买文具（购买文具时间忽略不计），然后原路返回学校，两人均匀速行驶，结果两人同时到达学校．小明、小亮两人离书店的路程，（单位：米）与出发时间单位：分）之间的函数图象如图所示．
（1）学校和文具店之间的路程是________米，小亮的速度是小明的速度的_________倍；
（2）小明与小亮迎面相遇以后，再经过多长时间两人相距30米．
16．（2024七下·高唐期末）如图，在中，，，平分，，点是从点沿向点运动的一动点，过点作于点．
（1）如图1，当点与点重合时，求的度数；
（2）如图2，当点位于点，之间时，求的度数．
17．（2024七下·北京市期末）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组的“友好方程”．
（1）请你写出一个方程，使它为不等式组的“友好方程”；
（2）若关于x的方程是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，直接写出m的取值范围．
18．（2024七下·鼓楼期末）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值．
（1）已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值；
（2）若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值．
19．（2024七下·长春期末）对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：．
（1）_______；
（2）若，求x的取值范围；
（3）若，直接写出x的值．
20．（2024七下·顺河期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解，因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x、y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式，例如：方程组可以写成矩阵的形式．
（1）填空：将写成矩阵的形式．
（2）若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．
21．（2024七下·南开期末）在平面直角坐标系中，原点，点，点，连接并延长到点，且，满足．将线段沿轴向右平移得到线段，平移后点，的对应点分别为，，且点．记为，为．
（1）直接写出点的坐标：___________；
（2）①如图1，当点在线段（不包含线段的端点，）上时，直接写出：__________（度）；
②如图2．连接，，当三角形的面积为时，求的值，并求出此时与的数量关系；
（3）作直线，在直线上有动点（点不与重合），点的横坐标为，连接，．若三角形的面积不大于，直接写出的取值范围．
22．（2024七下·长子期末）如图1，点为直线上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点处，直角边，分别在射线，上，且，．
（1）将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时三角板旋转的角度为______度；
（2）继续将图2中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图3的位置，若，求的度数．
23．（2024七下·青岛期末）超市现有两类精美笔记本出售，由于A类笔记本销售情况不好，现开展如下活动，如果一次性购买A类笔记本超过10本，则超过10本的部分每本将优惠1.5元，B类笔记本保持原售价．已知一次性购买A类笔记本或一次性购买B类笔记本的费用y（单位：元）与购买数量x（单位：本）之间的图象关系如图所示，请结合图象，回答下列问题：
（1）当时，A类笔记本售价________元/本，B类笔记本售价_________元/本：当时，________本时，一次性购买A类笔记本与一次性购买B类笔记本的销售额相同．
（2）超市现对B类笔记本也采用类似的活动方案．如果一次性购买B类笔记本超过30本，则超过30本的部分每本将享受七五折优惠．已知初2025级某班现一次性从该超市购买了A类笔记本与B类笔记本共80本用于班级奖励，其中购买的A类笔记本的数量超过了10本，共花费元．聪明的你知道该班购买了多少本B类笔记本吗
24．（2024七下·西安期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，求边上的中线的取值范围
第一小组得到了如下的解决方法：
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把，，转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________；
【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________；
①；②；③；④
【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，求的面积．
25．（2024七下·厦门期末）在平面直角坐标系中，，．
（1）若，是的整数部分，则______．
（2）将，平移后得到，，且，，求与的位置关系．
（3）若，，设，点，连接交轴于点，且，，若存在的值，使得，求的取值范围．
26．（2024七下·长沙期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”．
（1）①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）；
②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______；
（2）若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围；
（3）已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根．
27．（2024七下·长沙期末）解方程组：
28．（2024七下·惠来期末）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示．
（1）请直接写出，，之间的等量关系________．
（2）若，，求的值．
（3）如图3，线段，点是上的一点，分别以、为边长在的异侧做正方形和正方形，连接；若两个正方形的面积，求阴影部分面积．
29．（2024七下·中山期末）对于两个关于x的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“双整”的．例如不等式和不等式只有1和2两个整数使得这两个不等式同时成立，所以不等式和不等式是“双整”的．
（1）判断不等式和是否是“双整”的并说明理由；
（2）若不等式和是“双整”的，求a的最大值．
30．（2024七下·白云期末）如图1，已知，，将线段向右平移到交x轴于点M，连接，．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为______；
（2）求的面积和点M的坐标；
（3）如图，若点为四边形内的一点，且，求m，n之间满足的等量关系并直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．（1）
（2）
（3）
（4）或
2．（1），，，
（2）①；；②
（3）或
3．
4．
5．（1）
（2）
6．(1)∠1+∠2=∠3+∠4；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3) 60°.
7．（1）与
（2）
（3）或
8．（1）一个足球50元，一个排球35元
（2）33个
9．（1）
（2）或6
10．
11．船在静水中的速度为10km/h，水流的速度为2km/h
12．
13．（1）；（2）
14．6
15．（1），2
（2）小明与小亮迎面相遇以后，再经过分钟或分钟两人相距30米
16．（1）
（2）
17．（1）（答案不唯一）
（2）
（3）
18．（1）0
（2），，1，2
19．（1）2；
（2）；
（3）x的值为或4．
20．（1）
（2）
21．（1）
（2）①；②，
（3）的取值范围是和
22．（1）45
（2）
23．（1）5，4，30
（2）该班购买了35本或25本B类笔记本．
24．（1）；（2）②③；（3）
25．（1）3
（2）
（3）
26．（1）①B，C；②
（2）
（3）的平方根为．
27．
28．（1）
（2）解：由（1）题结果可得，
∴，
∴的值为；
（3）解：设则 ，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为17．
解：（1）由图2各部分的面积关系得：，
故答案为：；
（1）根据由图2得大正方形的面积-小正方形的面积=四个长方形的面积之和，求解即可；
（2）根据代入数值求解即可；
（3）设，根据求出，再利用三角形得面积公式即可求解．
29．（1）解：不是，
理由如下：联立，，
解不等式组得，
满足条件的整数有三个：1、2、3，所以这两个不等式不是“双整”的.
（2）解：解不等式，得，
若和是“双整”的，
，则满足的整数有两个：2和3，
，
解得：，
故的最大值为9．
（1）先联立不等式组求出，再求出整数解即可；
（2）先求出，再结合“的整数有两个：2和3”可得，再求出a的范围即可.
30．（1）
（2）解：如图所示，设与y轴交于F，
∵将线段向右平移到，
∴轴，轴，
∵
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）
（1）解：∵将线段向右平移到，，，
∴点D到的距离为3，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图所示，过点P作轴分别交于G、H，
∵，，，
∴，
∴
，
∴，
∴
当时，；当时，
∵点P为四边形内部一点，
∴.
（1）先求出点D到的距离为3，，再结合， 求出， 从而可得；
（2）设与y轴交于F，先求出，再结合， 可得， 求出， 从而可得点M的坐标；
（3） 过点P作轴分别交于G、H， 先求出， 再求出， 再求出 ，可得 当时，；当时， ，从而可得 .

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