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2024-2025学年沪科版（2024）七年级数学下册期末真题
专项练习 04 解答题
一、解答题
1．（2024七下·安徽期末）阅读与思考
整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”． 例如：将式子分解因式． 解：.
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．
2．（2024七下·马鞍山期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
（1）若，，求的值．
（2）若，求的值．
（3）根据上面的解题思路与方法解决下列题：如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积．
3．（2024七下·六安期末）年，贵州省出台“引客人黔”团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复苏．某旅行社5月1日租住某景区A、B两种客房一天下面是有关信息：用元租到A客房的数量与用元租到B客房的数量相等．已知每间A客房的单价比每间B客房的单价多元．
（1）求A，B两种客房的单价分别是多少；
（2）若租住A，B两种客房共间，A客房的数量不低于B客房数量的，且所花总费用不高于元，求有哪几种租住方案．
4．（2024七下·界首期末）超市分两次购进甲、乙两种商品若干件，进货总价如下表：
　 甲 乙
第一次 1200元 900元
第二次 总共不超过1262元
（1）第一次购进甲商品件数是乙商品件数的2倍，且甲商品的单价比乙商品的单价便宜10元/件，求甲商品的单价；
（2）第二次共购进50件，两种商品的单价与第一次相比，甲提高了10%，乙降价了10%，问此次最多购进乙商品多少件？
5．（2024七下·叶集期末）（1）如图，对一个正方形进行了分割，可得到我们学习过的一个乘法公式，其为_______；
（2）利用（）中等量关系解决下面的问题：
，，求的值；
如图，点是线段上的一点，分别以，为边向线段两侧作正方形，正方形，设，两正方形的面积和为，求的面积．
6．（2024七下·利辛期末）（1）【问题提出】如图1，已知，点分别是直线上的点，连接，设．当时，求的值；
（2）【问题引申】如图2，已知，求的度数；
（3）【问题拓展】如图3，已知平分平分．若，求的度数．
7．（2024七下·利辛期末）【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的乘法公式是______________；
（2）根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值；
（3）把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积．
8．（2024七下·利辛期末）如图，已知直线与直线相交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）若，平分，求的度数．
9．（2024七下·淮北期末）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，．
（1）求不等式的解集；
（2）若关于x的不等式的解都是（1）中不等式的解，求n的取值范围．
10．（2024七下·淮北期末）如图所示的是某大院窗格的一部分，其中“O”代表窗格上所贴的剪纸，设第x个窗格上所贴“O”的个数为y．
（1）填写下表．
x 1 2 3 4 5 x
y 5 8 11
17 （用含x的式子表示）
（2）若第x个窗格上所贴的“O”的个数大于50，求x的取值范围．
11．（2024七下·凤阳期末）如图，，点A为直线上一定点，B为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点D，使得，设（为锐角）．
（1）求的值；
（2）当点B在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值．
12．（2024七下·寿县期末）解不等式：.
13．（2024七下·安徽期末）已知，关于x的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求b为何值时分式方程无解；
（3）若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
14．（2024七下·安徽期末）两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．
（1）用含，的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值．
15．（2024七下·合肥期末）如图1，已知，将一块含角的直角三角板按如图所示放置（），使顶点B落在边上，绕点B转动三角板，始终保持点C在的上方，过点C作．
（1）当___________°时，．
（2）如图2，作的角平分线．
（ⅰ）若，求的度数，
（ⅱ）将三角板绕点B转动，当三角板有一边与垂直时，求的度数．（直接写出答案）
16．（2024七下·合肥期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米、宽为b米的鱼池供观赏．
（1）求绿化的面积是多少平方米？
（2）若，时，求绿化面积、
17．（2024七下·贵池期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的小数部分是______，的小数部分是______；
（2）若，其中是整数，且，求与的值．
18．（2024七下·太湖期末）若x满足，求的值．
解：设，
则，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
19．（2024七下·太湖期末）已知ABCD，点E在AB与CD之间．
（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
20．（2024七下·霍邱期末）梅雨季节即将来临，某防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一盏探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯A射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，探照灯B射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光束的转动速度是/秒，探照灯B射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．
（1）求，的值．
（2）如图2，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光束首次到达之前，两探照灯射出的光束交于点C．
①过点C作，请写出与的位置关系：________，依据：________________
②若，求的度数．
（3）若探照灯B射出的光束先转动40秒，探照灯A射出的光束才开始转动，在探照灯B射出的光束第一次到达之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯A转动的时间：________．
21．（2024七下·霍邱期末）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）．
（1）观察：从整体看，图2和图3的大正方形的边长都为，所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，记为结论①．由于整个图形的面积等于各部分面积的和，所以图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ________，记为结论②；
同样，图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：________，记为结论③．
（2）思考：
由结论①和结论②，可以得到等式________________
由结论②和结论③，可以得到等式________________
（3）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值．
22．（2024七下·宁国期末）某水果商两次去批发市场采购同一种水果，第一次用2000元购进了若干千克，很快卖完，第二次用3000元所购数量比第一次多100千克，且每千克的进价比第一次提高了20%．
（1）求第一次购买水果的进价；
（2）求第二次购买水果的数量：
（3）该水果商按以下方案卖出第二批的水果：先以元/千克的价格售出千克，再以8元/千克的价格售出剩余的全部水果，共获利1600元．若，均为整数，且不超过第二次进价的2倍，求和的值．
23．（2024七下·民勤期末）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
24．（2023七下·迎江期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，，求的相反数．
25．（2022七下·宜春期末）阅读下面的材料：
对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）______；
（2）当时，求x的取值范围．
26．（2023七下·怀远期末）某学校2021年在某商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费4000元，购买乙种足球共花费2800元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2022年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
27．（2023七下·瑶海期末）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
28．（2023七下·迎江期末）已知关于x的方程
（1）当时，求方程的解；
（2）当m取何值时，此方程无解；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
答案解析部分
1．（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
（1）直接根据"十字相乘法"分解因式，即可得出结果；
（2）先提公因式x，再用十字相乘法进行因式分解，即可得出结果；
（3）先把常数项-6分解成两个因数的积，写出所有可能的结果，然后把两个因数相加，就可得出p所有可能的值。
2．（1）7
（2）7
（3）4
3．（1）A，B两种客房的单价分别是元，元
（2）有3种方案，分别为：
方案1：租住客房间，则租住客房间；
方案2：租住客房间，则租住客房间；
方案3：租住客房间，则租住客房间
4．（1）甲商品的单价为20元；（2）此次最多购进乙商品32件
5．（）；（）；．
6．（1）（2）（3）
7．（1）
（2）4
（3）120
8．（1）
（2）
9．（1）
（2）
10．（1）14，
（2）．
11．（1）90°
（2）30°
12．.
13．（1）
（2）
（3）3、29、55、185
14．（1），
（2）
15．（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）或或
16．（1）平方米
（2）平方米
17．（1），；
（2）10，．
18．（1）11；（2）28．
19．（1）∠BED=∠ABE+∠CDE
（2）∠BED=2∠BFD
（3）∠BED=360°-2∠BFD
20．（1）
（2）①平行，如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②
（3）秒或秒
21．（1），
（2），
（3）
22．（1）第一次购买水果的进价为5元/千克
（2）第二次购买水果的数量为500千克
（3）当a的值为12时，m的值为150；当a的值为11时，m的值为200；当a的值为10时，m的值为300
23．（1），，
（2）
24．（1）4，
（2）
（3）
25．（1）﹣1 ；（2）x≥
26．（1）一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元；
（2）这所学校最多可购买20个乙种足球
27．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒
28．（1）；
（2）；
（3）且

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