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2025年全国高考数学模拟卷
考生须知：
1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3. 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4. 考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．
1．已知集合，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（是虚数单位），则（ ▲ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则（ ▲ ）
A．5 B．3 C． D．
4．函数在上的图象是（ ▲ ）
A． B． C． D．
5．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ▲ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在中，角的对边分别为，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于两点，且，其中为坐标原点，则的离心率为（ ▲ ）
A．5 B． C．4 D．
8．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正数满足，则（ ▲ ）
A． B．
C． D．
10．若各项为正的无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为等方差数列．那么（ ▲ ）
A．是等方差数列
B．若数列是等方差数列，则数列是等差数列
C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
D．若数列是等方差数列，则数列（，为常数）也是等方差数列
11．设函数，则（ ▲ ）
A．是的极值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卷的相应位置．
12．二项式的展开式的常数项是 ▲ ．
13．已知三棱锥的侧棱两两夹角都等于，三个侧面三角形的面积分别为，满足
，则三棱锥的体积是 ▲ ．
14．盒子中有3个红球，4个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入5个同色球，则第三次取出红球的概率为 ▲ ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春．又到春暖花开时，校园的樱花如约而至．浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫．师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光．每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”．从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示：
樱花迷 非樱花迷
男 5m 5
女 40 2m
（1）求的值；
（2）根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？
（3）现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：参考公式：，其中．
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（15分）已知抛物线的焦点为，上动点到点的最小距离为1．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，求的值．
17．（15分）如图，棱长为2的正四面体中，为直线上的动点，满足．
（1）若，证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成夹角为，求线段的长度．
18．（17分）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若存在，使得．证明：．
19．（17分）对于一个严格递增的无穷正整数数列，如果对每个正整数，这个数列前项的平均数为，则称这个数列是“中立的”．数列的通项公式为．
（1）证明：数列是“中立的”；
（2）证明：对于任意一个“中立的”数列，对任意正整数，均有
；
（3）证明：对于任意一个“中立的”数列，均存在无穷多个正整数，使得．
2025年全国高考数学模拟卷参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C A A B D B
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD BCD BC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卷的相应位置．
12 13 14
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】
（1）由题意可得，解得．
（2）零假设：“樱花迷”与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到：，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即“樱花迷”与性别无关联．
（3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人，
故的可能取值为0，1，2，
则．
所以的分布列为
0 1 2
故．
16．【解析】
（1），由题意可得，所以，所以抛物线的标准方程为．
（2）抛物线的焦点，设直线的方程为，，，
联立，得，所以，
由，解得，
由，解得或-3，
所以或3．
17．【解析】
（1）取中点，中点，连，，，
由正四面体，可得，
因为，
所以，所以，所以．
由，可得，所以，
所以，所以．
又因为，所以平面，
所以平面平面．
（2）方法一：
由（1），所以平面，所以平面平面，
又因为平面平面，作，则平面，
所以即为直线与平面所成线面角的平面角，即，
因为，所以平面，
所以，所以，所以．
方法二：
如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
设平面的法向量为，则，解得，所以，解得，所以．
18．【解析】
（1）当时，，，所以．
又因为，所以切线方程为．
（2）设，只需在时恒成立即可，
又，且，所以，即．
下面证明的充分性：
①当时，由，，
令，所以，
所以，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，所以恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
（3）方法一：由函数．可得，
设，由，可得，则，由（2）知，当时，，则时，，
所以，则，所以，
代入可得：，
则，所以．
方法二：由函数，可得，
设，由，可得，则，
要证：，即证：，
只需证：．
令，设，则，
所以在上单调递增，则，
综上所述，．
19．【解析】
（1）证明：因为的前项平均数为，所以数列是“中立的”
（2）证明：因为，
又由题意，，
所以．
（3）证明：若存在无数多个，使得，
则，
所以对于这些，命题成立．
若只有有限个，使得，则存在，当时，，
又由（2），若对于任意的恒成立，
则当时，矛盾，
所以存在，
又当时，，所以当时，．
若存在当，则当，
当时，矛盾．
所以当恒成立，命题得证．

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