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2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项
二次函数与平行四边形存在性问题
1．已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．
2．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E．
(1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标．
(3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值；
(3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数表达式：
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
5．如图1，河面上架有一座彩虹桥，桥的支撑梁呈抛物线形．建立如图2所示的平面直角坐标系（桥面所在直线为x轴），已知，，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当桥面离河面的高度是时，求抛物线形支撑梁在河面上的跨度是多少米？
(3)若点P为线段上一点，以，为邻边做平行四边形，当点Q在抛物线上时，求P点的坐标．
6．如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点．
(1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知：抛物线分别交轴于、两点，交轴于点．
(1)若顶点的横坐标为．
①求抛物线的解析式；
②如图①，直线分别与轴，轴交于、两点，将直线沿轴正方向平移个单位得直线，直线和抛物线相交于点、，是否存在，使四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
(2)如图②，若直线平行于交抛物线于点、，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值．
8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
(3)点在线段上运动时，是否存在点，使得四点围成的四边形面积最大？若存在，求出点的坐标，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．
9．如图，直线分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线过B，C两点，其顶点为M，对称轴与直线交于点N．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)点P是线段上一动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点Q．是否存在点P，使四边形为平行四边形？并说明理由．
10．已知抛物线交轴于，两点，顶点为点，点为的中点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点为线段的中点，过点作，垂足为点，交抛物线于点，求线段的长；
(3)点为线段上一动点（点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点落在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，，直接写出的最小值．
11．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式及点坐标；
(2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
12．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求的值；
(2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
13．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．
(1)求直线的表达式．
(2)点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标．
(3)在（2）的条件下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上一动点，在抛物线上找一点P，使以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，若点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接，求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)若点M为抛物线对称轴上一点，请在图2中探究抛物线上是否存在点P，使得以B，C，M，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过点D作，交直线l于点E，作直线．

(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式；
(2)如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接与交于点Q，当点Q为线段的中点时，求m；
(3)若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
《2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与平行四边形存在性问题》参考答案
1．(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出B、C坐标，进而求出直线的表达式为，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再由，，列出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，得
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中标，当时，，
解得，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将代入，得，
解得，
直线的表达式为，
抛物线表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴交于点．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
四边形面积的最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为3，
设，
由（2）得，，
分以下三种情况讨论：
①当为的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
②当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，；
③当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得
，
．
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
2．(1)四边形是平行四边形，理由见解析；
(2)或或；
(3)存在，或或或
【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）证明，即可得到是平行四边形；
（2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可；
（3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵抛物线与y轴交于点C，
令，则，
∴点，
令，则，
解得，
∴，，
∴由平移的性质可知，
∵，
∴是平行四边形；
（2）∵抛物线的解析式为，
∴点，
设点，
∵，，
①若为的对角线时，则与互相平分，
∴
∴
解得
∴
② 若为的对角线，则与互相平分，
∴
∴
解得
∴
③ 若为的对角线，则与互相平分
∴
∴
解得
∴
综上所述，点G的坐标为或或；
（3）存在，
要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，
∵点G在对称轴上，
∴设点G的坐标为，
由勾股定理，得，，
①若，则
即，
得，
此时点G的坐标为，
② 若，则，
解得，
此时点G的坐标为，
③ 若，则，
解得，
此时点G的坐标为或，
综上可知，点G的坐标为或或或．
3．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)点的横坐标为；
(3)的值为．
【分析】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．
（1）把点，点的坐标代入抛物线，得出抛物线的解析式为，令，得点的坐标，设直线的解析式为，把，的坐标代入，得出直线的解析式为；
（2）由是以为腰的等腰直角三角形，得出轴，即点的纵坐标为3，把代入，得或2，由轴，得出点的横坐标为；
（3）由抛物线的解析式可得出，由直线的解析式可得，由以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，可得，由方程，即可得无解．
【详解】（1）解：把点，点代入抛物线，
得，
解得
所以抛物线的解析式为，
令，解得，，得点的坐标，
设直线的解析式为，把，的坐标代入，
得，
解得
所以直线的解析式为；
（2）解：是以为腰的等腰直角三角形，
轴，即点的纵坐标为3，
把代入，得或2，
轴，
点的横坐标为；
（3）解：抛物线的解析式为，的横坐标为
，
直线的解析式为．
，
以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，
，
，化简得，无解，
或，化简得，
解得，
当以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，的值为．
4．(1)
(2)取得最大值，
(3)或或
【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可；
（2）设交于，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：如图，设交于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，取得最大值，此时；
（3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为，，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴设，，
分情况讨论：
①当为对角线时，
则，
解得：，此时，
∴；
②当为对角线时，
则，即，
此时，
∴；
③当为对角线时，
则，即，
此时，
∴，
综上所述，点的坐标为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．
5．(1)
(2)米
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）把代入得：，求出，，得出，,即可得出（米），即可得出答案；
（3）先求出直线的解析式为，设点，则，根据轴，得出，求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，，
设抛物线的解析式为，把，，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵桥面离河面的高度是，
∴点M的纵坐标为，
把代入得：，
解得：，，
∴，,
∴（米），
即抛物线形支撑梁在河面上的跨度是米；
（3）解；设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设点，则，即，
∵轴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，平行四边形的性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
6．(1)点的坐标为或或或；
(2)，或，．
【分析】（）求出点坐标及抛物线对称轴，分和两种情况利用平面内两点间距离公式列出方程解答即可求解；
（）根据对称性求出新的抛物线的顶点坐标，进而得到新抛物线的解析式，由点坐标得，根据平行四边形的对边相等可得，设)，则点或，分和两种情况解答即可求解；
本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数与几何图形，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键
【详解】（1）解：存在．
令，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴设，
当时，即，
解得，；
当时，即，
解得，；
综上所述，点的坐标为或或或；
（2）解：存在．
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线关于轴对称得到新的抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
∵，，
∴，
∵以点四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
设)，则点或，
①当时， 则，
解得，
∴，
∴，；
②.当时， 则，
解得，
∴，
∴，；
综上所述，点的坐标分别为，或，．
7．(1)①；②存在，使四边形为平行四边形；
(2)．
【分析】（1）①根据顶点D的横坐标求出a的即可；
②求出直线的解析式为，联立，整理得：，其两根为，，由根与系数关系得：，，又由平行四边形的性质得可知，即可解得；
（2）设点、的横坐标为、，，求出，，求出直线的解析式，直线的解析式为，联立抛物线，
，由根与系数的关系得①，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，整理得，即，结合点在定直线上运动即可求出的值．
【详解】（1）解：①∵抛物线的解析式为顶点D的横坐标为，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
②存在，使四边形为平行四边形，理由如下：
当时，，当时，，
，，
将直线沿轴正方向平移个单位得直线，
直线的解析式为，
联立，整理得：，其两根为，，
由根与系数关系得：，，
四边形为平行四边形，
、为平行四边形的对角线，
，即，
，
解得；
（2）解：设点、的横坐标为、，
，
令，则，
解得或，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
，
，
设的解析式为，联立抛物线，
由根与系数的关系得①，
设直线的解析式为，代入、两点坐标得，
设直线的解析式为，代入、两点坐标得，
联立方程组，整理得，
即
因为点在定直线上运动，
②
联立①②，得．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，图形平移的性质，用待定系数法求解析式，准确计算是解题是关键．
8．(1)
(2)
(3)存在，， ．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）将代入解析式求得a、b即可解答；
（2）先求得、，再求得直线的解析式，设，则，，其中，可得，再根据列方程求解即可解答；
（3）如图：分别连接BN，根据可得，由（1）（2）易知， ，然后根据二次函数的性质求得的最大值，进而求得的最大值即可解答．
【详解】（1）解：∵将两点在抛物线的解析式上，
∴解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，即，
∵，点D在y轴负半轴，
∴，即；
设直线的表达式为，
则，解得，
直线的关系表达式为，
设，则，，其中，
∴，
∵，
∴当时，四边形为平行四边形，
∴，解得： ， (舍去)，
故当四边形是平行四边形时，．
（3）解：如图：分别连接，
∵
，
由（1）（2）易知， ，
∴当最大时，最大，即，
∵点E在线段上运动，
∴，
∴当 时， 最大面积．即，最大面积为．
9．(1)
(2)存在，见解析
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式、平行四边形的判定，两点间的距离等知识点，
（1）根据直线的解析式可求得，，代入抛物线即可求得答案；
（2）设，则，根据，，可得，即，时为四边形为平行四边形；
运用数形结合思想以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【详解】（1）∵直线分别交x轴，y轴于点B，C，
∴，，
∵抛物线过B，C两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点P，使四边形为平行四边形．理由如下：
设，
∵轴，
∴轴，即轴，
∴，
∴
∵，
∴抛物线的顶点为，对称轴为直线，
∴，
∴，轴，
∴，
要使四边形为平行四边形，必须，
由，
解得：或，
当时，点P与点N重合，点Q与点M重合，舍去；
当时，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
10．(1)；
(2)
(3)①点；②最小值为
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据顶点为，设抛物线，把代入解析式，计算求解即可；
（2）根据顶点为．点为的中点，得到，当时，，得到，结合，垂足为，得到．
（3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，，所以点的纵坐标和点相同，结合点落在抛物线上，得到，解得即可；②设点，则点，过点作直线轴，作点F关于直线l的对称点，连接，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
将点的坐标代入得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）解：如图1，∵，，点是的中点，
∴点的坐标为，
当时，，
∴点，
∵点的坐标为，
则；
（3）解：①如图2，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点，
∴当时，，
解得：，（舍），
∴点；
②设点，则点，
如图3，过点作直线轴，
作点F关于直线l的对称点，连接，
则，
当，，三点共线时，为最小，
由定点，的坐标得，直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得，，
则点，点，
则最小值为：，
即最小值为．
11．(1)，；
(2)面积最大值为，；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标；
（）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解；
（）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
12．(1)
(2)，此时
(3)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可；
（3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
，
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，此时；
（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
13．(1)
(2)点E的坐标为
(3)点P的坐标为或或
【分析】（1）求出抛物线与两坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求得直线表达式；
（2）过点E作轴，交直线于点F．设点E的坐标，则可得点F的坐标，从而得的长度，由，利用二次函数的性质即可求得点E的坐标；
（3）设点P的坐标，分三种情况考虑：为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；为平行四边形的对角线；利用平行四边形性质即可求解．
【详解】（1）解：对于，令，则，
解得，．
点B在点A的右侧，
，．
令，得．
．
设直线的表达式为．
将，代入，得，
解得，
直线的表达式为．
（2）解：如图，过点E作轴，交直线于点F．
设点E的坐标为，则点F的坐标为．
．
由（1）知，
．
．
，
当时，的值最大．
当时，．
当的面积最大时，点E的坐标为．
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线．
点Q在抛物线的对称轴上，
点Q的横坐标为．
由（1）知，由（2）知点M的横坐标为3．
设点P的坐标为．
分三种情况：
①当为平行四边形的对角线时，如图．
，解得．
点P的坐标为．
②当为平行四边形的对角线时，如图．
，解得．
点P的坐标为．
③当为平行四边形的对角线时，如图．
，解得．
点P的坐标为．
综上，点P的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的性质，中点坐标公式，待定系数法求函数解析式，割补法求图形的面积等知识；有一定的综合性．
14．(1)；
(2)四边形的面积最大值为，点P的坐标为；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法确定二次函数解析式；
（2）设点的横坐标为，因在这个二次函数的图象上，则有，进而利用，用含的代数式表示，最后利用二次函数的顶点式求出面积的最大值；
（3）设，利用平行四边形的中心对称性分、和分别是平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：连接，
令，则，
∴，
∵，，
∴，，，
∵点在第一象限的抛物线上，且横坐标为，
∴，且，
∴
，
∵，
∴当时，四边形的面积最大值为；
此时点P的坐标为；
（3）解：存在点P，使以B，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形．
设，
∵ 抛物线上的对称轴是直线，且点M在对称轴上，
∴，
①当为对角线时，
∵，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
②当为对角线时，
∵，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
③当为对角线时，
∵，
∴，
解得：，
∴点的坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，涉及到平行四边形的性质、图形面积的计算，其中第（3）小问，要注意分类求解，避免遗漏．灵活运用所学知识是解本题的关键．
15．(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
(2)；
(3)点的坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；证明，求得，得到点，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
（2）作轴，轴，根据直角三角形斜边中线的性质求得是的中位线，用分别表示的坐标，利用，列式计算即可求解；
（3）由题意得即轴，求得解方程，求得，得到点的坐标，根据平行四边形的性质即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
对称轴为直线，
∴点，
∵点，
∴点，
∴，，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点，
设直线的函数表达式为，
把代入得，解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：作轴，轴，垂足分别为，连接，

∵，点为线段的中点，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵点的横坐标为，
∴点，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
解得（舍去正值），
∴；
（3）解：由题意得即轴，

∵点，
∴点纵坐标为6，
解方程，得，
∴点或，
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为，
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；

当点时，，

∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；

综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、解一元二次方程、平行四边形的性质、三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．

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