平行四边形动点问题-归纳练2025年中考数学三轮冲刺复习专练(含解析)

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平行四边形动点问题-归纳练2025年中考数学三轮冲刺复习专练(含解析)

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平行四边形动点问题-归纳练
2025年中考数学三轮冲刺复习专练
1.在中,,动点从点出发,以的速度沿折线运动,连接交于点,设点的运动时间为秒.

(1)当点在边上运动时,直接写出的长为________,________.(用含代数式表示)
(2)在(1)的条件下,当是等腰三角形时,求的值;
(3)点与点同时出发,且点在边上由点向点运动,点的速度是,当直线平分的面积时,直接写出的值.
2.如图,在等边中,为线段上一动点(不与、重合),连接.
(1)如图1,若,,求线段的长;
(2)如图2,为线段上一动点,满足,连接交于点,过点作平行且等于,连接,取中点,连接,求证:;
(3)如图3,若,当取最小值时,将线段绕点顺时针旋转至线段,连接,请直接写出的最大值.(较容易)
3.如图1,在菱形中,,,,分别是,边上的高.
(1)请直接写出的长度是______;
(2)如图2,动点P,Q分别从D,B同时出发,点P由运动,点Q由运动.当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.在运动过程中:
①若点P的运动速度为每秒,点Q为每秒,当运动时间为时,点P在边上,点Q在边上,且B,D,P,Q构成的四边形是平行四边形,求t的值;
②若点P的运动速度为每秒,点Q为每秒,当运动时间为时,B、D、P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求y与x的函数解析式.
4.在中,,,点是直线上一点.
(1)如图1,点是线段上一点,将线段绕点顺时针旋转,得到线段,连接,,若,,求线段的长;
(2)如图2,点是线段延长线上一点,将绕点顺时针旋转,交线段于点,点为线段上一点,过点作的垂线,垂足为点,过点作交延长线于点,连接.若平分,求证:;
(3)如图3,在(1)问的条件下,在线段下方作,使得.点,分别为线段,上的动点,且,连接,当最小时,直接写出四边形的面积.
5.如图,已知在中,动点P在边上,以每秒的速度从点A向点D运动.
(1)如图 ①, 在运动过程中, 若平分, 且满足, 求的度数;
(2)如图 ②,在(1)的条件下,连结并延长与的延长线交于点F,连结,若,求的面积.
(3)如图 ③,另一动点Q在边上,以每秒的速度从点C出发,在间往返运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点D时停止运动(同时Q点也停止运动),若,求当运动时间为多少秒时,以P,D,Q,B四点为顶点的四边形是平行四边形.
6.如图,矩形的对角线交于点为边上一动点(不与重合),在射线上,且,连接.
(1)如图1,若为的中点,,则___________;
(2)如图2,为上一动点,
①根据题意,补全图形;
②写出的数量关系,并证明你的结论.
7.如图,在平行四边形中,,,,点为中点,动点从点出发,沿折线以每秒个单位长度的速度运动.作,交边或边于点,连接.当点与点重合时,点停止运动.设点的运动时间为秒.
(1)当在上运动时,用含的式子表示出线段的长 ;
(2)当点落在平行四边形的某边中点上时,求的值(用含t的代数式表示);
(3)作点关于直线的对称点,连接、,当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时,直接写出的取值范围.
8.【问题初探】
(1)如图1,点D是 的边上一点,且.求证:;
(2)如图2,在中,,E是边的中点,D是边下方的一个动点,满足,连接,求线段的最大值;
【拓展应用】
(3)如图3,在正方形中,,E是射线上的一个动点,点F在线段上,且满足,求的最小值.
9.已知在平行四边形中,动点在边上,以每秒的速度从点向点运动.
(1)如图1,在运动过程中,若,平分,求的度数;
(2)如图2,另一动点在边上,以每秒的速度从点出发,在之间往返运动,,两点同时出发,当点到达点时停止运动同时点也停止,若,当运动时间为 秒时,以,,,四点组成的四边形是平行四边形;
(3)如图3,连结并延长与的延长线交于点,平分交于点,当,时,求的长
10.如图,在正方形中,,点为正方形的对角线上一动点.
(1)如图①,过点作交边于点.当点在边上时,求证:;
(2)如图②,在(1)的条件下,过点作,垂足为点,在点的运动过程中,的长度是否发生变化?若不变,求出这个不变的值;若变化,试说明理由.
(3)如图③,若点是射线上的一个动点,连接,,且始终满足,设,求的最小值.
11.如图所示,在梯形中,,,,,,动点从点出发沿方向向点以的速度运动,动点从点开始沿着方向向点以的速度运动.点、分别从点和点同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.
(1)经过多长时间,四边形是平行四边形?
(2)经过多长时间,四边形是矩形?
(3)经过多长时间,的长为?
12.已知,分别为的边上的动点,将沿直线折叠,使点落在边上的点处,点的对应点为.
(1)如图,当点落在的延长线上时,求证:四边形为平行四边形;
(2)若,,,则的值为________;
(3)若,,的面积为,求的取值范围.
13.在中,,D是边上一动点,E是外一点,连接.
(1)如图1,,,若,求的度数;
(2)如图2,,,过点D作交于点F,,求证:;
(3)如图3,若 ,延长线上有一点D,且,连接,在线段上取一点E,使得,连接交于点F,点P是直线上一动点,将沿翻折得,连接,取的中点M,当线段取得最小值时,请直接写出的面积.
14.如图1,点是四边形边上一动点.且,,过点B作交的延长线于点,连接,.
(1)求证:;
(2)如图2,连接交于点.
①若.求证:;
②若.求的值.
15.已知矩形的一条边,是边上的一点,将矩形沿折痕折叠,使得顶点落在边上的点处,(如图1).
(1)求的长;
(2) 擦去折痕,连接,设是线段上的一个动点(点与点,不重合).是延长线上的一个动点,并且满足,过点作,垂足为,连接交于点(如图2).
①若M是的中点,求的长;
②试问当点M、N在移动过程中,线段的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段的长度.
《平行四边形动点问题-归纳练2025年中考数学三轮冲刺复习专练》参考答案
1.(1),
(2)
(3)的值为或或
【分析】(1)证明,再利用路程等于速度乘以时间可得,再利用线段的和差可得;
(2)证明是直角三角形,且,,可得当是等腰三角形时,,再证明,可得,再建立方程求解即可;
(3)如图,连接交于,则点为的对称中心.当点在上,且过点时,直线平分的面积,证明,可得,即,解方程即可;当点运动到点时,如图直线平分的面积,此时,而,再建立方程即可;与重合,与重合时,此时平分平行四边形的面积,此时.
【详解】(1)解:,,

当点在边上运动时,,,
故答案为:,.
(2)解:,,,

是直角三角形,且,
四边形是平行四边形
,,

当是等腰三角形时,,

又,




又,
,解得,
在(1)的条件下,当是等腰三角形时,的值是秒.
(3)解:如图,连接交于,则点为的对称中心.
当点在上,且过点时,直线平分的面积,

,,而,

,即,

当点运动到点时,如图直线平分的面积,
此时,

,则;
当与重合,与重合时,此时平分平行四边形的面积,此时;
综上所述,的值为或或.
【点睛】本题考查的是动态几何,等腰三角形的性质,勾股定理的逆定理的应用,全等三角形的判定与性质,平行四边形的性质,利用数形结合的方法解题,清晰的分类讨论是解本题的关键.
2.(1)
(2)见解析
(3)
【分析】(1)过点作于点,由等边三角形的性质得到,,则,在中,由勾股定理得,在中,由勾股定理,即可求解;
(2)如图,在的延长线上取点使得,延长至点,使得,连接,取中点,连接,则是的中位线,得到,先证明,根据全等三角形的性质结合外角得到,可得为等边三角形,得到,结合题意证明,结合、分别是、的中点,得到,即可证明;
(3)当时,取得最小值,根据等边三角形的性质可得,,推出,,进而得到,在中,设边上的高为,则,当最大时,取最大值,当线段绕点顺时针旋转至线段时,最大,其最大值为,即可求解.
【详解】(1)解:过点作于点,
是等边三角形,
,,



(2)证明:如图,在的延长线上取点使得,延长至点,使得,连接,取中点,连接,
则是的中位线,

是等边三角形,
,,






是等边三角形,
,,











在和中,


、分别是、的中点,

又,



(3)当时,取得最小值,
是等边三角形,
,,
,,

在中,设边上的高为,
则,
最大时,取最大值,
当线段绕点顺时针旋转至线段时,最大,其最大值为,
的最大值为.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,解决本题的关键在于构造全等三角形.
3.(1)40
(2)①;②
【分析】(1)根据菱形的对角线互相垂直平分可得,再利用勾股定理列式求出,然后根据计算即可得解;
(2)①根据平行四边形的对边平行且相等可得,然后列出方程求解即可;②根据平行四边形的对边平行且相等可得,然后列方程整理即可;
【详解】(1)解:设与交于点,
四边形是菱形,
,且与互相平分,
则,
在中,根据勾股定理,
,,

则.
(2)解:①四边形是菱形,


即,
解得.
在中,.
同理可得.

点在边上,点在边上,且四边形是平行四边形,
所以.
点的运动速度为每秒,运动时间为秒,
则;
点的运动速度为每秒,运动时间为秒,
则.

移项可得,
即,
解得.
B,D,P,Q构成的四边形是平行四边形,t的值是;
②点P的运动速度为每秒,点Q为每秒,当运动时间为时,B、D、P,Q为顶点的四边形为平行四边形,有以下三种情况:
如图,当点在上,点在上时,
,,
, ,


当点在上时,点在上时,
,,
,,


当点在上,点在上时,
,,
,,


综上所述, 点P的运动速度为每秒,点Q为每秒,当运动时间为时,B、D、P,Q为顶点的四边形为平行四边形时,.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质,平行四边形的判定与性质,勾股定理,综合性较强,难度较大.熟练掌握菱形的性质是正确解答此题的关键.
4.(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)过点N作于E,设,则可得,从而由建立方程求得,即的长;
(2)过点作延长线于点,过点作延长线于点,先证明,得出,,利用,求出, 再证,再证,得出,再证为等腰直角三角形,得出,即可证明;
(3)先利用,求出,,,再结合,得出,得出,利用胡不归,过点在下方作,过点作于点,得出,则,由点到直线的距离可得当,,依次共线,且时,取得最小值,即取得最小值,此时, 利用证明是的中位线,得出,证明和是直角三角形,再进行计算即可.
【详解】(1)解:如图,过点N作于E,设,
由旋转知,,
∴是等边三角形,
∴,,
由勾股定理得,
∵,,
∴;
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
则,
∴,
∴;
(2)证明:如图,过点作延长线于点,过点作延长线于点,
由旋转得,,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,,,
∴四边形是矩形,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∴;
(3)解:∵,,
∴,
∴,,,
∵,
∴,

∴,
如图,过点在下方作,过点作于点,
∴,
∴,
由点到直线的距离可得当,,依次共线,且时,取得最小值,即取得最小值,此时如图,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵是等边三角形,
∴,,
∴垂直平分,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,中位线的性质,含角的直角三角形的性质,线段垂直平分线的判定与性质,二次根式的运算,矩形的判定与性质,熟练掌握这些判定与性质,并能根据题意正确作出辅助线是解题的关键.
5.(1)
(2)
(3)或或
【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、勾股定理,等边三角形的判定和性质、角直角三角形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等,学会用分类讨论的思想思考问题.
(1)证明是等边三角形即可;
(2)根据平行四边形的性质可得,,从而得到,由此即可解决问题;
(3)分四种情形列出方程解方程即可.
【详解】(1)解:∵四边形是平行四边形,


平分,





是等边三角形,


(2)解:∵四边形是平行四边形,
,,,




如图,过点C作于点K,
∴,
∴,
∴,

(3)解:如图③所示:

当时,以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形.
①当时,,,
,解得:(舍);
②当时,,,
,解得:;
③当时,,,
,解得:;
④当时,,,
,解得:;
或或时,以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形.
6.(1)
(2)①见详解②,证明见详解
【分析】(1)根据矩形的性质得,,结合为的中点,则,再证明四边形是矩形,运用勾股定理列式计算,即可作答.
(2)①结合在射线上,且,连接,且在图2上补全图形,即可作答.
②先延长交于点,连接,运用矩形的性质,证明,再得出垂直平分,得,则在中,,然后结合线段的等量代换,即可作答.
【详解】(1)解:∵四边形是矩形,
∴,,
∵为的中点,
∴,是的中位线,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴四边形是矩形,

在中,,
故答案为:;
(2)解:①如图所示:
②,证明如下:
延长交于点,连接,如图所示:
∵四边形是矩形,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴垂直平分,
∴,
在中,,

∴.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,垂直平分线的判定与性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,中位线的判定与性质,正确掌握相关性质内容是解题的关键.
7.(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了几何中的动点问题,涉及平行四边形的性质、轴对称,勾股定理等知识点,根据题意画出几何图是解题关键.
(1)根据即可求解;
(2)分两种情况,分别构造直角三角形,利用勾股定理求解即可.
(3)根据题意画出满足条件的两种情况,即可求解;
【详解】(1)解:∵点E为中点,,
∴,
∴,
故答案为:;
(2)解:当点Q落在的中点时,如图所示作,延长,作,交点为K.
∵,,
∴,
当点Q落在的中点时,如图所示作,延长,作,交点为F.
∵,可得,

∵,,


∴,
综上:的值为或
(3)解:∵,,,
∴,
当点在线段上运动时,点与点重合,如图所示:
若点落在上,
∵点E、点F关于直线对称,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴此时,
故当时,满足题意;
当点与点重合时,

解得:,
综上所述:或.
8.(1)见解析;(2);(3)的最小值为
【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,圆周角定理等,理解题意,作出相应辅助线是解题关键.
(1)直接根据相似三角形的判定和性质即可证明;
(2)延长至点F,使得,连接,根据等腰三角形的判定和性质得出,再由三角形中位线的判定和性质得出为的中位线,,利用三角形三边关系即可求解;
(3)根据相似三角形的判定和性质得出,,转化为求线段DF的最小值,连接,继续利用相似三角形的判定和性质得出,确定点F的运动轨迹为以为直径的圆上,然后由勾股定理结合图形得出的最小值为,即可求解.
【详解】解:(1)证明:∵,
∴,
∴,
∴;
(2)延长至点F,使得,连接,如图所示:
则垂直平分,
∴,
∵,
∴,
∵E是边的中点,,
∴为的中位线,
∴,
∵,
∴,
∴线段的最大值为;
(3)∵,,
∴,
∴,
∵正方形中,,
∴,
∴,
连接,如图所示:
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵E是射线上的一个动点,点F在线段上,
∴点F的运动轨迹为以为直径的圆上,
∴,
连接,
∴,
∴的最小值为,
∴的最小值为.
9.(1)
(2)秒或秒或秒
(3)8
【分析】(1)根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到,得到,证明是等边三角形,根据等边三角形的性质解答;
(2)分、、、四种情况,根据平行四边形的性质定理列方程,解方程得到答案;
(3)延长交于点,证明,可得,,再证明,得,然后利用线段的和差即可解决问题.
【详解】(1)解:∵四边形是平行四边形,


平分,





是等边三角形,

(2)四边形是平行四边形,


要使四边形是平行四边形,则,
设运动时间为秒,根据题意可知:,,
①当时,,

解得,不合题意;
②当时,,

解得,;
③当时,,

解得,;
④当时,,

解得,;
综上所述,当运动时间为秒或秒或秒时,,,四点组成的四边形是平行四边形;
故答案为:秒或秒或秒;
(3)如图3,延长交于点,
四边形是平行四边形,
,,
平分,





,,









的长为.
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的性质与判定,掌握平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.
10.(1)证明见解答过程
(2)点在运动过程中,的长度不变,值为
(3)6
【分析】(1)连接,证,得,再证,则,即可得出结论;
(2)连接,如图2.首先证得,则有,只需求出的长即可得解;
(3)过点在正方形外构造作,然后取中位线得,从而可得,再构造直角三角形求出即可得出结论.
【详解】(1)证明:连接,如图1所示:

∵四边形是正方形,
∴,,
在和中,











(2)解:的长度不变.理由如下:
连接,与相交于点,如图2.

∵四边形是正方形,
∴,
∵,即,
∴,
∵,即,

在和中,

∴,

∵四边形是正方形,
,,


,(负值不合题意,已经舍去)

∴点在运动过程中,的长度不变,值为;
(3)解:如图3所示:过点在正方形外作,使,在上取点,使,连接,

∵四边形是正方形,

,,
∴,
∴,
∴,
如图3所示:在上取点,使,连接、,
又∵,
∴,

即:当、、三点共线时,最小,最小值为,
如图3所示:过点作,垂足为,交于,
∵正方形中,,
∴四边形是矩形,
∴,,,

∴是等腰直角三角形,
∵,


在中,由勾股定理得:,

∴的最小值为.
【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识,本题综合性强,熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键,属于中考常考题型.
11.(1)
(2)
(3)或
【分析】此题主要考查矩形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,勾股定理,解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键;
(1)设经过,四边形为平行四边形,即,列方程求解即可;
(2)设经过,四边形为矩形,根据,列方程求解即可;
(3)根据勾股定理,根据,列方程求解即可;
【详解】(1)解:设经过,四边形为平行四边形,
则;即,
解得:;
(2)解:设经过,四边形为矩形,
则,即,
解得:;
(3)解:过点作于点
在中,根据勾股定理,
已知,

则可得方程,
即,
移项可得,
两边同时开平方得;
当时,
移项可得,
解得;
当时,
移项可得,
解得;
所以,经过秒或秒,的长为.
12.(1)证明见解析;
(2);
(3).
【分析】()由折叠性质得:,,,由四边形是平行四边形,得,,,然后证明,,则有,,从而求证;
()延长交于,证明四边形是菱形,设,则,则,由折叠性质可知,,然后利用直角三角形的性质得,由勾股定理得,最后用线段和差即可求解;
()当时,最小,当与重合时,最大,根据等面积法和勾股定理,求解的最小及最大值即可.
【详解】(1)证明:由折叠性质得:,,,
∵四边形是平行四边形,
∴,,,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∴,
∴四边形为平行四边形;
(2)解:延长交于,如图,
∵四边形为平行四边形,
∵,
∴四边形是菱形,
∵,
∴,
设,则,
∴,
由折叠性质可知:,,
∴,
∵,
∴,
∴,
由勾股定理得,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴=;
(3)解:求取值范围即是求取值范围,当时,最小,
作,
∵,的面积为,
∴,
∴,
设,
∴,
∴,
∴,
解得:,
∴的最小值为;
当与重合时,最大,
在中,,
∴,
∴,
∴最大值为,
∴.
【点睛】本题主要考查了翻折的性质,勾股定理,,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,平行四边形的判定与性质,掌握知识点的应用是解题的关键.
13.(1)
(2)见解析
(3)
【分析】(1)先求出,进而证明是等边三角形,再证明,进一步证明,得到,利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案;
(2)在上截取,连接交于点N,证明,得到,再证明,得到,进而证明,得到由,即可证明;
(3)连接,根据三角形的中位线定理可得出,连接,则,故当M在上时,最小,过C作于G,过作于H,可证明是等边三角形,求出,根据等边对等角和三角形内角和定理可求出,进而求出,根据勾股定理求出,结合已知可求出,根据三线合一求出,则,,,,证明,可求出,即可求解.
【详解】(1)解:∵,
∴,
又∵,
∴是等边三角形.
∴,
又∵,
∴,
∴.
在和中,

∴.
∴,
又∵,
∴;
(2)证明:在上截取,连接交于点N,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
在和中,

∴,
∴,
又∵,
∴,
又∵,
∴.
又∵,
∴,
在和中,

∴,
∴,
又∵∠,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
又∵,
∴;
(3)解:连接,
∵翻折,
∴,
∴,
∵,M是中点,
∴,
连接,则,即,
故当M在上时,最小,
过C作于G,过作于H,
∵,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∵,
∴,

∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,即,
解得,
∴,
即线段取得最小值时, 的面积.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质,三角形的中位线定理等知识,明确题意,添加合适的辅助线,构造全等三角形、相似三角形是解题的关键.
14.(1)见解析
(2)①见解析;②
【分析】(1)先证四边形是平行四边形,得,,进而可得,,再证即可;
(2)①连接,先证四边形是平行四边形得,,再证四边形是平行四边形,然后证四边形是菱形即可;
②先证得再由得进而证得,则,然后求出即可.
【详解】(1)证明:∵,,
∴四边形是平行四边形,,
∴,,
∵,
∴,,
∵,
∴,,
∴,,
在和中,
∴;
(2)①连接,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴四边形是菱形,
∴;
②∵,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
两边同时除以得:
∴,
解得:或(舍去),
∴.
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,根据相关知识证明和等量代换列式求解是解题的关键.
15.(1)
(2)①;②当点、在移动过程中,线段的长度是不发生变化,长度为
【分析】(1)设,根据折叠可得,,利用勾股定理,在中,,即,即可解答;
(2)①过点A作于点G,延长,取,连接,
根据勾股定理求出的长,由,所以,在中,证明,得出,,证明四边形为平行四边形,得出,说明H是的中点,根据中位线的性质得到即可;
②作,交于点Q,求出,,得出,根据,得出,根据,证出,得出,再求出,最后代入即可得出线段的长度不变.
【详解】(1)解:设,则,,
在中,,
即,
解得:,
即.
(2)解:①如图2,过点A作于点G,延长,取,连接,
由(1)中的结论可得:,,,
∴,
∵,
∴,
在中,,
∵M是的中点,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
∵,,
∴,
∴四边形为平行四边形,
∴,
∴,
∴H是的中点,
∴.
②当点M、N在移动过程中,线段的长度是不发生变化;
作,交于点Q,如图3,
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴.
∵,,
∴.
∵,
∴,
在和中,,
∴.
∴,
∴.
∴当点M、N在移动过程中,线段的长度是不发生变化,长度为.
【点睛】此题考查了四边形综合,用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质,矩形的性质,平行四边形的判定和性质,解题的关键是做出辅助线,找出全等三角形.

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