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2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与直角三角形存在性问题
1．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．
(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出答案，如果不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，且与直线交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点为抛物线上的一个动点，是否存在以为直角边的直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，与轴交于点，并且点的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作轴交抛物线于点，连接交轴于点，连接，设的面积为，的面积为，求的值；
(3)点坐标为，连接，在（2）的条件下，点从点出发，以每秒个单位长的速度沿匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长的速度沿匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动.若点、同时出发，设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形是直角三角形 请直接写出所有符合条件的值．
4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC，∠CBE=β,求的值.
5．已知二次函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过点A，且与二次函数图像的另一个交点为点B．
（1）用含有字母b代数式表示点B的坐标．
（2）点M的坐标为（－2，0），过点M作x轴的垂线交抛物线于点C．
①当x＜－2时，y1＜y2，求b的取值范围；
②若△ABC是直角三角形，求b的值．
6．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求k的值和抛物线的解析式．
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，连接BN．
①若△BPN是直角三角形，求点N的坐标．
②当∠PBN＝45°时，请直接写出m的值．（注：当k1 k2＝﹣1时，直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2垂直）
7．已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接为的中点，，在的同侧以为中心旋转，交轴于点，交轴于点。设的长为，的长为，求和之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当四边形的面积的值最大时，抛物线与轴相交于点，与轴负半轴相交于点，若为直角三角形，求的值.
（参考公式：均值不等式：若，则，当且仅当时取“=”.）
8．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；
（3）设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图1，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D
（1）求直线AC的解析式与点D的坐标；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点E，作EF∥x轴，与抛物线交于点F，作EM⊥x轴于M，作FN⊥x轴于N，长度为2的线段PQ在直线AC上运动（点P在点Q右侧），当四边形EMNF的周长取最大值求四边形DPQE的周长的最小值及对应的点Q的坐标；
（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在直线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A平移后的对应点为A′，△A′D′C是否能为直角三角形？若能，请求出对应的线段D′C的长；若不能，请说明理由.
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；
（3）若抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．

11．一次函数y＝﹣2x﹣2分别与x轴、y轴交于点A、B．顶点为（1，4）的抛物线经过点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为第一象限抛物线上一动点．设点C的横坐标为m，△ABC的面积为S．当m为何值时，S的值最大，并求S的最大值；
（3）在（2）的结论下，若点M在y轴上，△ACM为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
12．如图，直线与顶点为的抛物线的交点在轴上，交点在轴上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是否为直角三角形，请说明理由．
（3）在第二象限的抛物线上，是否存在异于顶点的点，使与的面积相等？若存在，求出符合条件的点坐标．若不存在，请说明理由．
（4）在第三象限的抛物线上求出点，使．
13．如图1，抛物线与轴交于两点，过点的直线交抛物线于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在线段上有一动点，当点在某个位置时，的面积为，求此时点坐标；
（3）如图2，当动点在直线与抛物线围成的封闭线上运动时，是否存在以为直角边的直角三角形，若存在，请求出符合要求的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，点D时抛物线的顶点
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）试探究：在抛物线上是否存在点P，使得以点为顶点，为直角边的三角形是直角三角形，若存在，请求出，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点，其顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值；
(3)在抛物线对称轴上存在点，使得是直角三角形，请直接写出点的坐标．
《2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与直角三角形存在性问题》参考答案
1．(1)
(2)或或或
【分析】（1）运用待定系数法解二次函数解析式即可求解；
（2）由抛物线解析式可求得其对称轴，则可设出点的坐标，则可表示出、和，分、和三种情况，分别根据勾股定理得到关于点坐标的方程，可求得点的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，代入得：
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：二次函数的对称轴上存在点，使是直角三角形；理由如下：
，
对称轴为，
可设点坐标为，
，，
，
为直角三角形，
有、和三种情况，
①当时，则有，
即，
解得或，
此时点坐标为或；
②当时，则有，
即，
解得，
此时点坐标为；
③当时，则有，
即，
解得，
此时点坐标为；
综上可知，二次函数的对称轴上存在点，使是直角三角形；点的坐标为或或或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
2．(1)，顶点的坐标为；
(2)；
(3)存在满足条件的 点，其坐标为或．
【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法求解析式即可；
（）联立求出，则，过顶点作 轴的平行线与直线交于点，求出，所以，然后由即可求解；
（）设，则，，，然后分当和当两种情况，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，即，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：联立，
解得：或，
∴，
∵，
∴，
如图，
过顶点作轴的平行线与直线交于点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，点为抛物线上的一个动点，
∴设，
∴，
，
，
由于以为直角边的直角三角形，
当，
∴，
整理得：，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴点；
当，
∴，
整理得：，即，
解得：或（舍去），
∴，
∴点，
综上可知：点的坐标为或．
3．(1)
(2)
(3)当或或或时，以、、为顶点的三角形是直角三角形
【分析】（1）根据抛物线的对称轴和点坐标，求出和的值，即可求解；
（2）先求出抛物线与轴的交点坐标，求出点的坐标，得出和的值，即可求解；
（3）分四种情况讨论：①当点在上运动，时，过点作于，根据等腰直角三角形的定义和性质可得，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等即可列式，求出的值；②当点在上运动，时，根据有三个角是直角的三角形是矩形，矩形的对边相等即可列式，求出的值；③当点在上运动，时，根据有三个角是直角的三角形是矩形，矩形的对边相等即可列式，求出的值；④当点在上运动，时，过点作于，根据直角三角形的两直角边的平分和等于斜边的平方求出的值，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等即可列式，求出的值．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线，
故，
即，
∵抛物线的对称轴是直线x=，∴①．
又抛物线经过点，
故，
将代入得：，
解得：，
故，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：当时，，
即点坐标为，
令，即，
整理得：，
解得：或，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（3）解：分四种情况讨论：
①当点在上运动，时，如图1，

过点作于，则，，，，
∴，
即，
∴，
故，，
∵，
∴，
故，
∴，
即，
解得．
②当点在上运动，时，如图2，

则，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
即，
解得：．
③当点在上运动，时，如图3，

则，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
即，
解得：．
④当点在上运动，时，过点作于，如图4，

在中，，，
故，
则，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
综上所述，当或或或时，以、、为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等，正确求得抛物线解析式是解题的关键．
4．(1) y=x2-2x-3； (2) 坐标轴上存在三个点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，分别是P1（0，），P2（9，0），P3（0，0）；(3) ∠α-∠β=45°．
【分析】（1）易得点C坐标，根据OB=OC=3OA可得点A，B坐标．代入二次函数解析式即可．
（2）点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，那么应分点P，A，C三个顶点为直角顶点三种情况进行探讨．
（3）可求得E，D坐标，得到△BCE的形状，进而可把∠CBE转移为∠DBO，求解．
【详解】（1）抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C（0，-3），
∵OB=OC=3OA，
∴A（-1，0），B（3，0），代入y=ax2+bx-3，
得，
∴y=x2-2x-3．
（2）①当∠P1AC=90°时，可证△P1AO∽△ACO，
∴Rt△P1AO中，tan∠P1AO=tan∠ACO=，
∴P1(0，)．
②同理：如图当∠P2CA=90°时，P2（9，0）
③当∠CP3A=90°时，P3（0，0），
综上，坐标轴上存在三个点P，
使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，
分别是P1（0，），P2（9，0），P3（0，0）．
（III）由y=-x+1，得D（0，1）
由y=x2-2x-3得到顶点E（1，-4），
∴BC=3，CE=，BE=2，
∵BC2+CE2=BE2，
∴△BCE为直角三角形．
∴tanβ＝=．
又∵Rt△DOB中tan∠DBO=．
∴∠DBO=∠β，
∠α-∠β=∠α-∠DBO=∠OBC=45°．
【点睛】本题是二次函数的综合题，通常采用待定系数法求二次函数解析式；三角形为直角三角形，那么三个顶点都有可能为直角顶点，注意分类讨论思想的应用.
5．（1）；（2）①，②b的值为-4或．
【分析】（1）根据二次函数解析式可得A（0，2），代入可求出一次函数解析式，联立一次函数解析式和二次函数解析式成方程组，解方程组即可得出点B的坐标；
（2）①由函数图象得，当x＜时，y1＜y2，结合题意得出关于b的不等式，求解即可；②分别求出，和，由函数图象可得∠ABC不可能为90°，故分和两种情况，分别利用勾股定理得出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数的图像与y轴交于点A，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入得：，
∴一次函数解析式为：，
联立，解得：或，
∴点B的坐标为；
（2）①点B的坐标为，
由函数图象得：当x＜时，y1＜y2，
由题意得：当x＜－2时，y1＜y2，
∴，
解得：；
②当x＝－2时，，
∴C（－2，－2b－2），
∵A（0，2），B，
∴，，，
由函数图象可得：∠ABC不可能为90°，
∴当时，AB2+AC2=BC2，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
当时，AC2+BC2= AB2，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
综上，b的值为－4或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，求函数图象的交点坐标，函数图象与不等式的关系以及勾股定理的应用，解题的关键是学会利用方程思想和数形结合思想解决问题，属于中考压轴题．
6．（1）k＝﹣， y＝﹣x2+x+2；（2）①点N（，）；②m＝或m＝
【分析】（1）把点坐标代入直线解析式可求得，则可求得点坐标，由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①分和两种情况讨论，即可求解；
②有两解，点在的上方或下方，作辅助线，构建等腰直角三角形，由 得，设，则由，得，，根据，可得和的解析式，分别与抛物线联立方程组，可得结论．
【详解】解：（1）把代入中得，，
，
直线的解析式为：，
，
把和代入抛物线中，
则，
解得：，
二次函数的表达式为：；
（2）①当时，且，
，
，
点的纵坐标为2，
，
（舍去），，
点坐标，；
当时，
直线的解析式为：，
，
（舍去），，
点N（，）；
②有两解，点在的上方或下方，
如图2，过点作的垂线交轴于点，

过点作的垂线，垂足为点．
由 得，
，
设，则由，
，
得，，
由，解得，
，
从而，
即，，
由，，得：
直线，直线．
则，
解得：（舍），，
即；
则，
解得：（舍，；
即；
故与.
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强．
7．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意，将点和点代入抛物线解析式求出，即可得；
（2）利用抛物线方程求出点C坐标为，可知为等腰直角三角形，可得AM、CM的长；如图（见解析），可得，根据三角形相似的判定定理得，则，求解即可得；
（3）先根据求出面积的表达式，再利用均值不等式求出和的值，从而得到抛物线，根据题意画出图（见解析），利用射影定理，由抛物线方程可求出用表示的OH、OP、OQ的值，代入等式即可求得.
【详解】（1）将点和点代入抛物线解析式可得
，解得
∴抛物线解析式为；
（2）当时，，∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴，∴
∴；

（3）过点作于点，作于点，则
∴当时，
∴
令，则，且，即
设
则可看作是方程的两个根
∵
∴
又∵
∴由射影定理得
∴
解得或（舍去）
故的值为.

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、相似三角形的判定定理和性质、射影定理、以及一元二次方程的根的性质.利用一元二次方程根的性质（如，）也是常考知识点，需理解熟记.
8．（1）；（2）当时，有最大值，点的坐标为；（3）存在，坐标为或或或．
【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，，
∴，解得.
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作轴的垂线，交于点．
设直线的解析式为，由题意，得
，解得，
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
．
，
，
当时，有最大值，此时点的坐标为；
（3）在轴上是存在点Q，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点Q的坐标为，分三种情况进行讨论：
①当为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点Q的坐标为；
②当为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点Q的坐标为；
③当Q为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点Q的坐标为或；
综上可知，在轴上存在点Q，能够使得是直角三角形，此时点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
9．（1）直线AC的解析式为：，；（2）四边形DPQE的周长的最小值是，对应的点Q的坐标为；（3）=或或3.
【分析】(1)抛物线与x轴从左到右交于A、B两点，只要令y=0，即可求出A、B两点；与y轴交于点C，只要令x=0，即可求出点C；由点A、C的坐标可得直线AC的解析；D的坐标用顶点公式或者先求出对称轴代入解析式，即可求出；
(2)作点E关于直线AC的对称点E'(0,1)，将点E'沿AC方向平移个单位得到E″(2,3)，连接E″D交直线AC于点P，将点P向下平移个单位得到Q，则点Q为所求点即可求解，再根据个点坐标求出四边形的边长，进而计算周长；
(3)分A'D'是斜边、A'C是斜边、CD'是斜边三种情况，分别求解即可．
【详解】解：(1)∵抛物线与x轴从左到右交于A、B两点，
∴令y=0，即，解得：，则
∵抛物线与y轴交于点C，
∴
由点A、C的坐标得，直线AC的解析式为：；
∵D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴为：，
∴；
(2)设点，
∵抛物线的对称轴为：，轴，
∴
四边形的周长，
当时，最大，此时点；
∵，；
∴；
∵且P、Q在上
∴P、Q两点横纵坐标差为2，
作点关于直线的对称点，将点沿方向平移个单位得到，
由点坐标得，直线的解析式为：；
联立直线AC、直线的解析式并解得：，故点，
将点沿着直线CA向左向下平移个单位得到点；
∵，，，；
∴，；
此时四边形的周长最小
；
(3)由待定系数法求得直线AD的解析式为：，则设抛物线向右平移m个单位，则向上平移2m个单位，
∴、，，
而点，
∴；
①当是斜边时，如图2，
分别过点、作y轴的垂线交于点N、M，则，
则，即，
解得：(舍去)或；
②当是斜边时，如图3，
过点作x轴的平行线交y轴于点N，交过点作y轴的平行线于点M，
同理可得：，则，
即，解得：；
③当是斜边时，
同理可得：，解得：，
故或 1或 1
则=或或3．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、解直角三角形等，其中第（3）问，要注意分类求解，避免遗漏．
10．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）点G的坐标为（，）；（3）点P（2，6）或（﹣2，﹣6）．
【分析】（1）由点A的坐标及OA=OC=4OB,可得出点B,C的坐标, 根据点A,B,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
（2）由二次函数的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴, 由AO的长度结合平行四边形的性质可得出点G的横坐标, 再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点G的坐标;
（3）设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）,结合点A,C的坐标可得出AP2,CP2,AC2的值, 分∠ACP=90°及∠PAC=90°两种情况, 利用勾股定理即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论．
【详解】解:（1）∵点A的坐标是（4,0）,
∴OA=4,
又∵OA=OC=4OB,
∴OA=OC=4,OB=1,
∴点C的坐标为（0,4）,点B的坐标为（﹣1,0）.
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）,
将A（4,0）,B（﹣1,0）,C（0,4）代入y=ax2+bx+c,
得,解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4,
（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=,
∵如图1,动点G在AC上方的抛物线上,且以AG,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点H也在抛物线上,

∴GH∥AO,GH=AO=4,
∵点G,H都在抛物线上,
∴G,H关于直线x=对称,
∴点G的横坐标为,
∵当x=时,y=﹣x2+3x+4=,
∴点G的坐标为（,）．
（3）假设存在,设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）,
∵点A的坐标为（4,0）,点C的坐标为（0,4）,
∴AP2=（m-4）2+（-m2+3m+4-0）2=m4-6m3+2m2+16m+32,
CP2=（m-0）2+（-m2+3m+4-4）2=m4-6m3+10m2,AC2=（0-4）2+（4-0）2=32,
分两种情况考虑,如图2所示,

①当∠ACP=90°时,AP2=CP2+AC2,
即m4-6m3+2m2+16m+32=m4-6m3+10m2+32, 整理得：m2-2m=0,
解得:m1=0（舍去）,m2=2,
∴点P的坐标为（2,6）;
整理得:m2-2m-8=0,解得:m3=-2,m4=4（舍去）,
∴点P的坐标为（-2,-6）．
综上所述,假设成立,抛物线上存在点P（2,6）或（﹣2,﹣6）,使得△ACP是以为直角边的直角三角形．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、二次函数的性质以及勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质和平行四边形的性质.
11．（1）y＝﹣x2+2x+3
（2）当m＝2时，S的值最大，最大值为
（3）（0，﹣1）、（0，5）、或
【分析】(1)设抛物线的解析式为，代入点A的坐标即可求解.
(2)连接0C，可得点根据一次函数y=-2x-2得出点A、B的坐标,然后利用三角形面积公式得出的表达式,利用二次函数的表达式即可求解.
(3)设M（0，n），已知A、C点坐标可求出直线AC的解析式，分三种情况，当AC⊥MC，求出M点坐标，当AC⊥AM时，求出M点坐标，当AM⊥MC时，求出M点坐标.
【详解】（1）一次函数y＝﹣2x﹣2与x轴交于点A，则A的坐标为（﹣1，0），
∵抛物线的顶点为（1，4），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵抛物线经过点A（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，
∴a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）连接OC，点C为第一象限抛物线上一动点，点C的横坐标为m，
∴C（m，﹣m2+2m+3），
一次函数y＝﹣2x﹣2与y轴交于点B，则OB＝2，
∵A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴，
∴当m＝2时，S的值最大，最大值为.
（3）设M（0，n），
∵A（﹣1，0），C（2，3），
∴直线AC的解析式为y＝x+1，
①当AC⊥MC时，＝﹣1，
∴n＝5，
∴M（0，5）；
②当AC⊥AM时，n＝﹣1，
∴M（0，﹣1）；
③当AM⊥MC时， n＝﹣1，
∴n＝
∴M（0，）或M（0，）；
综上所述：点M的坐标为（0，﹣1）、（0，5）、（0，）或（0，）．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求抛物线解析式，求解一次函数解析式，利用数形结合思想求解动点问题.
12．（1）；（2）不是直角三角形，理由见解析；（3）存在，；（4）点.
【分析】（1）待定系数法即可求出；
（2）取中点，根据点的坐标关系判断即可证明；
（3）设的解析式为，代入D点坐标可求出，通过解方程，若有解，即可证明存在；
（4）设直线的解析式为并求出，进而可求出直线的解析式，联立BF与抛物线解析式即可求得.
【详解】解：（1）如图，
由知，，．
则抛物线．
将代入，得．
∴．
∴抛物线解析式为．
（2）不是直角三角形．理由如下
由（1），，
∴顶点．
如图，由（1），可得．
取中点．
则．∴．
∵，∴不是直角三角形．
（3）如图，存在点，使．
设经过点与平行的直线的解析式为．
将代入，得．∴．
∴的解析式为．
由，整理，得．
解得，．
当时，．
∴．
（4）如图，设直线的解析式为．
则解得，．
∴直线的解析式为．
∴经过点与平行的直线的解析式为．
由，整理，得．
解得，或．
当时，．
∴抛物线上点，满足．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象的性质，直角三角形性质等知识点，难度较大，适合学生的提升练习.
13．（1）；（2）点E；（3）存在，满足条件的点的坐标为或
【分析】（1）直接代入A.B两点坐标，列出方程组，即可得到a、b的值，即得到抛物线解析式；
（2）联立抛物线和直线解析式，求出C点，得到AC解析式，设E点为（t，-t+4）可到ED直线解析式，设直线ED与x轴交M点，得到MB长度，利用得到关于t的方程，解方程得到t，进而得到E点坐标；
（3）显然∠BED不能为直角，从而对直角三角形BDE进行分情况讨论，分∠DBE=90°或∠BDE=90°两种情况，利用直线垂直即可求得E点坐标．
【详解】解：抛物线与轴交于两点
抛物线解析式为
抛物线解析式为①
点是直线②与抛物线的交点，
联立①②解得，（舍）或
直线解析式为，
设，
，直线解析式为，
设交轴于点，则
解得
点E
直线解析式为
为直角三角形
交于
直线解析式为
点在直线的图象上，
②
交抛物线于
直线的解析式为
点在抛物线上
直线与抛物线的交点为和
，
即满足条件的点的坐标为或
【点睛】本题主要考查二次函数综合问题，第三问的解题关键在于能够对直角三角形进行正确的分类，难度适中，属于中考常考压轴题.
14．（1）；直线AC的方程为；（2）存在，点P的坐标为或．
【分析】（1）根据抛物线与的交点坐标，设抛物线的解析式为，化简得，与原题的解析式对比，易得，解出a的值，代入所设解析式即可得抛物线解析式；
根据抛物线与轴交于点C，可求得，设直线AC的解析式为，把A、C的坐标代入可求出，从而即可求得直线AC的解析式；
（2）分两种情况求解：①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，则直线PC的解析式为，再联立，可求得交点P的坐标为；
②过点A作AC的垂线交抛物线于点P，则可得所以直线PC的解析式为，联立，可求得点P的坐标为．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，
，
∵，
，
∴，
所以抛物线的解析式为；
当时， ，
∴；
设直线AC的解析式为，
把代入， ，
所以，
所以直线AC的方程为；
(2)存在；理由如下：
①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，
∵直线AC的方程为，
∴直线PC的解析式为，
解方程组：，
解得：或，
此时点P的坐标为；

②过点A作AC的垂线交抛物线于点P，
直线PC的解析式为，
把代入得，
所以直线PC的解析式为，
解方程组：，
解得：或，
所以点P的坐标为．

综上所述，符合条件的点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求抛物线及直线的解析式，求相互垂直直线的解析式以及求抛物线与直线的交点坐标；分清思路，熟练掌握抛物线解析式和直线解析式的求解方法，准确设解，是解答本题的关键．
15．（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b，c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设直线AC的解析式y＝kx+b将点A和点C的坐标代入，求出直线AC的解析式，设点P的坐标，进而表示出PQ，进而得出，即可得出结论；
（3）分AM是斜边、AN是斜边、MN是斜边三种情况，分别求解即可．
【详解】解：(1)由抛物线过点，
得，
解得，
故抛物线的表达式为．
(2)设直线为过点及，
则，
解得，
故直线为，
如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，
设，则，
又
．
∴面积的最大值为．
(3)存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，设点M（1，m），
由点A（﹣1，0）、M（1，m）、N（0，3）的坐标知，，同理，，
当AM是斜边时，则4＋m2＝10＋1＋（m 3）2，解得m＝；
当AN是斜边时，，解得m＝1或2；
当MN是斜边时，，解得m＝；
故点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

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