资源简介

二次函数压轴之角度问题—特殊角类归纳练
2025年中考数学三轮复习备考
1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与轴交于点，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)为线段上方抛物线上一动点，当的面积最大时，在线段上有一动点，线段上有一动点，求的最小值；
(3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过点，新抛物线与轴在右边的交点是点，连接为轴右边的新抛物线上一动点，过点作轴于点，在轴上是否存在点，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
(1)直接写出点A的坐标为_____________；
(2)当时，如图1，直线是抛物线的对称轴，点P为对称轴右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接．
①过点P作，交直线于点Q，若，求m的值；
②连接，若，求m的值；
(3)规定：横、纵坐标均为整数的点称为格点，如等．如图2，抛物线与直线相交于两点，若直线与抛物线所围成的部分（不含边界）格点数恰为12个，请直接写出a的取值范围．
3．如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．
①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标；
②若，求出的值．
4．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标；
(3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到，点是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
5．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点在直线上方抛物线上运动，过点作于点，轴于点，交于点，求的最大值，以及此时点的坐标．
(3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度后，得到新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限内新抛物线上的点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，，请求出点的坐标．
(4)在（3）的条件下，点是新抛物线的对称轴上一点，在轴上是否存在一点，使得以点，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接和，点在抛物线上运动，连接和．
(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点不重合），作点关于轴的对称点，连接，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积；
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，试探究在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式：
(2)点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点E，轴交于点E，当的周长最大时，求点P的坐标和周长的最大值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，在新的抛物线上是否存在点H，使，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
9．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标；
(3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
11．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标．
12．如图，抛物线交x轴于和B两点，交y轴于点．
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)直线与抛物线交于两点，若在x轴上存在唯一的一点P，使，求m的值．
13．如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与分别交于E，F两点，求的最大值；
(3)将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出满足条件的M点横坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点分别为，，其中（），且，与y轴的交点为C，直线轴，在x轴上有一动点过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为P、Q．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求当面积最大值时直线的解析式；
(3)在整个运动过程中，是否存在一点P，使得．若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
15．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形的面积为S，求S的最大值；
(3)如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求直线的函数表达式及点的坐标．
《二次函数压轴之角度问题—特殊角类归纳练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案
1．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，将直线向上平移，直至直线与抛物线只有一个交点时，此时的面积最大，联立解析式，根据根的判别式求出点的坐标，作点关于的对称点，作，垂线段最短，得到的最小值即为的长，求解即可；
（3）根据平移规则，求出平移后的抛物线的解析式，进而求出点的坐标，求出，得到，进而得到点在一三象限或二四象限的角平分线上，联立角平分线的解析式与新的抛物线的解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为直线，把代入，得：，
∴，
把直线向上平移，直至直线与抛物线只有一个交点时，此时的面最大，
设平移后的解析式为，
令，整理，得：，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，轴，，，
∴，
∵轴，
∴，
作点关于的对称点，交于点，连接，则：垂直平分，，
∵为上的动点，
∴当时，的值最小，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为：；
（3）存在，
∵，
设平移后的解析式为：，
∵平移后的解析式经过点，
∴，
解得：或（舍去）；
∴，
∴点是由点向右平移一个单位得到的，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
当在轴上方时，则：，
∴，即：点在一三象限的角平分线上，即：在直线上，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
当点在轴下方时，则：，
∴，此时点在轴正半轴，
∴，
∴点在二四象限的角平分线上，即在直线上，
联立，解得：或（舍去）；
∴；
综上：或．
2．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线，熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键．
（1）求出当时的自变量值即可得到答案；
（2）①过P作直线轴，交x轴于N，过Q作于M，证明，则，则，求出即可；
②证明，则，得到方程，解方程即可得到答案；
（3）求出上的格点应为：，得到，求出线段上的格点应为：，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
∵抛物线与x轴相交于点A，
∴点A的坐标为；
故答案为：；
（2）解：①当时，抛物线，
过P作直线轴，交x轴于N，过Q作于M，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
（P与A重合，舍去），，
∴；
②令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
解得：，
∵点P为对称轴右侧抛物线上一点，
∴，
；
（3）解：a的取值范围为；
由，
得，
∴，
设由抛物线与直线围成的区域（不含边界）的格点为（均为整数），
∴或，
设直线交直线交与点G，直线交直线于点F，交于点E，则，，
∴，
∴，
∴与上各有6个格点，且必在线段与上，
∴上的格点应为：，
，
，
，
当时，则，
∴线段上的格点应为：，
，
；
；
综上所述，满足条件的a的取值范围为．
3．(1)
(2)①点的坐标为或；②的值为或5
【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式．
（2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可；②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
故，
则的坐标为，
把代入中
得，
解得：，
∴抛物线的解析式的为：．
（2）解：①∵，
令，则，解得：或3，
∴，
又∵，
∴，，，
又轴，
，
，
，
∵，
∴，，
，
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故；
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故，
综上，或．
②∵点，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或5．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
4．(1)；
(2)4，；
(3)或．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的平移、运用二次函数求最值、二次函数与几何综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先说明，如图：作轴交于点Q，结合已知条件可得，进而得到，即，设点．可得，根据二次函数的性质可得当时，的最大值为4，最后确定点P的坐标即可；
（3）先求出原抛物线的顶点坐标，平移后的解析式为，然后分点M在直线的下方和上方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图：作轴交于点Q，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设点．
∴，
∴，
∴当时，的最大值为4，
∴当的最大值时，，
∴．
（3）解：如图：
∵，
∴抛物线的对称轴为，顶点坐标，
∴将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到的解析式为，
当点在直线的下方时，点为直线的延长线与新抛物线的交点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，解得：或2（舍弃），
∴，
∴；
当点在直线的上方时，作点N关于点C的对称点，则，点为直线的延长线与新抛物线的交点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，解得：或（舍弃），
∴，
∴．
综上，点M的坐标为或．
5．(1)
(2)最大值为；
(3)
(4)存在点Q，点的坐标或或
【分析】（1）把点，点代入即可求解；
（2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，结合二次函数图象的性质即可求解；
（3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解．
（4）分两种情况：当时或当为以点，为顶点的四边形为平行四边形的对角线时，根据平行四边形性质分别求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
代入可得，，
解得，，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：当时，，即，
∵，，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为：，
∵点，点．
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
如图所示，
∵轴，
∴，且，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，，且，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴；
（3）解：存在点，点的横坐标为，理由如下，
∵抛物线，
∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：，
令，则，
令，则，
解得，
∴，，
∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，
∴，且，
把代入得，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
新抛物线图像如图所示，
过点作，交抛物线与点，则，
∴设直线的解析式为，把点代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为：，
联立新抛物线与直线为方程组得，，
解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或，
∴；
（4）解：新抛物线的解析式为：，
对称轴为直线，
，，点在轴上，以点为顶点的四边形为平行四边形，
当时，如下图：
，则，
点M向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到，
点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到，
同理，得，则；
当为以点，为顶点的四边形为平行四边形的对角线时，
则，
，则，
，
；
综上所述，存在点Q，点的坐标或或．
【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键．
6．(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、三角函数等知识点．
（1）先运用待定系数法求出函数表达式，然后再化成顶点式即可解答；
（2）由，同理可得：，然后求出点P的坐标，进而完成解答；
（3）由，，得到，推出是等腰直角三角形，根据将原抛物线沿射线方向向下平移个单位长度，得求得新抛物线的解析式为，推出，得到直线的解析式为，解方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：将点和代入抛物线可得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，
∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，
如图：连接交于点E，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线的表达式为：，
设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）存在，如图，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
将原抛物线沿射线方向向下平移个单位长度，
相当于把将原抛物线向下，向左各平移了个单位长度，
新抛物线的解析式为，
，
，
，
设直线交轴于点，
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴，即
∴，
∴
∴
设直线的解析式为，代入
得
∴,
∴直线的解析式为，
联立
解得：或 ，
∴或
7．(1)
(2)，
(3)存在，点H的坐标为或
【分析】本题为二次函数的综合题，涉及一次函数的图象和性质、待定系数法、二次函数的平移等知识．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点的坐标，进而可求出直线的表达式，由题意可得，推出，，则，求出的最大值即可求解；
（3）求出新抛物线的表达式为：，分当点H在x轴上方时，延长交轴于点，当点H在下方时，过点B作直线，两种情况讨论，即可求出答案．
【详解】（1）解：将、点代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
点，
设直线的表达式为：，
将点，点，代入得：
，
解得：，
直线直线的表达式为：，
∵，
∴，
∵轴交于点E，轴交于点E，
∴，
，，
∴
设点，则，
则，
即，
，
有最大值为2，此时点；
则的周长有最大值，最大值为；
（3）存在，点H的坐标为或
将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，向上平移个单位，
则新抛物线的表达式为：，
连接， 当点H在下方时，过点B作直线，则点即为直线与抛物线的交点，

∵，
∴，
∵，
∴，
设直线的表达式为：，
将点，点，代入得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
设直线的解析式为，
把点代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得或（舍去），
∴点H的坐标为；
当点H在x轴上方时，延长交轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立得到，
解得或（舍去），
此时两点重合，
∴点H的坐标为；
综上，点H的坐标为或．
8．(1)
(2)的最大值为
(3)存在，
【分析】（1）根据题意得出，，代入函数解析式得：，得出；
（2）设，则，，则，，得出，故当时，的最大值为；
（3）取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
把，，代入函数解析式得，
解得，
；
（2）解：，，
设直线的解析式为，把代入，得，
，
设，则，，
，，，
，，
，
当时，的最大值为；
（3）解：令，解得：，，
，
，点为的中点，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，，
，，
，
，
取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，如图所示：

则，，
设的解析式为，
，解得，
，
联立，解得（舍去）或，
．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)存在点，使的坐标为)或
【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）设，求出，直线函数表达式为，知，分为当点Q在直线下方时和点Q在直线上方时，分别求解即可．
（3）过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于，分两种情况：当在上方时，求出顶点，可得，故，有，而，即可得，从而证明，得，得，故，即可得是等腰直角三角形，证明，有，设，则，解得，得直线函数表达式为，联法，可得；当在下方时，同理可得．
【详解】（1）解：把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，过点Q作轴，交于点，
在中，令得，
解得：或，
，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴设直线的函数表达式为，代入B得，解得：，
∴直线的函数表达式为，
，
，
当点Q在直线下方时：，
即，无解；
当点Q在直线上方时：
，
即，解得：或；
综上，此时，点Q的坐标为或；
（3）解：存在点，使，
理由如下：过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于，
当在上方时，如图：
，
∴顶点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
设，
，
解得，
，
∵
设直线函数表达式为，则，
解得，
故直线函数表达式为，
联立，
解得或，
；
当在下方时，同理可得，
可得函数表达式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，待定系数法等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
10．(1)
(2)的最大值为
(3)存在，点M的坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出的解析式，设，则，，将转化为二次函数求最值即可；
（3）易得垂直平分，设，则，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分两种情况讨论，进行求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入函数解析式得：
，解得：，
∴；
（2）解：∵当时，解得，，
∴，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
设，则，，
，，，
∴，，
∴，
∴当时，的最大值为；
（3）解：∴，，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设的解析式为：，，，
，
解得：，
∴，
联立，
解得，，
∴；
取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：，
，
设的解析式为：，
则：，
解得：，
∴，
联立，
解得，，
∴；
综上，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
11．(1)
(2)符合条件的P点坐标是或
(3)或或
【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合，，运用待定系数法求解即可；
（2）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可．
（3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，设，，而，，再利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，，
∴，
把A，E两点坐标代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在，理由如下：
∵，，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
，
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为，
①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M，
在中，
∵，
∴，
即，
解得，（舍去），
当时，，
∴，
②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N，
在中，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴，
综上，符合条件的P点坐标是或．
（3）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
如图，当为对角线时，
设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
当为对角线时，如图，
设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
如图，当为对角线时，
设，，而，，
∴，
解得：，
∴，
综上：或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．
12．(1)抛物线的解析式为
(2)或1或
【分析】此题是二次函数的综合题，主要考查了切线的性质，用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数与一次函数的关系．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解，要注意分类讨论，不要丢解．
（1）将A，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可；
（2）分为①当以为直径的圆和x轴相切时，②当点A或B在直线上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①当以为直径的圆和x轴相切时，符合题设条件，
设的中点为点S，则轴，
设点的横坐标为，联立与，
即，
则，
由直线的解析式知，其与x轴的夹角为，
则，
点S的横坐标为，
∴点S的坐标为，
，则，
即，解得；
②当点A或B在直线上时，也符合题设条件，
将点代入，
得或，解得或．
综上，或1或．
13．(1)抛物线解析式为：
(2)的最大值为
(3)或
【分析】（1）把点的坐标，抛物线对称轴直线代入计算即可求解；
（2）根据题意可得是等腰直角三角形，结合轴，轴，可得，设，求出，则，根据二次函数最值的计算方法即可求解；
（3）求出新抛物线的解析式为，设点，根据坐标两点间的距离公式求出，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，把点，对称轴为直线代入抛物线得，
，
解得，，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：由（1）可得抛物线解析式为，
∴令，则，
∴，
令，则，
解得，，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，则，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
∵点是抛物线上一线，且在直线下方，
∴设，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴点的横坐标为，代入直线的解析式得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时，有最大值，最大值为：；
（3）解：将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度得新抛物线，
则，
设点，
，
，
，
整理得：，即，
解得：，
M点横坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的综合，涉及待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次含最值的计算方法，勾股定理，掌握二次函数图象的性质，图形结合分析是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；此时，利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（3）由可证是等腰直角三角形，分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，得到，利用，即可解答；同理，当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，得到，利用，即可解答．
【详解】（1）解：抛物线，
对称轴为，
抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，
，，则，解得，
，，
将代入得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由得：，
设直线：，将，代入得，
解得，
直线：，
在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；
当在轴之间时，如图所示：
，，
，
，，
抛物线开口向下，当时，有最大值，为；
当在轴右边时，过作轴，如图所示：
，，
，
，对称轴为，，
抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为；
，
当时，面积有最大值，为；
此时，
此时，，
设直线的解析式为：，则，
解得：，
此时，直线的解析式为：；
（3）解：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
分两种情况：点在上方；点在下方；
当点在上方时，如图所示，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，即，
解得：或（舍去），
当点在下方时，如图所示，过点A作于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理得：
，
，即，
，
解得：（舍去）或（舍去），
综上，．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与角度问题、解直角三角形，解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键．
15．(1)
(2)S的最大值为
(3)；
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可；
（3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：将，代入，得：
，
，
；
（2）解：过点P作轴于点N，如图所示，

令，则，
∴，
∴，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，S有最大值，．
（3）解：设交y轴于点N，如图，

∵轴，轴，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
，
，
令，
解得：，，
∴点P的横坐标为，
把代入得：，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键．

展开更多......

收起↑