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二次函数与一次函数的综合应用-备考
2025年中考三轮数学专题训练
1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，抛物线经过A，B两点，点在第一象限的抛物线上．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)如图1，过点作轴于点，交于点．是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点坐标为，交于点．
①当与的面积比为时，求点的坐标；
②在①的条件下，若点为抛物线上位于对称轴右侧的点，，求直线的解析式．
2．已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，如图所示，其中，
(1)求和的值；
(2)求点坐标，并直接写出的取值范围．
3．定义：，，以长度为边在轴上方作等边三角形，当函数与在第一象限内有交点，称为“特别函数”．
(1)如图，当时，一次函数是“特别函数”，求的取值范围；
(2)如图，函数是“特别函数”，求的取值范围；
(3)如图，在的条件下，函数与交于点，，求的值；
(4)当时，函数最大值与最小值的差为，求的值．
4．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C．
(1)求的长；
(2)若一次函数的图象经过点B，结合图象，写出时x的取值范围；
(3)填空：当时，二次函数的取值范围为_____．
5．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标．
6．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为．
①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．
②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标．
7．已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求：
(1)求a和k．
(2)求点B坐标．
(3)的面积．
8．如图，已知二次函数经过点和点，
(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数经过、两点，直接写出不等式的解；
(3)点是抛物线的对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标．
9．如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值．
(3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标．
10．如图，二次函数的图像与一次函数的图像交于两点．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)当时，自变量的取值范围是______；
(3)点为抛物线上点和点之间的动点．当点到直线的距离最大时，求点的坐标．
11．如图，已知二次函数经过点和点，

(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；
(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交y轴于点，经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标．
13．如图，已知二次函数（a，b，c为常数，）与x轴交于点和点其中，与y轴交于点，若一次函数（，n为常数）也经过点C，且与反比例函数（，k为常数）交于点，我们不妨约定：称函数为一个“黄金组合”．
(1)已知二次函数（a，b，c为常数，），一次函数（，为常数）反比例函数为一个“黄金组合”．若，，求一次函数的解析式以及和b的值；
(2)已知函数为一个“黄金组合”，连接．当时，试问能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
(3)已知函数为一个“黄金组合”，当四边形是矩形，且时，求m的值．
14．如图，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A、B两点，已知点B坐标为．

(1)求二次函数和一次函数解析式；
(2)求出点A坐标；
(3)点M是直线上的一个动点，将点M向上平移2个单位长度得到点N，若线段与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围．
15．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．
(1)求a、b满足的关系式及c的值；
(2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使．
①求点P的坐标；
②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
《二次函数与一次函数的综合应用-备考2025年中考三轮数学专题训练》参考答案
1．(1)
(2)
(3)①或；②或
【分析】（1）运用一次函数与坐标轴的交点求出的值，代入二次函数即可求解；
（2）过B作于点H，设点，证明，得，得，解得，即得：
（3）①由与的面积比为，得，设， ， ，，，得，解得或，得或；②过点D作，交射线于点G，过点G作轴，过点D作于点H，交y轴于点J，过点F作于点I，证明,得，当时，得， 解析式为；当时，得，得．
【详解】（1）解：中，
令，
则，
解得，
令，
则，
∴，，
把，代入，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：过B作于点H，
设点，
则，
∴，，，
∵轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴，
∴．
（3）①∵与的面积比为，且点B到的高相同，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∴，，
又，
∴。
解得或，
∴或，
∴或
②过点D作，交射线于点G，过点G作轴，过点D作于点H，交y轴于点J，过点F作于点I，
则，轴，轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
当时，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设解析式为，
∴，
∴，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，或．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，一次函数与二次函数图象的性质，解直角三角形，三角形面积，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
2．(1)
(2)，
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，从函数图象获取正确数据，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据题意得到，求出，
（2）由（1）知，得到，联立得，
求出或，得到，当时，．
【详解】（1）解：二次函数与一次函数的图象相交于、两点，，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
联立得，
解得或，
，
当时，．
3．(1)
(2)
(3)
(4) ，
【分析】本题考查了一次函数，二次函数的性质和图像和三角形结合综合问题，熟练掌握二次函数，一次函数的性质和图像是解题的关键；
（1）过作轴垂线交于点，根据等边三角形的性质求出点的坐标，代入函数求出的值；
（2）根据，点坐标求出直线的解析式，求出顶点坐标；进而求出的取值范围；
（3）别过点与作轴垂线，分别交于点，，根据，求出，则，求出的坐标，从而求出的值
（4）分别对，，，，五种情况讨论，求得的值；
【详解】（1）解：过作轴垂线交于点，
等边三角形
（2）解：，
直线的解析式为：
函数的顶点坐标为：
解得：
（3）解：分别过点与作轴垂线，分别交于点，
，
，（舍）
（4）解：①当时，
最大值为
最小值为
②当时，
最大值为
最小值为
无解
③当时，
最大值为
最小值为
无解
，（舍）
④当时，
最大值为
最小值为
（舍），（舍）
⑤当时，
最大值为
最小值为
（舍）
综上： ，
4．(1)6
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，自变量的取值范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）令，求得A，B的坐标，即得答案；
（2）先求b的值，然后求二次函数与一次函数的交点的横坐标，观察图象即可得到答案；
（3）根据二次函数的轴对称性，即可求得答案．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
，，
；
（2）解：把的坐标代入，得，
解得，
，
令，
解得，，
观察图象可知，当时，；
（3）解：二次函数的图象的顶点坐标，
即当时，二次函数取得最大值9，
在对称轴左侧y1随x的增大而增大，在对称轴右侧y1随x的增大而减小，
，
当时，二次函数取得最小值0，
当时，二次函数的取值范围为．
故答案为：．
5．(1)
(2)点的坐标为
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）由题意易得，，然后根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，然后代入一次函数解析式可求解．
【详解】（1）解：令的，则，令，则．
，．
把，代入得：
，解方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）解：由
二次函数的对称轴为直线，
把代入得，
点的坐标为．
6．(1)
(2)①点P的坐标为，，；②点P的坐标为：和．
【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可；
（2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，如图，当点P在直线下方时，过点C作，当点P在直线上方时，记与轴的交点为，在轴上取点，且，可得，过点K作直线交抛物线于，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标．
②先求解，根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，设，分别利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B，
∴令，则，解得，即，
令，则，即，
∵二次函数的顶点C在x轴上，且，
∴由图可得，
∴可设二次函数，
把代入得：
∴二次函数的解析式：；
（2）解：①∵面积与面积相等，
∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上；
如图，当点P在直线下方时，过点C作，
由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的解析式：，
联立①②得，（舍）或，
∴；
当点P在直线上方时，记与轴的交点为，
∴，
∵，
∴，
在轴上取点，且，
∴，
过点K作直线交抛物线于，
同理可得：直线解析式为，
联立②③得，或，
∴或，
综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，；
②∵，
∴，
解得：，，
当时，，
∴，
如图，设，而，
∴，
，
，
当B为直角顶点时，
∴，
∴，
解得：，
∴，
当为直角顶点时，
∴，
∴，
解得：，
∴，
当P为直角顶点时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴方程无解，
∴此时不存在．
∴点P的坐标为：和．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数面积问题、勾股定理的应用，一元二次方根的判别式的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
7．(1)，
(2)
(3)3
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标．
（1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式；
（2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可；
（3）求出点的坐标，利用求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象过点，
，解得，
一次函数表达式为，
过点，
，解得，
二次函数表达式为；
（2）解：由一次函数与二次函数联立可得，
解得或
∵，
∴；
（3）解：在中，令，得，
，
∴，
∴．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握待定系数法、理解函数与不等式的关系等是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解；
（2）根据函数与不等式的关系求解；
（3）求出抛物线的对称轴，利用对称性求解即可．
【详解】（1）解：把点和点代入得，
，
解得：，
该二次函数的解析式为：；
（2）解：根据函数图象可知，不等式的解集为：；
（3）解：二次函数的对称轴是直线；
点B与点A关于直线对称，
∴，
当B、C、E三点共线时，的值最小；
把点和点代入得，
，
解得，，
∴直线解析式为，
则点的坐标为．
9．(1)
(2)，当时，S有最大值，为2
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于m的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
（1）根据一次函数表达式可得M、N点坐标，根据待定系数法可得函数解析式；
（2）连接，得，根据割补法表示面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
（3）设，得出及，由相切，可得关于m的方程，根据解方程，可得m，可得G点坐标；
【详解】（1）解：在中，当时，；
当时；
∴，，
把，代入中，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，连接，
∵点G的坐标为，
∴
，
∴S关于n的函数关系式为；
∵，
∴当时，S有最大值，为2；
（3）设，
则，
∴，
∵F为线段的中点，
∴，
∵以为半径的与y轴相切，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴G点的坐标为．
10．(1)，
(2)和
(3)
【分析】（1）联列二次函数的图象与一次函数，根据图象即可得出，即可求出点和点的坐标．
（2）根据函数图象直接可以得出，当时，自变量的取值范围．
（3）作直线的平行线，两者斜率相等，与抛物线相切与点，此时点到直线的距离最大，设直线的解析式为，与二次函数联列，得，根据直线和抛物线相切于一点，即有两个相同的解，可得，代入数值可得，代入原式解得，，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于两点，
∴联列两者可得，
解得，，
由图象可得点的坐标为，点的坐标为，
故答案为，．
（2）解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴根据图象可得当时，即一次函数图象在二次函数图象上方，
∴自变量的取值范围是和，
故答案为和．
（3）如图，作直线的平行线，与抛物线相切与点，此时点到直线的距离最大，
∵直线一次函数为，，
∴设直线的解析式为，
联列直线和抛物线，即，
化简可得，
∵直线和抛物线相切于一点，即有两个相同的解，
∴，代入数值可得，
解得，
将代入中，得，
解得：，
将代入，
解得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，根的判别式，函数图象与不等式，解二元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．(1)
(2)
(3)6
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，利用函数图象解不等式，能熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
（1）用待定系数法求解即可．
（2）根据二次函数图象可得出结论．
（3）先求出点A得坐标，从而得出的值，利用三角形面积即可得出结论．
【详解】（1）将和点代入二次函数得：，
解得：，
∴二次函数解析式为：．
（2）∵当时，的图象在的下方，
∴不等式的解集为：．
（3）当时，，
解得，
∴，
∴．
∴．
12．(1)
(2)或或．
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键.
（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次和二次函数解析式设出M点坐标和N的坐标，再表示出，然后根据解方程可得答案．
【详解】（1）解：抛物线过点和，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）一次函数经过点和点，
，
解得，
一次函数解析式为，
轴，
设，，其中，
当M在N点的上方时，如图：
，
解得： ，（舍去），
，
当M在N点下方时，
，
解得：，，
，，
综上，满足条件的点M的坐标有三个或或．
13．(1)，，
(2)不能，见解析
(3)
【分析】（1）将代入，可求满足要求的解为，则，，将，代入，计算求解可得，则，由题意知，，令，则，，可求，；
（2）由函数为一个“黄金组合”，可得，，由，可知对称轴为直线，令，则，，，如图1，连接，作于，则，，由，可得，则，，即，可得，由，可得，；当为等边三角形时，由题意知，在抛物线的对称轴上，，，则，即，，则，即，可求，由与矛盾，进行作答即可；
（3）令，则，，如图2，记的交点为，由四边形是矩形，可知，为的中点，同理（2）可得，，，即，，即，可得，则，由，，可得，将代入得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，或（舍去），
∴，
当时，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴，
由题意知，，
令，则，，
∵，
∴，；
∴，，；
（2）解：不能，证明如下；
∵函数为一个“黄金组合”，
∴，，
∵，
∴对称轴为直线，
令，则，，
∴，
如图1，连接，作于，则，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，；
当为等边三角形时，
由题意知，在抛物线的对称轴上，，，
∴，即，，
∴，即，
解得，，
∵与矛盾，
∴当时，不能是等边三角形；
（3）解：令，则，，
如图2，记的交点为，
∵四边形是矩形，
∴，为的中点，
同理（2）可得，，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
将代入得，，整理得，，
解得，或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，一次函数与二次函数综合，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的四边形综合，正切，等边三角形的性质等知识．熟练掌握考查了一次函数与反比例函数的综合，一次函数与二次函数综合，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的四边形综合，正切，等边三角形的性质是解题的关键．
14．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）把点分别代入和，求出b和k的值，即可得出二次函数和一次函数解析式；
（2）联立二次函数和一次函数解析式，即可求出点A的坐标；
（3）过点N作的平行线l，则向上平移两个单位长度得到l，得到l的函数表达式为，求出二次函数和l的交点坐标为：，结合图象，即可求出m的取值范围．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴二次函数解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：联立二次函数和一次函数解析式为：
，解得：，，
∴；
（3）解：过点N作的平行线l，
∵将点M向上平移2个单位长度得到点N，
∴向上平移两个单位长度得到l，
∴l的函数表达式为，
联立二次函数和l的表达式为：
，解得：，，
∴二次函数和l的交点坐标为：，
∵，，
∴由图可知，当或时，线段与抛物线有公共点．

【点睛】本题考查了二次函数和一次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及求函数交点坐标的方法．
15．(1)，
(2)①；②存在，点Q坐标为或．
【分析】（1）根据一次函数解析式可得出A、B两点坐标，再代入二次函数解析式中，即可得出c的值和a与b的关系式；
（2）①当a=1时，可得出该二次函数解析式，设点P坐标为，根据（1）可推出，则，再根据题意即可证为等腰直角三角形，得出，结合点E为DP中点，即可列出关于a的一元二次方程，解出a即可求出P点坐标；
②以AB为斜边的直角三角形，即点Q为直角顶点时，根据圆周角定理可以以线段AB的中点E为圆心，AE为半径作交PD于点，，由得，即得出，从而可求出和的长，由此即得出Q点坐标．
【详解】（1）解：∵对于一次函数，当x=0时，；y=0时，x=2，
∴点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)．
则在二次函数中，
将，代入中得：
，
即；
（2）当时，，则二次函数表达式为．
①设点P横坐标为a，则点P坐标为
由（1）可知，在中，，
∴．
根据作图可知，
∴在中，，即
∵点E为DP中点，
∴
∴
解得，（舍去）．
即点P坐标为，即为．
②是以为斜边的直角三角形，则以线段的中点为圆心，为半径作交于点，，如图：
∵点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)．
∴，
线段AB的中点E坐标为，在直线PD上，
∴，
∴，
∴
∴点坐标为；
∴，
∴
∴点坐标为．
综上可知，若是以为斜边的直角三角形，则点Q坐标为或．
【点睛】本题为一次函数和二次函数综合题．考查一次函数，二次函数函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．综合性强，属于压轴题，困难题型．在解决（2）②时正确的作出辅助线是解题的关键．

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