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2025年中考数学三轮冲刺专题：反比例函数k值问题提升练习
1．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值．
2．如图，直线与双曲线相交于点，轴于点，以为边在右侧作正方形，与双曲线相交于点，连结、．

(1)当时，求点的坐标；
(2)当时，求的值；
(3)是否存在实数，满足，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，已知点，均在反比例函数的图象上．

(1)求的值和该反比例函数的解析式；
(2)如图，直线为正比例函数的图象，若点是反比例函数图象上一点，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点记的面积为，的面积为，求的值．
4．经过点，过点作轴于点，且的面积为5．
(1)求和的値；
(2)当时，求函数值的取值范围．
5．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的底边在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，若，的面积为，求的值．
6．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与另一个正比例函数的图象相交于点，其中点在第一象限．若四边形的面积为24，求点的坐标．
7．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
8．如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点．
(1)的值为______．
(2)将正方形分别沿直线，翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点，，连接，，．
①求的面积；
②在轴上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点B顺时针旋转一定角度，使得点O落在第一象限的点C处，作直线，已知，点C在反比例函数的图象上．
(1)求k的值．
(2)求图中阴影部分的面积．
10．如图所示：已知直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
(1)求k的值；
(2)若双曲线上的一点C的纵坐标为8，求的面积？
(3)在坐标轴上是否存在一点M使得的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B.
(1)直接写出的值；
(2)①求证：
②设，，试求m与n的函数关系式.
12．如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由．
(1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）；
(2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形．
13．如图，过点且与y轴平行的直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若P是y轴上任意一点，求的面积．
14．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x轴、y轴的垂线，交反比例函数的图象于B，C两点，以为边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，矩形面积分别记为，已知．
(1)直接写出反比例函数的表达式；
(2)求矩形的面积．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，连接．已知，的面积为．

(1)求反比例函数的解析式．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)若为线段上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
《2025年中考数学三轮冲刺专题：反比例函数k值问题提升练习》参考答案
1．8
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键．
【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限，
∴，
∴四边形的面积．
解得．
2．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，得到A点的纵坐标为4，点在直线上，求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出的长，根据点在反比例函数上，进行求解即可；
（2）设，同法（1）求出点坐标，利用，列式计算即可；
（3）假设存在，推出，得到，推出，与矛盾，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，
∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
（2）设，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，解得，
∴；
（3）不存在．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
要使，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，，则点，
∴，，
∴，得，
∴，
∵，
∴不符合题意，不存在．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握值的几何意义，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
3．(1)，
(2)
【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解方程可得的值，进而可得反比例函数的解析式；
（2）设，利用为等腰直角三角形得到，再证明为等腰直角三角形，则可设，所以，把代入中得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）解：反比例函数图象上的两点、．
．
．
．
反比例函数解析式为．
（2）设，
．
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，则，
在反比例函数解析式为上，
．
．
．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了反比例函数的性质．
4．(1)，；
(2)．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值；
（2）求出时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】（1）解：∵，过点作轴于点，
∴，，
∴，
解得，
∴点A的坐标为．
把代入，
得；
（2）由（1），得，
∴当时，．
∵当时，反比例函数的图象在第一象限，函数值y随自变量x的增大而减小，
∴当时，函数值y的取值范围为．
5．
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积相等．作轴，垂足为点，连接，利用相似得到三角形面积，根据线段之比得到三角形的面积，两个面积之和为绝对值的一半即可求出值．
【详解】解：作轴，垂足为点，连接，
，轴，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，，
，
，
反比例函数图象在第一象限，
．
6．或
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形是平行四边形，由此得；设点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，由，分两种情况即可求得m，进而求得点C的坐标．
【详解】解：根据对称性，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，如图，
∵点、在反比例函数的图象上，
∴，
当时，则，
∴，
即，
解得(舍)或，
∴点；
当时，则，
∴，
即，
解得(舍)或，
∴点．
综上，点的坐标为或．
7．(1)
(2)理由见解析
(3)四边形的面积为
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数的解析式，一次函数的解析式．
（1）根据平行四边形的性质即可求出B点坐标；
（2）由点A的坐标进可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出D点坐标，即可得出结论；
（3）由（2）知点D为的中点，的面积平行四边形的面积，即可求出四边形的面积．．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，A、C的坐标分别是，
∴，
∴点B的坐标为：；
（2）解：把点代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为：；
设直线的解析式为：，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
解方程组
得：或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：，
即点D为的中点；
（3）解：如图，连接，
点D为的中点，
的面积平行四边形的面积，
∴四边形的面积平行四边形的面积的面积；
四边形的面积为．
8．(1)4
(2)①；②存在，点的坐标为或
【分析】（1）根据坐标与图形、正方形的性质得到点B坐标，然后代入求解即可；
（2）①根据轴对称性质和反比例函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，则有，进而求解即可；
②设，分三种情况：若、若、若，利用两点坐标距离公式和勾股定理列方程，然后解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形，
∴，则,
将代入中，得；
（2）解：①根据翻折性质，得，
∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4，
∵点E、F在函数的图象上，
∴当时，，当，，
∴，，
过F作轴于H，则，
∴；
②存在．设，
∴，
，
，
∵为直角三角形，
∴分三种情况：
若，则，
∴，解得，
∴；
若，则，
∴，即，
∵，
∴该方程无解，即P不存在；
若，则，
∴，解得，
∴，
综上，满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数比例系数k的几何意义、坐标与图形、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
9．(1)
(2)
【分析】（1）连接，过点C作轴于点D，证明是等边三角形，求出的面积，然后利用反比例函数k值的几何意义解得即可；
（2）先求出点C坐标，再求出直线解析式，根据解析式得到直线与y轴的交点坐标，据此求出阴影部分面积即可．
【详解】（1）连接，过点C作轴于点D，如解图所示．
∵点，，
∴，即点O是的中点．
∵，
∴，
∴．
由旋转的性质，可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∴．
（2）由（1），知为等边三角形．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
10．(1)
(2)
(3)存在，M点坐标为，理由见解析
【分析】（1）利用一次函数求出点坐标，再将其代入双曲线中求解，即可解题；
（2）利用反比例函数求出点C，过点C作轴于点，过点A作轴于点，，的延长线相加于点，连接，，结合的几何意义根据求解，即可解题；
（3）根据点M在坐标轴上使得的值最小分以下两种情况讨论，①当M点在轴上时，②当M点在轴上时，根据以上两种情况结合轴对称性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴交点情况分析求解，即可解题．
【详解】（1）解：直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
将点A的横坐标代入得，
点A的坐标为，
将点A的坐标代入得：，
解得：，
故的值为；
（2）解：由（1）可知：双曲线解析式为，
点C在双曲线上，点C的纵坐标为8，
将点C的纵坐标代入得：，
解得：，点C的坐标为，
如图，过点C作轴于点，过点A作轴于点，，的延长线相加于点，连接，，
；
（3）解：存在，理由如下：
①当M点在轴上时，
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点M，连接，
根据轴对称性质可知，，
，
根据两点之间线段最短可知即为的最小值，与轴的交点即为M点，
点C的坐标为，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将、坐标代入得：，解得：，
直线的解析式为，
令，代入得：，
解得：，
点坐标为．
此时最小值为.
②当M点在轴上时，
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点M，连接，
根据轴对称性质可知，，
，
根据两点之间线段最短可知即为的最小值，与轴的交点即为M点，
点C的坐标为，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将、坐标代入得：，解得：，
直线的解析式为，
令，代入得：，
点坐标为，
此时最小值为，且.
综上所述，M点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，的几何意义，以及一次函数与坐标轴交点情况，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质．
11．(1)4
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，一次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）设点，由轴，轴，得到，，根据点P在反比例函数图象上，于是得到；
（2）①在中，令，则；令，则，于是得到，，求得，根据等腰直角三角形的性质得到；
②由①知是等腰直角三角形，得到，过C作轴于E，轴于F，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，求得，，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：设点，
∵轴，轴，
∴，，
∵点P在反比例函数图象上，
∴；
（2）解：①证明：∵在中，令，则；令，则，
∴，，
∴，
∵，
∴；
②由①知是等腰直角三角形，
∴，
过C作轴于E，轴于F，
则四边形是矩形，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴m与n的函数关系式为.
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求；
（2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求．
【详解】（1）解：连接，过点作交轴于点，如图：
轴，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形即为所求；
（2）解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图：
由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称，
，
，
，
，
，
即为所求．
13．
【分析】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．如图，连接，，记与x轴的交点为C，依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图像分别交于A、B两点，即可得到，，而得出的面积为．
【详解】解：如图，连接，，记与x轴的交点为C，
∵轴，
∴与的面积相等，
又∵反比例函数和的图像分别交于A、B两点，
∴，，
∴，
∴的面积为．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据，得出，根据反比例函数的图象在第一象限，得出
，即可得出答案；
（2）点B，C均在反比例函数的图象上，得出．设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．得出，，根据，求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵反比例函数的图象在第一象限，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵点B，C均在反比例函数的图象上，
．
如图，设分别交x轴于点分别交y轴于点G，H．
，，
，
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握反比例函数比例系数k的意义．
15．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）过点作于点，可得，，，根据反比例函数中的几何意义，即可求得解析式；
（2）根据直线与反比例函数的图象在第二象限内交于，两点，观察函数图像，即可得到不等式解集；
（3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，求得直线的解析式，即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：过点作于点，如解图1所示，则．

∵，
∴．
又∵，
∴．
由反比例函数中的几何意义，可知，
∴（正值已舍去）．
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：或．
（3）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，如解图2所示．

把点，分别代入，得，，即点，．
∴．
易得直线的解析式为．
∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，轴对称的性质，三角形的面积公式，理解函数图象所表达的信息是解决本题的关键．

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