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一次函数的图象和性质-备考
2025年中考二轮数学专题训练
1．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象．
(1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
(2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点．
(1)求直线的表达式；
(2)连接．
①当的面积等于面积的一半时，求出点P的坐标；
②当时，请直接写出点P的坐标为____．
3．图中所给的直线是一次函数的图象．
(1)请直接在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
(2)求出两条直线的交点的坐标，并在图中标出点的位置；
(3)根据图象，当时，直接写出的取值范围．
4．如图，经过点的直线交轴于点，直线：交轴于点，交于点．
(1)填空： ，点的坐标为 ，的面积为 ；
(2)是直线上的一点，过点作轴于点，交直线于点，若，求点的坐标；
(3)点是轴上一点，直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：
(1)函数的自变量的取值范围是_______；
(2)表格是与的几组对应值：
则的值为________；
(3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象；
(4)观察图象，写出该函数的一条性质：_________．
6．列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系．
1 2
1 0
2
画出的图象如下．
(1)求a和b的值．
(2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象．
(3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值．
7．如图，直线与轴交于点， 与轴交于点， 直线与轴交于点，与直线交于点．
(1)求的值及直线的解析式．
(2)若为直线上一动点，，求点的坐标；
(3)一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出 的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，直线与交于点，与轴交于点，与轴交于点．

(1)求直线的解析式；
(2)点为线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的周长最小时，在轴正半轴上找一点，连接，若，求点的坐标；
(3)将绕点顺时针旋转得到，在旋转过程中，边，所在直线分别交于点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
9．如图，已知直线经过点，直线．
(1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？
(2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P．
①点P的坐标为________．
②求面积．
(3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围．
10．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，点在第三象限，点M在线段上，点M的横坐标为m，过点M作轴交折线于N．
(1)求点A，B的坐标：
(2)设点M，N的纵坐标分别为，，当时，为定值，求t的值；
(3)在（2）的条件下，分别过点M，N作垂直于y轴，垂足分别为点Q，P，当时，求长方形周长的最大值．
11．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上．
(1)求直线的函数表达式；
(2)直接写出点、的坐标；
(3)猜想点的坐标为______．
12．如图，直线的函数表达式为，且直线与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)直接写出时x的取值范围．
(3)已知函数的值满足，求相应的x的取值范围．
13．定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数．
(1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象．
(2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围．
(3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，已知点及两个图形和，若对于图形上任意一点，在图形上总存在点，使得点是线段的中点，则称点是点关于点的关联点，图形是图形关于点的关联图形．
(1)点是点关于原点的关联点，则点的坐标是_____；
(2)已知，点，，，．
①点为线段上一点，点．若直线上存在点关于点的关联点，求的取值范围；
②在轴上是否存在点，使得正方形关于点的关联图形恰好被直线分成面积相等的两部分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
15．在平面直角坐标系中，对于一次函数，若（为常数，），则称为的“型相关量”．例如：一次函数的“型相关量”为．
【理解】（1）一次函数的“型相关量”为，则 ；
【探究】（2）已知是的“型相关量”，
①若是定值，请说明与的大小关系，并求出的值；
②若随的增大而增大，试比较与的大小关系；
【迁移】（3）类似的，对于二次函数，若，亦称为的“型相关量”．当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，请直接写出的值．
《一次函数的图象和性质-备考2025年中考二轮数学专题训练》参考答案
1．(1)证明见解析
(2)存在，或或或
【分析】（）当时，函数表达式为，可得一次函数与轴有交点；当时，为二次函数，根据可得抛物线与轴有交点，综上即可求证；
（）当时，不符合题意；当时，可得抛物线与的交点横坐标为或，由可得是的因数，据此解答即可求解；
本题考查了二次函数与轴的交点问题，一次函数与轴的交点问题，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）证明：当时，函数表达式为，
令，则，
∴，
∴此时函数（实数为常数）的图象与轴有交点；
当时，为二次函数，
，
∴函数（实数为常数）的图象与轴有交点；
综上所述，无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）解：存在整数，使图象与轴的公共点中有整点，理由如下：
当时，不符合题意；
当时，
令，则，
解得或，
，是整数，是奇数，
∴当是的奇因数时，是整数，
∴或或或，
解得或或或．
2．(1)
(2)①或；②或
【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式：
（2）①先由直线可得，由直线得，即可得的面积；设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可；
②设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点代入直线得，
，
点，
设直线的解析式是，
点，
，解得，
直线的表达式为；
（2）解：①直线与轴相交于点，
∴当时，，则，
直线与轴相交于点，
∴当时，，则，
，
，
点，
；
设点的坐标为，
Ⅰ、点在轴正半轴时，如图，
，
，
，
点的坐标为；
Ⅱ、点在轴负半轴时，
，
，
，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
②设点的坐标为，
Ⅰ、点在轴正半轴时，过点作轴于，
，
，
，
，
直线，令，则，
，
，
，，，
，
，
设点的坐标为；
Ⅱ、点在轴负半轴时，
由图得当点与点重合时，，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
故答案为：或
【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键．
3．(1)图象见解析
(2)，图见解析
(3)
【分析】本题考查的是一次函数与方程和不等式的关系，解二元一次方程组，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
（1）根据题意画出函数的图象即可；
（2）解方程组即可得到结论；
（3）根据函数的图象即可得到结论．
【详解】（1）解：一次函数的图象如图所示，
（2）解：由题意得：，
解得：，
∴点的坐标为，
点的坐标如图所示．
（3）解：由图象可知，当时，的取值范围为．
4．(1)2，，
(2)或
(3)存在，点E的坐标为E或或
【分析】本题考查了一次函数综合问题，面积问题，平行四边形的性质，中点坐标公式，平移的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键；
（1）将点代入待定系数法求解析式，得，则，联立解析式求得点，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）分两种情况：当点在点右侧时，当点在点左侧时，根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）分以为边和以为对角线两种情况，分别画出图形，根据平移的性质求得点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入
得
解得：，则
∴直线解析式为，
联立
解得：
∴
直线：交轴于点，当时，
∴
又∵
∴
∴的面积为
故答案为：2，，．
（2）轴，
轴，
设，，
分两种情况：
①如图，当点在点右侧时，
，，
由得，，
解得，，
此时，点的坐标为，
②如图，当点在点左侧时，
，，
由得，，
解得，，
此时，点的坐标为，
综上，点的坐标为或，；
（3）存在点的坐标为或或
在轴上，
点的纵坐标为
分以为边和以为对角线两种情况：
①以为边时，又分为边和为边两种情况：
ⅰ当为边时，如图，由平移可知，当点平到点时，纵坐标减小个单位，点平移到点纵坐标也减小个单位，
的纵坐标为，
由得，，
；
ⅱ当为对角线时，如图，同理可得；
或
②以为对角线时，，互相平分，
，
，
，
由得，，
综上，直线上存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或
5．(1)全体实数
(2)2
(3)见解析
(4)当时，y随x增大而增大（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，求自变量的取值范围，求函数值等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数；
（2）把代入中求出y的值即可得到答案；
（3）先描点，再连线即可得到答案；
（4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数；
故答案为：全体实数；
（2）解：在中，当时，，
∴；
故答案为：2；
（3）解：如图所示，
（4）由函数图象可知，当时，y随x增大而增大（答案不唯一）．
6．(1)
(2)，图见详解
(3)
【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的综合，利用待定系数法求出函数解析式是关键；
（1）根据表格信息建立方程组求解的值；
（2）把代入求出，再由表格画图即可；
（3）求出A，B两点纵坐标，再根据点A，B关于轴对称，列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，即，
当时，，即，
，解得：
（2）解：当时，，
∴，
画图如下：
（3）解：令，则，，
当点A，B关于轴对称时，，
解得：．
7．(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴交点问题，一次函数的平移，根据图象交点求不等式的解集；
（1）先求得，然后根据待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得，设的横坐标为，则，根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）根据平移得出，进而结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，
解得：
∴
将,代入
∴
解得：
∴
（2）解：∵直线与轴交于点， 与轴交于点，
当时，，则
当时，，则
∵,
∴
∴
∴
设的横坐标为，则
∴
∴
∴或
（3）解：函数的图象向下平移个单位长度得到
当时，
代入，，解得：
如图，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，．
8．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）先求得点D坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得A、B坐标，得到和是等腰直角三角形，进而可得，则的周长，
当最小，即时，的周长最小，此时点为的中点，则F坐标为，如图1，过点作轴于，设，利用列方程求得t值即可；
（3）分①当时，②当时，③当时，④当时，四种情况，分别画出对应的图形，利用等腰三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，逐个求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
设直线的解析式为：，
把和代入得：，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）解：在直线中，当时，；
当时，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的周长，
当最小，即时，的周长最小，此时点为的中点，则F坐标为，
∴，
如图1，过点作轴于，

对于，当时，，则，
设，
，
，
，
点的坐标为；
（3）解：分四种情况：
①当时，如图2，过点作轴于，

∵，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
，
是等腰直角三角形，
由旋转得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的中点的坐标为，
点的坐标为；
②当时，如图2，此时与重合，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
③当时，如图3，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，；
④当时，如图4，此时与重合，与重合，；

综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、直线与坐标轴的交点问题、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，数形结合与分类讨论思想的运用是解答的关键．
9．(1)，点不在直线；
(2)①，②；
(3)或．
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用待定系数法求解，然后把点代入即判断；
（2）①联立得，求解即可；
②求出，，根据三角形面积公式即可求解；
（3）先求出，，再根据一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
∵直线经过点，
，
，
∴直线的解析式为，
在中，当时，、
∴点不在直线上；
（2）解：①当时直线
联立得：，
解得：，
∴点坐标为，
故答案为：，
②在中，当时，，当时，，
，，
；
（3）解：∵点在直线上，
，，
，，
当直线过点时，则，
解得：，
当直线过点时，则，
解得：，
∴的取值范围或．
10．(1)
(2)
(3)长方形周长的最大值为22
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的图象与性质等知识，注意分类讨论思想的运用．
（1）在中，分别令，相应地可求得的值，从而得到A、B的坐标；
（2）求出直线的解析式，由题意知，则，由为定值，即可求得t的值；
（3）分与两种情况考虑，利用一次函数的图象与性质即可求解．
【详解】（1）解：在中，令，则；令，即，得，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，
则有，
∴，
即直线的解析式为；
设，则；
∵轴，
∴，
∴，
∴；
由题意得：，
∴；
（3）解：当时，
由（2）知，，，此时，
则长方形周长为；
当时，
∵，
设直线解析式为，
把B、C两个坐标代入得，
解得：，
即直线解析式为，
则；
∴长方形周长为，其中，
∵，
∴函数值随自变量的增大而增大，
∴当时，长方形周长有最大值22；
综上，长方形周长的最大值为22．
11．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质．
（1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可；
（2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标；
（3）总结（2）中的规律可得出的坐标．
【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为，
∴，，
设直线的解析式为，
∵点、在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为：；
（2）解：∵的边长为1，
∴，
，
在直线上，
，
，
同理可得，
∴，；
（3）解：由（2）中规律可得：，
故答案为：．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把代入求出得到点坐标；再运用待定系数法求直线的函数表达式；
（2）运用图象，结合数形结合思想即可作答．
（3）因为直线的函数表达式，且，分别求出对应的的值，即可作答．
本题考查了一次函数的应用，两直线交点问题，掌握待定系数法和三角形的面积公式是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，把代入
∴
∴
∴
设直线的函数表达式为
把和代入
得
∴
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵直线与交于点．
结合图象，得出
（3）解：依题意，的函数表达式为；
把和分别代入
得和
∴当，则
13．(1)，画图见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图，解不等式、新定义等，数形集合是解题的关键.
（1）由题意即可求出函数表达式，取点、描点、连线绘制图象即可；
（2）同理可得：即可求解；
（3）联立上式和得: 解得：联立和 同理可得： 当 时, 即 即可求解.
【详解】（1）由题意得:
当,, 当,, 当,
将上述点描点、连线绘制图象如下：
（2）则, ,
就点、在和上,
则,
同理可得:,
∵, 即,
解得: ,
即；
（3）由点的坐标知，点在直线 (下图,虚线)上,
联立上式和得:
解得：
联立和 同理可得：
当时, 即
即
14．(1)
(2)①；②
【分析】本题属于新定义性题目．主要考查了一次函数的性质、关于点的对称图形等知识点，理解关联图形的定义是解题的关键．
（1）由点是点P关于原点O的关联点，可得点是线段的中点，然后求得点P坐标即可；
（2）①如图：设，根据“关联点”的定义可得，再将点代入可得，然后求得点b的取值范围即可；②设，易得关联图形的中心Q落在直线上，然后由正方形的中心为，可得，解得即可解答．
【详解】（1）解：∵点是点P关于原点O的关联点，
∴点是线段的中点，
∴点P的坐标是；
故答案为：；
（2）解：①如图：设，
∴点关于点的关联点，即，
∵直线上存在点关于点的关联点，
∴将点代入可得：，
∴，
∵，
∴．
②如图2，设．
∵正方形关于点N的关联图形恰好被直线分成面积相等的两部分，
∴关联图形的中心Q落在直线上，
∵正方形的中心为，
∴，
将点代入得：
，解得：．
∴点N的坐标为．
15．（1）；（2）①，；②；（3）或
【分析】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质等知识点，理解“型相关量”的定义成为解题的关键。
（1）根据“型相关量”的定义得，即可求出；
（2）①根据“型相关量”的定义得，再由是定值得，进而可求解；②根据一次函数的性质解答即可；
（3）先求出，再根据对称轴与的关系分情况讨论，求出最大值后解方程即可．
【详解】解：（1）∵一次函数的“型相关量”为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①∵是的“型相关量”，
∴，
∵是定值，
∴，
∴，
此时，，
即若是定值，则，；
②由①得，
∵随的增大而增大，
∴，
∴；
（3）由题意知，二次函数的“型相关量”为：
，
∴，二次函数的图象的对称轴为，
∵当时，二次函数的“型相关量”的最大值为2，
∴当时，此时当时，二次函数随的增大而增大，当时有最大值，
∴，解得，此时；
当时，此时当时有最大值，
∴，解得，此时；
当时，此时当时，二次函数随的增大而减小，
当时有最大值，则，解得，此时无解；
综上所述，或．

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