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2024-2025学年山东省济宁市兖州区高二下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，则( )
A. B. C. D.
2.从名男生、名女生中选人分别担任班长和副部长，要求选出的人中至少有一名男生，则不同的方法数为( )
A. B. C. D.
3.已知的展开式中的系数为则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.某网红奶茶店“ ”在市中心有三个分店：店、店、店根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为、、已知各分店高峰期制作时间超过分钟的概率分别为：店、店、店若小明随机选择一个分店下单，他等待超过分钟的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知是函数的极小值点，则( )
A. B. C. D. 或
6.从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山小明与其父母共人计划在假期出游，每人选一个地方，则下列结论正确的是( )
A. 人选择的地点均不同的方法总数为 B. 恰有人选一个地方的方法总数为
C. 恰有人选泰山的方法总数为 D. 至少人选泰山的方法总数
10.甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．整个取球过程分为两步：先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；再从乙罐中随机取出两个球，记事件为“取出的两球都是红球”，事件为“取出的两球为一红一白”，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列的结论正确的是( )
A. B. 在区间上单调递增
C. 当时，函数有极小值 D. 当时，函数有极小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 ．
13.某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中个项目假设每人参加每个项目的可能性相同，已知甲同学参加的个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ．
14.已知和分别是函数且的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式，且满足．
求值，并求二项式系数最大的项；
求二项展开式中含项的系数；
16.本小题分
从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛．
如果参加选拔的名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？
如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？
如果人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
17.本小题分
化州市宏达广场的惠客多超市准备在年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为．
求甲、乙位消费者均抽中三等奖且人最终选择的奖品不一样的概率；
若有位消费者均抽中三等奖，记三等奖的种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列．
18.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程．
若函数在处有极值，求函数的单调区间
当时，求证．
19.本小题分
定义：，是函数的两个极值点，若，则称为“函数”．
若为“函数”，求的取值范围．
已知函数有两个极值点．
求的取值范围；
证明：为“函数”．
参考答案
1.
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8.
9.
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13.
14.
15.【详解】因为，即，整理得，
解得或舍去，故．
所以展开式的通项
为且，
则，故二项式系数的最大项为第项，为；
令，解得，
所以，
所以二项展开式中含项的系数为．

16.【详解】先安排名女生，出现个空位，再安排名男生，
所以参加选拔的名同学站成一排且男生不相邻共有
种方法；
如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，包含两种情况，
第一种甲和乙都在内的选法有种，
第二种情况，甲乙选人，有种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，共有种选法；
如果人中必须既有男生又有女生，先从所有人中选人，
去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法．

17.【详解】设事件为“甲、乙位消费者均抽中三等奖且人最终选择的奖品不一样”，
由三等奖有种奖品供选择，故甲、乙位消费者的选择情况共有种，其中人最终选择的奖品不一样的情况有种，
因为每位消费者抽中三等奖的概率均为，
所以，．
由题，的所有可能取值为，，，，
由题知，个人挑选了种奖品，共有种情况，
表示个人挑选了种奖品，所以；
表示个人挑选了种奖品，故有个人选中同一种奖品，
所以；
当表示个人挑选了种奖品，从种奖品中选种奖品的方法有种，
对于被选中的种奖品，个人不同的选择方法有种，
所以有种奖品被选中的方法有种，
所以，；
当表示个人挑选了同一种奖品，
所以．
所以的分布列为

18.【详解】当时，，
则，
故，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
，
因为函数在处有极值，
所以，即，解得，
此时，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，
所以时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
法一：令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
故，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，
当时，，所以；
法二：当时，，
故只需证明当时，．
当时，函数在上单调递增．
又，故在上有唯一实根，
且．
当时，；当时，，
从而当时，取得最小值．
由得，
故．
综上，当时，．

19.解：由题可得，
令，
可得，．
因为为“函数”，
所以，则．
又，
化简得，
解得，
所以的取值范围为
由题可得设，
则，
令，解得，
所以当时，，
当时，，
则．
当时，，
所以函数在上单调递增，没有极值点；
当时，，，，
此时有两个零点，，
不妨设，则，
所以当函数有个极值点时，的取值范围是
证明：由知，，为的两个实数根，
设，则，
在上单调递减．
先证，
只需证，
即证．
因为，
所以，
则．
设，
则，
所以在上单调递减，
则，，
所以，
即．
因为函数在上单调递减，
所以
要证，
只需证，
即证
设，，
则．
设，
则，
所以在上单调递增，，即，
则在上单调递增，，
即当时，，
则，
所以，
即．
综上为“函数“．
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