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2024-2025 学年四川省天立教育集团高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列 1， 2，4， 8，16 的一个通项公式 =( )
A. ( 2) 1 B. 2 1 C. ( 2) 1 D. ( 1) 2 1
2.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且满足 ( ) = 2 ′(1) + ln ，则 ′(1) =( )
A. e 1 B. 1 C. e 1 D. e
3.如图，用 4 种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜
色，则不同的着色方法有( )
A. 48 B. 56 C. 72 D. 256
3 + 1, 为奇数,
4.数列{ }满足 1 = 5 =

， +1 则 4 =( )
2 , 为偶数,
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5.已知 ( )是可导的函数，且 ′( ) < ( )对于 ∈ 恒成立，则( )
A. (1) < e (0), (2025) < e2025 (0) B. (1) > e (0), (2025) > e2025 (0)
C. (1) > e (0), (2025) < e2025 (0) D. (1) < e (0), (2025) > e2025 (0)
6.已知数列{ }，{ }是等差数列，其前 项和分别为 ，

，且
3 +1 7
= +2，则 =( ) 7
A. 229 B.
46 8 5
17 C. 3 D. 4
7.三次函数有如下性质： ①设 ′( )是函数 = ( )的导数， ″( )是 ′( )的导数，若方程 ′′( ) = 0
有实数解 0，则称点( 0, ( 0))为函数 = ( )的“拐点”; ②任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”
就是该函数图象的对称中心.若直线 3 + 3 = 0 过函数 = 3 3 2 + 5 图象的对称中心，则 2 + 2
的最小值为( )
A. 1 2 1 28 B. 4 C. 2 D. 2
8.若不等式 ln + ln ≥ 0 恒成立，则 的取值范围是( )
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A. [ 1 , + ∞) B. [
2
, + ∞) C. [

2 , + ∞) D. [ , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列 的前 项和为 ， 1 = 1， +1 = 2 + 1，则( )
A.数列 + 1 是等比数列 B. = 2 1
C. = 2 1 D.
1 1
数列 的前 项和为 2 2 1
10.函数 ( ) = 3 + 2 + + ( , , , ∈ )的图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. > 0 B. < 0 C. > 0 D. + + < 0
11.下列命题正确的有( )
A.若数列 为等比数列， 为其前 项和，则 4， 8 4， 12 8，…成等比数列；
B. 2 2已知数列 的通项公式为 = 2 15，则 取到最小值时 的值是 7， 取到最大值时 的值是 8；
C. 1 13已知数列 的前 项和为 2 = 2 2 + 6，则使 > 0 的最小正整数 为 12；
D. π已知数列 满足 = sin 2，设 的前 项和为 ，则 2025 = 1．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有 4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有 3 种走法，则从甲地
到丙地共有 种不同的走法．
13 .数列 中，满足 1 = 1， +1 = +2 ∈ ，则 1 + 2 + + 2025 ．
14.已知函数 ( ) = ln 若对于任意的 ∈ e, + ∞ 都有 ( ) ≥ 成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 1 1
已知函数 ( ) = 1 2 + ln ．
(Ⅰ)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程;
(Ⅱ)求 ( )的最值．
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16.(本小题 15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且 2 3 + 4 = 46， 8 = 160．
(1)求 的通项公式和 ；
(2) 1 3若 = ，若数列 的前 项和为 ，求证 < 8．
17.(本小题 15 分)
ln
已知函数 ( ) = 2．
(1)求函数 ( )的最小值；
(2)求证：函数 ( )存在两个零点(记为 1, 2)，且 1 2 > 1．
18.(本小题 17 分)
记数列{ }
1 2
的前 项积为 ，且 + = 1．
(1)证明：数列{ + 1}是等比数列;
(2)求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e e ．
(1)当 = 1 时，讨论 ( )的单调性；
(2)当 > 0 时， = 12，证明： ( ) < 1；
(3) 1 1 1设 ∈ N ，证明： + + + > ln( + 1)．
12+1 22+2 2+
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.11
13.2025 10121013/1 1013
14. ∞, ee 1
2
15.解：(Ⅰ)由 ( ) = 1 1 1 1 2 + ln ，得： ′( ) =
+ +2
3 ，
∴ ′(1) = 2，又 (1) = 1，
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为： + 1 = 2( 1)，
即 2 3 = 0．
(Ⅱ)函数 ( ) = 1 1 1 2 + ln
1
，的定义域为(0, + ∞)，
( ) =
2+ +2 = ( +1)( 2)由 ′ 3 3 ，令 ′( ) = 0,得 = 2，
当 ∈ (0,2)时， ′ > 0,故 在 0,2 内为增函数；
当 ∈ (2, + ∞)时， ′ < 0,故 在(2, + ∞)内为减函数；
又当 趋向于 0 或+∞时， ( )趋向于 ∞．
1 1 1 1
由此知函数 在 = 2 时取得最大值 (2) = 1 2 4 + ln 2 = 4 ln2，无最小值．
16.解：(1)2 3 + 4 = 2 1 + 2 + 1 + 3 = 3 1 + 7 = 46
8×7
， 8 = 8 1 + 2 = 8 1 + 28 = 160，
3 + 7 = 46 = 6
联立 1 18 1 + 28 = 160
，解得 = 4 ,
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所以 的通项公式 = 6 + 4( 1) = 4 + 2，前
( 1)
项和 = 6 + 2 × 4 = 2
2 + 4 ．
(2) 1 1 1 1 1 1 = = 2 2+4 = 2 ( +2) = 4 +2 ，
所以， ≥ 2 1时， = 4 1
1 + 1 1+ 1 1 + + 1 1 + 1 1 = 1 3 1 1 = 33 2 4 3 5 1 +1 +2 4 2 +1 +2 8
1 1 1
4 +1+ +2 ，
= 1 1 3 1 1 1时， 1 = 6符合上式，所以 = 8 4 +1+ +2
1 1 3 1 1 1 3
因为 +1 > 0, +2 > 0，所以 = 8 4 +1+ +2 < 8．
17. ln
2
解：(1)由 ( ) = 2
′( ) = 1+ln 2
设 ( ) = 2 1 + ln ( > 0) ′( ) = 2 + 1 > 0，
因此当 > 0 时，函数 ( )单调递增， (1) = 0，
当 > 1 时， ( ) > (1) = 0，因此 ′( ) > 0，所以 ( )单调递增；
当 0 < < 1 时， ( ) < (1) = 0，因此 ′( ) < 0，所以 ( )单调递减，
因此当 = 1 时， ( )有最小值，即 ( )min = (1) = 1；
(2)由(1)可知： ( )在 0 < < 1 时，单调递减，在 > 1 时，单调递增，
2
( )min = 1 < 0，因为 ( ) =
2 = 1 2 > 0， (
1 1
) = + 2 > 0，
所以函数 ( )在( 1 , 1)
1
内有且只有一个零点，不妨设 1，在(1, )内有且只有一个零点，设为 2，即 < 1 < 1 <
2 < ，即函数 ( )有两个零点，即 ( 1) = ( 2) = 0
1 ln
构造函数 ( ) = ( ) ( ) = 2 (
1 ln 1 2) = 1 ln ln
′( ) = ln ln = ( 1 2 2 1)ln ，当 ∈ (1, )时，
′( ) < 0, ( )单调递减，
因此有 ( ) < (1) = 0 1，即 ( ) = ( ) ( ) < 0，
因为 1 < 2 < ，所以 ( 2) = ( 2) (
1
) < 0 (
1
2) < (
2
)，
2
而 ( 1) = ( 2) = 0
1
，因此 ( 1) < ( )，2
因为 1 < 1 12 < ，所以 < < 1，因为 ( )在 0 < < 1 时，单调递减，2
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1
所以由 ( 1) < ( ) 1 >
1
1 2 > 1．2 2
18.(1)证明：因为数列{ }的前 项积为 ，
1 + 2由 = 1
1 2
可得 +

= 1( ≥ 2)，化简得 = 2 1 + 1( ≥ 2)．
1
1 2
在 + = 1 中，令 = 1，可得 1 = 3，所以 1 + 1 = 4 ≠ 0.
因为 + 1 = 2( 1 + 1)( ≥ 2)，
所以{ + 1}是以 4 为首项 2 为公比的等比数列．
(2)由 + 1 = 4 × 2 1 = 2 +1，得 = 2 +1 1，
所以 = 2 +1 ．
记 = 1 22 + 2·23 + + ·2 +1 ①
2 = 1·23 + 2·24 + + ·2 +2 ②
① ②得 = 22 + 23 + 2 +1 2 +2，
所以 = ( 1) 2 +2 + 4，
所以 +2 = ( 1) 2 + 4
( +1)
2 ．
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = ( 1)e ，则 ′( ) = e + ( 1)e = e ，
当 < 0 时， ′( ) < 0，当 > 0 时， ′( ) > 0，
故 ( )的减区间为( ∞, 0)，增区间为(0, + ∞)．
1 1
(2)要证 ( ) = e2 e < 1，只要证 e2 e + 1 < 0，
1
令 = e2 ( > 0)，则 > 1, 2 = e , = 2ln ，
所以只需证 2 ln < 2 1 成立，
即 2ln < 1 对任意的 > 1 恒成立．
2
( ) = 2ln + 1 ′( ) = 2 1 1 = +2 1 = ( 1)
2
设 ，则 2 2 2 < 0 恒成立，
1
所以 > 1 时， ( ) = 2ln + 单调递减，
1
所以 ( ) = 2ln + < (1) = 0，所以 2ln <
1
，
即证得 ( ) < 1．
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(3)2ln < 1 对任意的 > 1 恒成立．
∈ N 2ln +1 +1 所以对任意的 ，有 < +1，
+1 +1 1
所以 ln < +1 = ， 2+
所以 ln( + 1) ln < 1 ，
2+
1 1 1
所以 + + + > ln2 ln1 + ln3 ln2 + + [ln( + 1) ln ]，
12+1 22+2 2+
1 1 1
所以 + + + > ln( + 1)．
12+1 22+2 2+
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