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2024-2025 学年云南省“美美与共”民族中学联盟高二下学期联考（二）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 2i.在复平面内，复数 = i ( 为虚数单位)，则( )
A. 的虚部为 i B. = 2 i
C. | | = 3 D. 在复平面内对应的点位于第三象限
2.某教学楼三楼楼道里有 5 盏灯，为了节约用电，需关掉 2 盏灯，则关灯方案有( )
A. 20 种 B. 10 种 C. 12 种 D. 6 种
3.若非空集合 ， ， ， 满足： ∩ = ， ∩ = ，则( )
A. B. ∩ = C. ∩ = D.
4 1 1 2.已知数列 中， 1 = 1 且 = + 3 ∈ 且 > 1 ，则 13 =( ) 1
A. 1 B. 1 C. 14 5 9 D. 9
5.直线 + = 0( > 0)与圆 : 2 + 2 = 9 相交于 ， 两点，当 面积最大时 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 3 D. 6
6 +1.对于数列 ，若 +1 = 5 +3，且 1 = 1，则 2026 =( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 13
7.已知 ：“( )( 2) > 0”是 ：“ 2 6 ≤ 0”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为
( )
A. ( ∞, 4] ∪ [3, + ∞) B. ( ∞, 4) ∪ (3, + ∞)
C. [ 4,3) D. [ 4,3]
8.只用 0，1，2 这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，
这样的五位数共有( )
A. 28 个 B. 24 个 C. 22 个 D. 18 个
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 2 1
8
. 的展开式中( )
A.第三项系数为 1792 B.二项式系数最大的项是第 5 项
C.常数项为 240 D.所有项的系数之和为 1
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10 4.已知正项等比数列 的公比为 ，若 3 + 4 = 4 1 + 2 ，且 3 = 3，则( )
A. = 2 B. = 84 3
C. 10203 是数列 中的项 D. 3， 2 + 3， 4成等差数列
11.若存在 ，使得 ( ) ≥ 对任意 ∈ 恒成立，则函数 ( )在 上有下界，其中 为函数 ( )的一个下界；
若存在 ，使得 ( ) ≤ 对任意 ∈ 恒成立，则函数 ( )在 上有上界，其中 为函数 ( )的一个上界．如
果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是( )
A. 2 1是函数 ( ) = + ( < 0)的一个下界
B.函数 ( ) = ln + 2 有下界，无上界
C. e

函数 ( ) = 有下界，无上界
D.函数 ( ) = sin 2+2有界
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 ∈ ，向量 = ( , 2)， = ( 3, 3)，且 与 垂直，则 = ．
13.5 名学生和 2 位老师站成一排照相，则 2 位老师不相邻且不排在两端的排法有 种．
2 2 2
14 .已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)， 为椭圆的半焦距长，过左焦点 作直线 与圆 ：
2 + 2 = 4相切于
点 ，与椭圆 在第一象限的交点为 ，且| | = | |，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，sin2 + sin2 = sin2 + 3sin sin ．
(1)求 ；
(2)若 外接圆的面积为 2π，求 面积的最大值．
16.(本小题 15 分)
在等差数列 中， 3 = 7， 2 + 2 7 = 35，数列 的前 项和为 ，2 = 1．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 = ，求数列 的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
如图，等腰梯形 中， // ， ⊥ 于点 ， = 3 且 = = 2.沿 把 折起到 ′
的位置，使∠ ′ = 90°．
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(1)求证： ⊥平面 ′ ；
(2)求三棱锥 ′的体积；
(3)求平面 ′ 和平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 3ln + ， ∈ ．
(1)若 = 6，求函数 ( )的值域；
(2)求函数 ( )的单调区间；
(3)若直线 = 为 ( )的切线，求 的值．
19.(本小题 17 分)
2 2
设椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3
的离心率等于 2 ， 、 、 分别是椭圆的三个不同的顶点， 的面积为
2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 、 是椭圆的左、右顶点，动点 、 为椭圆上异于 、 的两点，设直线 ， 的斜率分别为 1, 2，
且 2 = 2 1，求证：直线 经过定点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3
13.1440
14. 3 1/ 1 + 3
15.【详解】(1)因为sin2 + sin2 = sin2 + 3sin sin ，由正弦定理可得 2 + 2 = 2 + 3 ，
2 2 2
由余弦定理可得 cos = + = 3 32 2 = 2 ，
且 0 < < π π，所以 = 6．
(2)设 的外接圆半径为 ，所以π 2 = 2π，所以 = 2，

由正弦定理得sin = 2 = 2 2，则 = 2 sin = 2 2 ×
1
2 = 2，
由(1)可得：2 + 3 = 2 + 2 ≥ 2 ，即 ≤ 2 2 + 3 ，
当且仅当 = = 3 + 1 时，等号成立，
1 1 2+ 3故 面积的最大值为2 × 2 2 + 3 × 2 = 2 ．
16.【详解】(1)解：设等差数列 的公差为 ，
因为 3 = 7, 2 + 2 7 = 35

，可得 1
+ 2 = 7
3 1 + 13 = 35
，解得 1 = 3, = 2，
所以 = 1 + ( 1) = 2 + 1，即数列 的通项公式为 = 2 + 1；
由数列 的前 项和为 ，且满足 2 = 1，
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当 = 1 时，可得 2 1 1 = 2 1 1 = 1，解得 1 = 1，
当 ≥ 2 时，可得 2 1 1 = 1，两式相减得 2( 1) ( 1) = 0，
即 2( 1) = 0，整理得 = 2

1，即 = 2， 1
所以数列 是首项为 1 = 1，公比为 = 2 的等比数列，所以 1 = 2 ．
(2)解：由(1)知 = 2 + 1， = 2 1 ，可得 = = (2 + 1) 2 1，
则 = 01 + 2 + + = 3 2 + 5 21 + 7 22 + + (2 + 1) 2 1，
可得 2 = 3 21 + 5 22 + 7 23 + + (2 + 1) 2 ，
两式相减，可得 = 3 + 2(21 + 22 + + 2 1) (2 + 1) 2
1
= 3 + 2 × 2(1 2 )1 2 (2 + 1) 2
= 1+ (1 2 ) 2 ，
所以 = (2 1) 2 + 1．
17.【详解】(1)由题意可知： ⊥ ，则 ⊥ ′ ，
且 ⊥ ′ ，且 ∩ = ， , 平面 ，
可得 ′ ⊥平面 ，
由 平面 ，可得 ′ ⊥ ，
因为 = 2 = 4, = 2，则 = = 2 2，
则 2 + 2 = 2，则 ⊥ ，
且 ′ ∩ = ， ′ , 平面 ′ ，
所以 ⊥平面 ′ ．
(2)因为 ′ ⊥平面 ，可知三棱锥 ′ 的高为 ′ = 2，
1 1 4
所以三棱锥 ′的体积 ′ = ′ = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 3．
(3)因为 ⊥平面 ′ ， ′ 平面 ′ ，则 ⊥ ′ ，
且 ⊥ ，可知二面角 ′ 的平面角为∠ ′ ，
又因为 ′ ⊥平面 ， 平面 ，则 ′ ⊥ ，
则 ′ = 2, = 2 2, ′ = 2 3，可得 cos∠ ′ = ′ =
2 2 = 6，
2 3 3
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所以平面 ′ 和平面 6夹角的余弦值为 3 ．
18. 6【详解】(1) = 6 时， ( ) = 3ln + ，
3 6 3 6
求导得： ′( ) = 2 = 2 ，
易得 ′( ) > 0 时， > 2， ′( ) < 0 时，0 < < 2，
所以 ( )在(0,2)单调递减，在(2, + ∞)单调递增，
最小值为 (2) = 3 + 3ln2，又 →+∞时， ( ) →+∞，
所以值域为： 3 + 3ln2, + ∞
(2) ′( ) = 3 由 2， > 0，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)单调递增，
当 > 0 时，令 ′( ) = 0 ，解得 = 3，
当 ∈ (0, ′ 3 )时， ( ) < 0， ( )在 ∈ (0, 3 )上单调递减，
当 ∈ ( 3 , + ∞)时，
′( ) > 0， ( ) 在 ∈ ( 3 , + ∞)上单调递增，
综上，
当 ≤ 0 时， ( )递增区间为(0, + ∞)，无递减区间；

当 > 0 时， ( )递减区间为(0, 3 )，递增区间为( 3 , + ∞)．
(3)设切点为( 0, ( )) ′( ) =
3
0 ，依题意， 0 = ，所以 =
3 0 ，
0 2 20 0+1
( ) 0 3ln 0+

3 2
又 0 = 0 = ，代入 = 0 0 0 0 2
可得，ln 0 + 2 1 = 0，
0+1 0+1
( ) = ln + 2 1 ′( ) = 1 4 (
2+1)2 4 2 ( 2 1)2
设 2+1 ，则 ( 2+1)2 = ( 2+1)2 = ( 2+1)2 ≥ 0，
所 ( )在(0, + ∞)单调递增，
因为 (1) = 0，所以 0 = 1，
3
所以 = 2．
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= 3 = 2 = 2
19.【详解】(1)由题意可知： 2 = 2 + 2，解得 = 1 ,
2 × 12 = 2
= 3
2
所以椭圆 的方程 + 24 = 1．
(2)由(1)可知： ( 2,0), (2,0)，
由题意可知：直线 的斜率存在，且不为 0，
设直线 的斜率 1 = ，直线 的方程为 = ( + 2)，
= ( + 2)
联立 2 2 消去 得 1 + 4
2 2 + 16 2 + 16 2 4 = 0，
4 + = 1
16 2 4 2 8 2
因为直线 过点 ，则 2 = 1+4 2 ，即 = 1+4 2，
2
代入 = ( + 2) 4 2 8 4 ，得 = 1+4 2，即 1+4 2 , 1+4 2 ．
同理：直线 的方程为 = 2 ( 2)，
= 2 ( 2)
联立 2 ，消去 得 1 + 16 2 2 64 22 + 64
2 4 = 0．
4 + = 1
64 2 4 2
因为直线 过点 ，则 2 = 1+16 2，即 =
32 2
1+16 2，
2
代入 = 2 ( 2) 8 32 2 8 ，得 = 1+16 2，即 1+16 2 , 1+16 2 ，
2 2
若 ≠
2 8 32 2 1
，则
2
1+4 2 ≠ 1+16 2，即 ≠ 8
4
2+
8
2 4 1+16 2+2+8 2
直线 的斜率 1+4 1+16 = 2 2 = 4 256 4 =2 8 32 2
1+4 2 1+16 2
3 1+8 2 = 3 1+8 2 1 8 2 1 8 2，
4 3 2 8
2
直线 的方程为 1+4 2 = 1 8 2 1+4 2 ，
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= 0 = 32
2 4 6 24 2 8 2+2 2
令 ，解得 3 1+4 2 + 3 1+4 2 = 3 1+4 2 = 3，
2
可得直线 过定点 3 , 0 ．
1
若 2 = , = 8，此时 = =
2 2
3，直线 也过点 3 , 0 ．
2
所以直线 过定点 3 , 0 ．
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